Warum werden in der Dirac-Gleichung vier Vektoren benötigt, wenn es doch 4 linear unabhängige 2D-Matrizen gibt?

Mir wurde beigebracht, dass man Matrizen der folgenden Form benötigt, damit die Dirac-Gleichung "funktioniert".

  • T R ( a ich ) = 0 .
  • Eigenwerte +1 oder -1
  • 2 vorige Punkte zusammen: gleiche Anzahl negativer und positiver Eigenwerte, also gerade Dimension.
  • a ich Und β die Antikommutatorbeziehung erfüllen.

Mein Advanced QM-Professor hat mir überzeugend gesagt, dass es nur 3 linear unabhängige 2D-Matrizen gibt, die Pauli-Matrizen, die in 2D verwendet werden können. Das ist eine kurze, also brauchen Sie mindestens 4D-Matrizen.

Nun hat mein QFT-Professor, der mich (und wohlgemerkt nicht nur mich) hervorragend verwirren kann, erklärt, dass es durchaus möglich ist, nur 2D-Matrizen zu verwenden, indem man den Satz der Pauli-Matrizen um eine weitere erweitert. Ich denke, er liegt falsch, aber er scheint zu alt (und "weise") zu sein, um falsch zu liegen, und ich konnte mich damals nicht an alle oben genannten Bedingungen erinnern, also wollte ich nicht ohne Argumente argumentieren.

Ist es möglich, die Dirac-Gleichung in 2D zu verwandeln? (und nicht nur in einem 2D-System wie Graphen, sondern allgemein)

Danke

Antworten (4)

Lieber Rubenb, ja, was Ihr Professor sagt, basiert sicher auf solider Mathematik. Der Grund dafür ist, dass der 4-Komponenten-Dirac-Spinor tatsächlich aus zwei separaten 2-Komponenten-Teilen besteht.

Die elementaren "Spinoren" für 3+1 Dimensionen haben zwei komplexe Komponenten. Das ergibt sich aus der Isomorphie zwischen Gruppen

S L ( 2 , C ) ∼ S P ich N ( 3 , 1 ) .
Beachten Sie, dass beide Gruppen 6 echte Generatoren haben. Insbesondere in einer richtig gewählten Basis, die a ich Und β Matrizen können mit in eine blockdiagonale Form gebracht werden 2 × 2 Blöcke. Daraus folgt, dass die 2 × 2 Blöcke selbst genügen derselben Algebra.

Insbesondere können die vier Matrizen geschrieben werden als

( β , a ich ) = ( 1 2 × 2 , σ ich ) ≡ σ μ
dh als die mit der Identitätsmatrix ergänzten Pauli-Matrizen. Notiere dass der a ich dh σ ich Matrizen antikommutieren miteinander, während sie mit pendeln β dh σ 0 und alle Matrizen im Quadrat zur Identität ähnlich β , a ich Tun.

Der obige Isomorphismus kann als "nicht kompakte Erweiterung" des üblichen Isomorphismus angesehen werden

S U ( 2 ) ∼ S P ich N ( 3 ) .
Beachten Sie, dass die Gruppe S U ( 2 ) ist eine Untergruppe von S L ( 2 , C ) - Es ist das gleiche Paar wie S P ich N ( 3 ) das ist eine Untergruppe von S P ich N ( 3 , 1 ) .

Die Zweikomponenten-Spinoren sind für die Beschreibung der Neutrinos direkt relevant. Sie beschreiben nur ein linkshändiges masseloses Teilchen (und ein rechtshändiges masseloses Antiteilchen). Das unterscheidet sich vom 4-Komponenten-Dirac-Spinor, der ein Teilchen beschreibt, das entweder linkshändig oder rechtshändig sein kann. Das Neutrino ist durch einen Weyl-Spinor gegeben und die freie Gleichung ist einfach

σ μ ∂ μ χ = 0
was Lorentz-kovariant ist. Allerdings muss man sich darüber im Klaren sein, dass der 4-Vektor von 2 × 2 Matrizen, σ μ , den 2-dimensionalen komplexen Raum (linkshändige Weyl-Spinoren) nicht auf sich selbst transformieren, sondern auf einen anderen 2-dimensionalen komplexen Raum (rechtshändige Weyl-Spinoren), der das komplexe Konjugat des ersten ist.

Massive geladene Teilchen wie das Elektron erfordern einen 4-Komponenten-Spinor – dh ein Paar von zwei 2-Komponenten-Spinoren – aber für Neutrinos ist die Mindestmenge, um ein einzelnes Teilchen zu beschreiben, durch einen 2-Komponenten-Spinor gegeben.

Danke für die prompte Antwort. Es ist also nicht richtig, 2x2-Matrizen für massive Teilchen zu verwenden? Aber der Isomorphismus zwischen den beiden Gruppen sollte unabhängig vom Wert von m gelten, oder?
@rubenvb: Sie können Massenterme gut aufschreiben - der Massenterm in der Aktion mischt einfach einen der Spinoren mit dem anderen. Es hat sowohl einen Massen- als auch einen Ladungsbegriff, der die Dinge durcheinander bringt
Lieber @rubenvb, genau wie Jerry sagt. In der Gleichung σ μ ∂ μ χ = 0 , können Sie nicht einfach den Massenterm hinzufügen M χ denn der Ableitungsterm verwandelt sich dabei in einen rechtshändigen Spinor M χ verwandelt sich in den entgegengesetzten linkshändigen Spinor. Sie können jedoch hinzufügen M χ ¯ , das komplexe Konjugat. Jedoch, χ ¯ trägt die entgegengesetzten Ladungen als χ , also behält die Gleichung die Ladungen nur bei, wenn die Ladungen von sind χ verschwinden. In diesem Fall ist die M Parameter wird die "Majorana-Masse" genannt. Bei geladenen Elektronen etc. geht das aber nicht. Dann braucht man zwei 2-Spinoren.
@Luboš Motl: Danke für die ausführliche und verständliche Erklärung!
Es war mir ein Vergnügen, @rubenvb.
@Lubos: eine kleine Folgefrage: Folgt die Tatsache, dass es masselose Dirac-Fermionen gibt, aus einer 2D-Dirac-Gleichung oder umgekehrt (denken Sie an Graphen)? Ist jedes Teilchen, das durch eine 2D-Dirac-Gleichung beschrieben wird, masselos?
Lieber Rubenvb, du meinst nicht 2D-Dirac-Gleichung, sondern 2-Komponenten-Dirac-Gleichung, direkt in 4D, richtig? Aber wenn ich Ihre Frage verstehe, ist es die gleiche, die oben von Jerry und mir beantwortet wurde. Nein, Sie können Majorana-Messen haben, σ μ ∂ μ χ = M χ ¯ . Das macht nur Sinn, wenn χ auf der linken Seite und χ ¯ auf der rechten Seite haben die gleichen Ladungen - die daher Null sein müssen, weil sie einander entgegengesetzt sind. Außerdem verstehe ich nicht, was Graphen damit zu tun hat. Theorien der Dynamik von Graphen sind 3D (2+1) Theorien, nicht 2D und nicht 4D.

Die Antwort von Luboš ist in Ordnung, und er hat eine Präsentationsebene angenommen, die für Sie genau richtig aussieht, aber ich ziehe es vor, dies etwas anders auszudrücken, indem ich die offensichtliche Lorentz-Kovariante verwende γ μ Operatoren, anstatt die Operatoren zu verwenden ( β , a ich ) . Für die massive Dirac-Gleichung benötigen Sie vier Objekte, die die Beziehungen erfüllen γ μ γ v + γ v γ μ = 2 G μ v um die Präsentation offensichtlich kovariant zu machen. Mit diesen können Sie 6 linear unabhängige Objekte der Form konstruieren γ 0 γ 1 , 4 linear unabhängige Objekte der Form γ 0 γ 1 γ 2 , und nur ein linear unabhängiges Objekt des Formulars γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 , insgesamt 15, was zusammen mit der Identität die gleiche Anzahl von Dimensionen ergibt wie die Algebra von 4x4-Matrizen. In der Tat können wir beweisen, dass die von der erzeugte Algebra γ μ über dem komplexen Feld mit den obigen Beziehungen ist isomorph zur Algebra von 4x4 komplexen Matrizen.

Um zu 2x2-Matrizen zu gelangen, ohne die Lorentz-Invarianz (fast) zu brechen, verwenden wir das Objekt γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 , die unter Lorentz-Transformationen mit Ausnahme von Reflexionen invariant ist und die mit einem 8-dimensionalen Teil der Algebra pendelt und mit einem bestimmten 8-dimensionalen Teil der Algebra anti-pendelt. Wir können dies verwenden, um eine nahezu Lorentz-invariante Projektion zu konstruieren 1 2 ( 1 + ich γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 ) . Diese Projektion zerlegt die 4-dimensionalen Vektoren, auf die eine 4x4-Matrix wirkt, in zwei 2-dimensionale Teile mit den Eigenwerten 1 und 0. In der chiralen Darstellung ist dieser Projektionsoperator ( ICH   0 0   0 ) , Wo ICH ist eine 2x2 Identitätsmatrix.

Dies ist nur ein kleiner Teil dessen, was es über Dirac-Matrizen zu erfahren gibt. Sie werden viele Stücke auf dem Weg aufheben. Einige Leute arbeiten lieber mit Matrizen, andere arbeiten lieber auf die etwas abstraktere Weise, die ich oben verwendet habe, andere (Mathematiker!) bevorzugen noch höhere Abstraktionsebenen als Sie oben sehen. Das Obige ist nicht ganz explizit, aber es ist viel besser, diese Dinge so weit wie möglich selbst durchzuarbeiten.

Vielen Dank für die alternative Erklärung (obwohl sie bis auf die Explizitheit mit der weitgehend identisch ist γ 'S. Ich fühle mich in Gruppen besser zu Hause als in Algebra, obwohl beide bisher in all meinen Kursen weitgehend übersprungen worden zu sein scheinen. Zwei Fragen: 1) was meinst du genau mit "nahezu Lorentz-invariant"? 2) Was meinst du mit 8-dimensionaler Algebra? Ist es so etwas wie 4 reale und 4 imaginäre "Dimensionen" oder ist es etwas anderes?
@rubenvb Die Manifestation der Kovarianz ist (sehr) lohnenswert. Es hält die Algebra und Geometrie unter viel besserer mathematischer Kontrolle, so dass schwierigere Berechnungen einfacher durchgeführt werden können. Mit "fast" meine ich ja unter Rotationen und Boosts, nein unter Reflexionen. Deshalb verwandeln sich 2d-linkshändige Spinoren unter Reflexion in 2d-rechtshändige Spinoren. Es gibt eine 8-dimensionale Lorentz-invariante Unteralgebra der Dirac-Algebra, die die 6 enthält γ μ γ v , die Identität und γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 . In der chiralen Rep sind dies 2x2-Blockmatrizen auf der Diagonalen.

Es gibt ein neues Buch von Jean Hladik "Spinors in Physics", das gut aussieht. Und es gibt Websites über Clifford Algebra und Artikel von Pertti Lounesto und noch mehr von David Hestenes. Die Dirac-Algebra ist eine Clifford-Algebra, und das ist sehr einfaches Zeug. Sie nehmen eine beliebige Anzahl Anti-Pendel-Buchstaben mit beliebiger Signatur und bilden eine „Zahl“, die aus allen Buchstabenkombinationen besteht, die gleichzeitig r genommen werden, sagen wir: 1 + t + x + y + z + tx + ty + tz + xy + yz + zx + txy + tyz + tzx + xyz + txyz (+ - - -) und jetzt haben Sie eine 'Raumzeitalgebra' mit allen Unterräumen der Raumzeit explizit aufgelistet und die 'gerade Unteralgebra' 1 + tx + ty + tz + xy + yz + zx + txyz kann verwendet werden, um einen fourVector zu drehen - dh eine Lorentz-Transformation. Dirac verwendet komplexe Koeffizienten. Die Gammamatrizen sind nur die t, x, y, z oben, in einer Matrixdarstellung, wobei alle 'bilinearen Kovarianten' aufgelistet sind. Die Gruppen und Matrizen lassen es komplizierter aussehen, als es ist.

Was in den obigen Antworten nicht ausdrücklich erwähnt wurde, ist, dass die Dirac-Gleichung in 2-Spinor-Form ausgedrückt werden kann. Da es sich tatsächlich um ein 4-Spinor-Objekt handelt, sind zwei Gleichungen erforderlich.

∇ B ' A a A = 2 − 1 / 2 M β B '

∇ A B ' β B ' = 2 − 1 / 2 M a A

Warum werden in der Dirac-Gleichung vier Vektoren benötigt, wenn es doch 4 linear unabhängige 2D-Matrizen gibt?
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