Wie kommutiert man Drehimpuls und Spin in der Dirac-Gleichung?

In meinem Problem betrachte ich eine Drehung-$\frac{1}{2}$Teilchenhexenladung q, die durch einen Dirac-Spinor dargestellt wird$\Psi$Lösung der Dirac-Gleichung

$$i\partial_t\Psi = \hat{H}\Psi$$ mit gegebenem Dirac-Operator $\hat{H} := c\alpha_i(\hat{p} - \frac{q}{c}A^i) + \beta mc^2+\mathbb{1_{4x4}}q\Phi$, Wo $\alpha_i=\left(\begin{matrix} 0 & \sigma_i \\ \sigma_i & 0 \\ \end{matrix}\right)$Und $\beta=\left(\begin{matrix} \mathbb{1_{4x4}} & 0 \\ 0 & -\mathbb{1_{4x4}} \\ \end{matrix}\right)$unter Verwendung der Pauli-Matrizen $\sigma_i$und eine 4x4-Einheitsmatrix $\mathbb{1_{4x4}}$.

Die ursprüngliche Aufgabe besteht darin, die Vertauschungsbeziehungen zu zeigen$\left[\hat{J}^i,\hat{J}^j\right]=i\epsilon^{ijk}\hat{J}^k$,$\left[\hat{J}^i,\hat{J}^2\right]=0$. Das Anzeigen des ersten sollte automatisch dazu führen, dass das zweite mit einigen Kommutierungsregeln angezeigt wird, aber mein Problem ist mit$\hat{J}^i:= \mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^i+\hat{S}^i$, ich habe gerechnet:

$$\left[\hat{J}^i,\hat{J}^j\right]=\left[\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^i+\hat{S}^i,\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^j+\hat{S}^j\right]$$ jetzt mit der Kommutierungsrelation $$\left[A+B,C+D\right] = \left[A,C+D\right] +\left[B,C+D\right]= \left[A,C\right]+\left[A,D\right] +\left[B,C\right] +\left[B,D\right]$$ Ich bekomme vier Begriffe: $$\left[\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^i,\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^j\right]+\left[\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^i,\hat{S}^j\right]+\left[\hat{S}^i,\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^j\right]+\left[\hat{S}^i,\hat{S}^j\right]$$ definieren $\hat{L}^i:= \epsilon_{ijk}\hat{x}^j\hat{p}^k$Und $\hat{S}^i:=\frac{1}{2}\hbar\left(\begin{matrix} \sigma_i & 0 \\ 0 & \sigma_i \\ \end{matrix}\right)$, es folgt: $$\left[\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^i,\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^j\right]=i\epsilon^{ijk}\hat{L}^k\text{ and }\left[\hat{S}^i,\hat{S}^j\right]=\frac{1}{2}i\hbar^2\sum_{k=1}^3\epsilon^{ijk}\sigma^k\mathbb{1_{2x2}}$$

Mein Problem liegt jetzt bei den gemischten Kommutierungen$\left[\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^i,\hat{S}^j\right]$,$\left[\hat{S}^i,\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^j\right]$, die auf so etwas hinauslaufen$\left[\epsilon^{ijk}\hat{x}^j\hat{p}^k,\sigma^i\right]$. Ich dachte darüber nach zu sagen, dass das Umschalten der Kommutatorargumente ein Minuszeichen geben sollte und die gemischten Terme sich gegenseitig aufheben sollten. Dies könnte möglicherweise durch das Wechseln der Indizes im Levi-Civita-Symbol ($\epsilon^{ijk}=-\epsilon^{jik}$) nach dem Umbenennen von i in j und umgekehrt. Ich weiß nicht genau, ob ich das kann und selbst wenn ich das tue, bekomme ich nicht die richtigen Ergebnisse. Die Kommutatoren direkt zu berechnen erscheint mir schwierig, da ich nicht weiß, wie ich sie lösen soll$\left[\epsilon^{ijk}\hat{x}^j\hat{p}^k,\sigma^i\right]$. Ich hoffe, mein Problem ist klar genug beschrieben und ein Hinweis darauf, was ich vermisse, wäre großartig.

Dies ist mein erster Post, daher sind einige Tipps zum Posten immer willkommen. Danke!