Warum ist das Skalarprodukt gleich eins? (Pauli-Spinmatrizen)

Question

Warum ist das Skalarprodukt gleich eins? (Pauli-Spinmatrizen)

Gast

Ich habe diese Vorlesungsunterlagen gelesen (NB: PDF):

Für Spin-1/2 der Rotationsoperator
$R_{a}^{(S)} (N) = \exp (- ich \frac{a}{2} \vec{σ} \cdot \hat{N})$ $R_\alpha^{(s)}(\mathbf n)=\exp\left(-i\frac{\alpha}{2}\vec\sigma\cdot\mathbf{\hat n}\right)$ kann explizit geschrieben werden $2\times2$ Matrix. Dies wird erreicht, indem die Exponentialfunktion in einer Taylor-Reihe erweitert wird: $\begin{aligned} \exp (- ich \frac{a}{2} \vec{σ} \cdot \hat{N}) & = 1 - \frac{ich a}{2} (\vec{σ} \cdot \hat{N}) + \frac{1}{2!} {(\frac{ich a}{2})}^{2} {(\vec{σ} \cdot \hat{N})}^{2} \\ - \frac{1}{3!} {(\frac{ich a}{2})}^{3} {(\vec{σ} \cdot \hat{N})}^{3} + \dots \end{aligned}$ $\begin{align} \exp\left(-i\frac{\alpha}{2}\vec\sigma\cdot\mathbf{\hat n}\right)&=1-\frac{i\alpha}{2}\left(\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf n}\right)+\frac1{2!}\left(\frac{i\alpha}{2}\right)^2\left(\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf n}\right)^2\\&\quad-\frac1{3!}\left(\frac{i\alpha}{2}\right)^3\left(\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf n}\right)^3+\cdots \end{align}$ Beachten Sie, dass ${(\vec{σ} \cdot \hat{N})}^{2} = (\vec{σ} \cdot \hat{N}) (\vec{σ} \cdot \hat{N}) = \hat{N} \cdot \hat{N} + ich σ (\hat{N} \times \hat{N}) = 1$ $\left(\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf n}\right)^2=\left(\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf n}\right)\left(\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf n}\right)=\hat{\mathbf n}\cdot\hat{\mathbf n}+i\sigma\left(\hat{\mathbf n}\times\hat{\mathbf n}\right)=1$ Somit wird die Taylor-Reihe $\begin{aligned} \exp (- ich \frac{a}{2} \vec{σ} \cdot \hat{N}) & = 1 - \frac{ich a}{2} (\vec{σ} \cdot \hat{N}) + \frac{1}{2!} {(\frac{ich a}{2})}^{2} {(\vec{σ} \cdot \hat{N})}^{2} \\ - \frac{1}{3!} {(\frac{ich a}{2})}^{3} {(\vec{σ} \cdot \hat{N})}^{3} + \dots \\ = [1 - \frac{1}{2!} {(\frac{a}{2})}^{2} + \frac{1}{4!} {(\frac{a}{2})}^{$} + \dots] \\ - ich \vec{σ} \cdot \hat{N} [(\frac{a}{2}) - \frac{1}{3!} {(\frac{a}{2})}^{3} + \dots] \\ = \cos (\frac{a}{2}) - ich \vec{σ} \cdot \hat{N} Sünde (\frac{a}{2}) \end{aligned}$ $\begin{align} \exp\left(-i\frac{\alpha}{2}\vec\sigma\cdot\mathbf{\hat n}\right)&=1-\frac{i\alpha}{2}\left(\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf n}\right)+\frac1{2!}\left(\frac{i\alpha}{2}\right)^2\left(\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf n}\right)^2\\&\quad-\frac1{3!}\left(\frac{i\alpha}{2}\right)^3\left(\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf n}\right)^3+\cdots\\ &=\left[1-\frac1{2!}\left(\frac\alpha2\right)^2+\frac1{4!}\left(\frac\alpha2\right)^$+\cdots\right]\\&\quad-i\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf n}\left[\left(\frac\alpha2\right)-\frac1{3!}\left(\frac\alpha2\right)^3+\cdots\right]\\ &=\cos\left(\frac\alpha2\right)-i\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf n}\sin\left(\frac\alpha2\right) \end{align}$

Allerdings verstehe ich den Teil nicht:

{(\vec{σ} \cdot \hat{N})}^{2} = (\vec{σ} \cdot \hat{N}) (\vec{σ} \cdot \hat{N}) = \hat{N} \cdot \hat{N} + ich σ (\hat{N} \times \hat{N}) = 1

$\left(\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf n}\right)^2=\left(\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf n}\right)\left(\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf n}\right)=\hat{\mathbf n}\cdot\hat{\mathbf n}+i\sigma\left(\hat{\mathbf n}\times\hat{\mathbf n}\right)=1$

Warum ist das gleich 1? Woher kommen Punktprodukt und Kreuzprodukt? Notiere dass der $\sigma$ sind Pauli-Spinmatrizen .

Antworten (1)

Warum ist das Skalarprodukt gleich eins? (Pauli-Spinmatrizen)

Kyle Kanos · Answer 1

Zu zeigen, dass

\begin{matrix} (1) & {(σ \cdot N)}^{2} = N \cdot N + ich σ \cdot (N \times N) \end{matrix}

$\left(\sigma\cdot\mathbf{n}\right)^2=\mathbf n\cdot\mathbf n+i\sigma\cdot\left(\mathbf n\times\mathbf n\right)\tag{1}$ erwägen Sie, das obige als zu schreiben

\begin{aligned} (σ \cdot A) (σ \cdot B) & = \sum_{J} σ_{J} A_{J} \sum_{k} σ_{k} B_{k} \\ = \sum_{J} \sum_{k} (\frac{1}{2} {σ_{J}, σ_{k}} + \frac{1}{2} [σ_{J}, σ_{k}]) A_{J} B_{k} \\ (2) & = \sum_{J} \sum_{k} (δ_{J k} + ich ϵ_{J k l} σ_{l}) A_{J} B_{k} \end{aligned}

$\begin{align} \left(\sigma\cdot\mathbf a\right)\left(\sigma\cdot\mathbf b\right)&=\sum_j\sigma_ja_j\sum_k\sigma_kb_k\\ &=\sum_j\sum_k\left(\frac12\{\sigma_j,\,\sigma_k\}+\frac12[\sigma_j,\,\sigma_k]\right)a_jb_k\\ &=\sum_j\sum_k\left(\delta_{jk}+i\epsilon_{jkl}\sigma_l\right)a_jb_k\tag{2} \end{align}$ wobei sich die 2. Zeile aus der Verwendung der Antikommutierungs- und Kommutierungsrelation für die Matrizen ergibt. In der dritten Zeile haben wir das Kronecker-Delta und das Levi-Civita-Symbol . Das Ergebnis (1) folgt aus der Vervollständigung der Mathematik aus (2) (d. h. Schreiben in Vektorschreibweise und Ersetzen

a

$\mathbf a$ Und

b

$\mathbf b$ mit

n

$\mathbf n$ ).

Der Rest soll zeigen, dass diese gleich 1 ist. Dazu sollten die folgenden zwei Hinweise genügen:

Beachten Sie, dass für zwei Vektoren $\mathbf a$ Und $\mathbf b$ , $\mathbf a\times\mathbf b=-\mathbf b\times\mathbf a$ . Welche Anforderung wird benötigt, wenn $\mathbf b=\mathbf a$ : $\mathbf a\times\mathbf a=?$
Für den Einheitsvektor, z $\mathbf n=(1,\,0)^T$ , was ist das Skalarprodukt?

Warum ist das Skalarprodukt gleich eins? (Pauli-Spinmatrizen)

Gast

Antworten (1)

Kyle Kanos

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