Wie kann man bestimmen, ob ein Eigenzustand des Gesamtspins symmetrisch oder antisymmetrisch ist?

Question

Wie kann man bestimmen, ob ein Eigenzustand des Gesamtspins symmetrisch oder antisymmetrisch ist?

Doris

Hier haben wir zwei identische Teilchen mit Spin $I$ , ganze oder halbe ganze Zahl, und es gibt $(2I+1)^2$ Zustände.

Jeder von ihnen kann eindeutig durch den Gesamtspin und seine Orientierung bestimmt werden, die wir verwenden können $|J,m\rangle$ diesen Staat zu repräsentieren. Und aufgrund seiner Einzigartigkeit ist es entweder symmetrisch oder antisymmetrisch.

So stellen Sie fest, ob $|J,m\rangle$ basierend auf symmetrisch oder antisymmetrisch ist $I$ , $J$ Und $m$ ?

löwenbrits

Beziehen Sie sich auf den räumlichen Teil der Wellenfunktion oder den Spin-Teil oder das Ganze? Denn wenn es sich um Fermionen handelt, muss es unter Teilchenaustausch antisymmetrisch sein.

Doris

@lionelbrits dreht nur Teil.

Michael Seifert

Das kann man leicht durch eine höchstgewichtige Konstruktion zeigen, wenn sich zwei Teilchen drehen

I

$I$ gekoppelt sind, die resultierenden Zustände mit

J = 2 I

$J = 2I$ sind immer symmetrisch und die Zustände mit

J = 2 I - 1

$J = 2I-1$ sind immer antisymmetrisch. Ich vermute, dass sich diese Logik weiter unten in der Kette fortsetzt, dh die Parität eines beliebigen Zustands im Austausch ist

(- 1)^{J - 2 I}

$(-1)^{J-2I}$ ; und der Wert von

m

$m$ ist irrelevant. Allerdings habe ich mir die Beweistechnik für die ausgedacht

J = 2 I

$J = 2I$ &

J = 2 I - 1

$J = 2I - 1$ Fällen scheitert an

J = 2 I - 2

$J = 2I-2$ . Wenn ich einen allgemeinen Beweis habe, werde ich ihn auf jeden Fall posten.

Antworten (3)

Wie kann man bestimmen, ob ein Eigenzustand des Gesamtspins symmetrisch oder antisymmetrisch ist?

Beziehen Sie sich auf den räumlichen Teil der Wellenfunktion oder den Spin-Teil oder das Ganze? Denn wenn es sich um Fermionen handelt, muss es unter Teilchenaustausch antisymmetrisch sein.
Das kann man leicht durch eine höchstgewichtige Konstruktion zeigen, wenn sich zwei Teilchen drehen $I$ gekoppelt sind, die resultierenden Zustände mit $J = 2I$ sind immer symmetrisch und die Zustände mit $J = 2I-1$ sind immer antisymmetrisch. Ich vermute, dass sich diese Logik weiter unten in der Kette fortsetzt, dh die Parität eines beliebigen Zustands im Austausch ist $(-1)^{J-2I}$ ; und der Wert von $m$ ist irrelevant. Allerdings habe ich mir die Beweistechnik für die ausgedacht $J = 2I$ & $J = 2I - 1$ Fällen scheitert an $J = 2I-2$ . Wenn ich einen allgemeinen Beweis habe, werde ich ihn auf jeden Fall posten.

Michael Seifert · Answer 1

Lassen Sie uns die Spins der einzelnen Teilchen mit bezeichnen $j_1 = j_2 = I$ , die Quantenzahlen für die $z$ -Komponenten ihres Drehimpulses durch $m_1$ Und $m_2$ , der Spin ihres kombinierten Zustands durch $J$ , und das $z$ -Komponente des Drehimpulses des kombinierten Zustands durch $M$ . Wir haben zwei Basen für die Zustände dieser Teilchen: die „individuelle Teilchen“-Basis, bezeichnet mit

| ICH M_{1} ICH M_{2} ⟩

$|I \, m_1 \, I \, m_2 \rangle$ und die "kombinierte Teilchen"-Basis, bezeichnet mit

| J M ⟩ .

$|J \, M \rangle.$ (Beachten Sie, dass

j_{1}

$j_1$ Und

j_{2}

$j_2$ sind auch für diesen letzteren Zustand noch "gute" Quantenzahlen; aber sie in beide Notationen aufzunehmen, ist überflüssig und kann die Dinge verwirren, also lasse ich sie weg.) Lassen Sie uns schließlich mit bezeichnen

\hat{E}

$\hat{E}$ der Austauschoperator zwischen Teilchen 1 & 2, dh wir definieren

\hat{E}

$\hat{E}$ so dass

\hat{E} | ICH M_{1} ICH M_{2} ⟩ = | ICH M_{2} ICH M_{1} ⟩ .

$\hat{E} |I \, m_1 \, I \, m_2 \rangle = |I \, m_2 \, I \, m_1 \rangle.$

Wir können eine Basistransformation durchführen, um jeden Zustand auszudrücken $|J \, M \rangle$ in Bezug auf die Grundlage $|I \, m_1 \, I \, m_2 \rangle$ :

| J M ⟩ = \sum_{J_{1}, M_{1}, J_{2}, M_{2}} | ICH M_{1} ICH M_{2} ⟩ ⟨ ICH M_{1} ICH M_{2} | J M ⟩

$|J \, M \rangle = \sum_{j_1, m_1, j_2, m_2} |I \, m_1 \, I \, m_2 \rangle \langle I \,m_1 \,I \, m_2 | J \, M \rangle$ Die Koeffizienten

⟨ I m_{1} I m_{2} | J M ⟩

$\langle I \,m_1 \,I \, m_2 | J \, M \rangle$ sind als Clebsch-Gordan-Koeffizienten bekannt . Wir wollen wissen, was passiert, wenn wir den Börsenbetreiber anwenden

\hat{E}

$\hat{E}$ zu diesem Zustand:

\hat{E} | J M ⟩ = \sum_{J_{1}, M_{1}, J_{2}, M_{2}} | ICH M_{2} ICH M_{1} ⟩ ⟨ ICH M_{1} ICH M_{2} | J M ⟩ = \sum_{J_{1}, M_{1}, J_{2}, M_{2}} | ICH M_{1} ICH M_{2} ⟩ ⟨ ICH M_{2} ICH M_{1} | J M ⟩

$\hat{E} |J \, M \rangle = \sum_{j_1, m_1, j_2, m_2} |I \, m_2 \, I \, m_1 \rangle \langle I \,m_1 \,I \, m_2 | J \, M \rangle = \sum_{j_1, m_1, j_2, m_2} |I \, m_1 \, I \, m_2 \rangle \langle I \,m_2 \,I \, m_1 | J \, M \rangle$ (Der zweite Schritt ist nur eine Umbenennung von Dummy-Indizes

m_{1}

$m_1$ Und

m_{2}

$m_2$ in der Summe.) Das sehen wir

| J M ⟩

$|J \, M \rangle$ wird ein Eigenzustand von sein

\hat{E}

$\hat{E}$ genau dann, wenn alle Clebsch-Gordan-Koeffizienten

⟨ I m_{1} I m_{2} | J M ⟩

$\langle I \,m_1 \,I \, m_2 |J \, M \rangle$ werden beim Umtausch mit dem gleichen Faktor multipliziert

m_{1} \leftrightarrow m_{2}

$m_1 \leftrightarrow m_2$ . Glücklicherweise erfüllen die Clebsch-Gordon-Koeffizienten die Identität

⟨ J_{1} M_{1} J_{2} M_{2} | J M ⟩ = (- 1)^{J_{1} + J_{2} - J} ⟨ J_{2} M_{2} J_{1} M_{1} | J M ⟩

$\langle j_1 \,m_1 \, j_2 \, m_2 | J \, M \rangle = (-1)^{j_1 + j_2 - J} \langle j_2 \,m_2 \, j_1 \, m_1 | J \, M \rangle$ und so haben wir

\begin{matrix} \hat{E} | J M ⟩ = \sum_{J_{1}, M_{1}, J_{2}, M_{2}} | ICH M_{1} ICH M_{2} ⟩ [(- 1)^{2 ICH - J} ⟨ ICH M_{1} ICH M_{2} | J M ⟩] \\ = (- 1)^{2 ICH - J} \sum_{J_{1}, M_{1}, J_{2}, M_{2}} | ICH M_{1} ICH M_{2} ⟩ ⟨ ICH M_{1} ICH M_{2} | J M ⟩ = (- 1)^{2 ICH - J} | J M ⟩ . \end{matrix}

$\begin{multline} \hat{E} |J \, M \rangle = \sum_{j_1, m_1, j_2, m_2} |I \, m_1 \, I \, m_2 \rangle \left[ (-1)^{2I - J} \langle I \,m_1 \,I \, m_2 | J \, M \rangle \right] \\ = (-1)^{2I - J} \sum_{j_1, m_1, j_2, m_2} |I \, m_1 \, I \, m_2 \rangle \langle I \,m_1 \,I \, m_2 | J \, M \rangle = (-1)^{2I - J} |J \, M \rangle. \end{multline}$ Somit sind die kombinierten Zustände symmetrisch, wenn $2I$ Und $J$ sind beide gerade oder beide ungerade und antisymmetrisch, wenn eine Größe gerade und die andere ungerade ist.

Nebenbemerkung: Die von mir verwendete Clebsch-Gordan-Identität ist diejenige, die sowohl in MathWorld als auch in Wikipedia angegeben ist. Als ich jedoch versuchte, es aus den angegebenen Eigenschaften von Wigner 3-j-Symbolen abzuleiten (wie im Wiki-Artikel vorgeschlagen), erhielt ich $\langle j_1 \,m_1 \, j_2 \, m_2 | J \, M \rangle = (-1)^{j_1 + j_2 + J} \langle j_2 \,m_2 \, j_1 \, m_1 | J \, M \rangle$ (Beachten Sie den Vorzeichenunterschied im Exponenten.) Es spielt für diese Aufgabe keine Rolle, weil $J$ ist immer eine Ganzzahl, aber es wäre großartig, wenn jemand meine Arbeit überprüfen und mir mitteilen könnte, was ich falsch gemacht habe.
Die Quelle für dieses Zeug ist das Buch von Varshalovich. Die dort angegebene Phasenänderung ist $(-1)^{j_1+j_2-J}$ . Der $3j$ 's haben eine seltsame Phase mit den CGs, die ihre Verwendung im Vergleich zu CGs umständlich machen.

Frobenius · Answer 2

Die Endzustände $\left|j,m\right\rangle$ entsteht durch die Kopplung zweier Drehimpulse $j_{\alpha}$ Und $j_{\beta}$ beziehen sich auf die anfänglichen entkoppelten Zustände $\left|j_{\alpha},m^{\alpha}\right\rangle, \left|j_{\beta},m^{\beta}\right\rangle$ durch die sogenannten Glebsch-Gordan-Koeffizienten $C_{jm^{\alpha}m^{\beta}}^{j_{\alpha}j_{\beta}}$

\begin{matrix} (01) & | J, M ⟩ = \sum_{M^{a}, M^{β}}^{M^{a} + M^{β} = M} C_{J M^{a} M^{β}}^{J_{a} J_{β}} | J_{a}, M^{a} ⟩ | J_{β}, M^{β} ⟩ \end{matrix}

$\begin{equation} \left|j,m\right\rangle =\sum_{m^{\alpha},m^{\beta}}^{m^{\alpha}\!+m^{\beta}=m}C_{jm^{\alpha}m^{\beta}}^{j_{\alpha}j_{\beta}}\left|j_{\alpha},m^{\alpha}\right\rangle \left|j_{\beta},m^{\beta}\right\rangle \tag{01} \end{equation}$ Wo

\begin{matrix} (02) & \begin{aligned} J = | J_{a} - J_{β} |, | J_{a} - J_{β} | + 1, \dots, J_{a} + J_{β} \\ M = - J, - J + 1, \dots, J - 1, J \\ M = M^{a} + M^{β} \\ M^{a} = - J_{a}, - J_{a} + 1, \dots, J_{a} - 1, J_{a} \\ M^{β} = - J_{β}, - J_{β} + 1, \dots, J_{β} - 1, J_{β} \\ | J_{a}, M^{a} ⟩ | J_{β}, M^{β} ⟩ = | J_{a}, M^{a} ⟩ \otimes | J_{β}, M^{β} ⟩ \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{split} & j=\vert j_{\alpha}-j_{\beta}\vert,\vert j_{\alpha}-j_{\beta}\vert+1 , \cdots , j_{\alpha}+j_{\beta}\\ & m=-j,-j+1, \cdots , j-1,j\\ & m= m^{\alpha}+m^{\beta}\\ & m^{\alpha} = -j_{\alpha},-j_{\alpha}+1, \cdots, j_{\alpha}-1,j_{\alpha}\\ & m^{\beta} = -j_{\beta},-j_{\beta}+1, \cdots, j_{\beta}-1,j_{\beta}\\ & \left|j_{\alpha},m^{\alpha}\right\rangle \left|j_{\beta},m^{\beta}\right\rangle=\left|j_{\alpha},m^{\alpha}\right\rangle \boldsymbol{\otimes}\left|j_{\beta},m^{\beta}\right\rangle \end{split} \tag{02} \end{equation}$ Diese Koeffizienten sind durch Gleichung (03) gegeben.

\begin{matrix} (03) & \begin{aligned} C_{J M^{a} M^{β}}^{J_{a} J_{β}} = \\ \frac{\sqrt{(J + J_{a} - J_{β})! (J - J_{a} + J_{β})! (J_{a} + J_{β} - J)! (J + M^{a} + M^{β})! (J - M^{a} - M^{β})!}}{\sqrt{(J + J_{a} + J_{β} + 1)! (J_{a} - M^{a})! (J_{a} + M^{a})! (J_{β} - M^{β})! (J_{β} + M^{β})!}} \\ \times \sum_{ϰ} \frac{{(- 1)}^{ϰ + J_{β} + M^{β}} \sqrt{(2 J + 1)} (J + J_{β} + M^{a} - ϰ)! (J_{a} - M^{a} + ϰ)!}{(J - J_{a} + J_{β} - ϰ)! (J + M^{a} + M^{β} - ϰ)! ϰ! (ϰ + J_{a} - J_{β} - M^{a} - M^{β})!} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{split} & C_{jm^{\alpha}m^{\beta}}^{j_{\alpha}j_{\beta}}=\\ & \frac{\sqrt{\left(j+j_{\alpha}-j_{\beta}\right)!\left(j-j_{\alpha}+j_{\beta}\right)!\left(j_{\alpha}+j_{\beta}-j\right)!\left(j+m^{\alpha}+m^{\beta}\right)!\left(j-m^{\alpha}-m^{\beta}\right)!}}{\sqrt{\left(j+j_{\alpha}+j_{\beta}+1\right)!\left(j_{\alpha}-m^{\alpha}\right)!\left(j_{\alpha}+m^{\alpha}\right)!\left(j_{\beta}-m^{\beta}\right)!\left(j_{\beta}+m^{\beta}\right)!}}\\ &\times \sum_{\varkappa}\frac{\left(-1\right)^{\varkappa+j_{\beta}+m^{\beta}}\sqrt{\left( 2j+1\right) }\left(j+j_{\beta}+m^{\alpha}-\varkappa \right)!\left(j_{\alpha}-m^{\alpha}+\varkappa\right)!}{\left(j-j_{\alpha}+j_{\beta}-\varkappa \right)!\left(j+m^{\alpha}+m^{\beta}-\varkappa \right)!\varkappa!\left(\varkappa + j_{\alpha}-j_{\beta}-m^{\alpha}-m^{\beta}\right)!} \end{split} \tag{03} \end{equation}$ Die Variable

ϰ

$\,\varkappa\,$ in series nimmt alle nichtnegativen ganzzahligen Werte an, für die alle Fakultäten einen Sinn haben.

Austausch $j_{\alpha}$ Und $j_{\beta}$ und gleichzeitig $m^{\alpha}$ Und $m^{\beta}$ Erträge

\begin{matrix} (04) & \begin{aligned} C_{J M^{β} M^{a}}^{J_{β} J_{a}} = \\ \frac{\sqrt{(J + J_{a} - J_{β})! (J - J_{a} + J_{β})! (J_{a} + J_{β} - J)! (J + M^{a} + M^{β})! (J - M^{a} - M^{β})!}}{\sqrt{(J + J_{a} + J_{β} + 1)! (J_{a} - M^{a})! (J_{a} + M^{a})! (J_{β} - M^{β})! (J_{β} + M^{β})!}} \\ \times \sum_{ϰ} \frac{{(- 1)}^{ϰ + J_{a} + M^{a}} \sqrt{(2 J + 1)} (J + J_{a} + M^{β} - ϰ)! (J_{β} - M^{β} + ϰ)!}{(J + J_{a} - J_{β} - ϰ)! (J + M^{a} + M^{β} - ϰ)! ϰ! (ϰ - J_{a} + J_{β} - M^{a} - M^{β})!} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{split} & C_{jm^{\beta}m^{\alpha}}^{j_{\beta}j_{\alpha}}=\\ & \frac{\sqrt{\left(j+j_{\alpha}-j_{\beta}\right)!\left(j-j_{\alpha}+j_{\beta}\right)!\left(j_{\alpha}+j_{\beta}-j\right)!\left(j+m^{\alpha}+m^{\beta}\right)!\left(j-m^{\alpha}-m^{\beta}\right)!}}{\sqrt{\left(j+j_{\alpha}+j_{\beta}+1\right)!\left(j_{\alpha}-m^{\alpha}\right)!\left(j_{\alpha}+m^{\alpha}\right)!\left(j_{\beta}-m^{\beta}\right)!\left(j_{\beta}+m^{\beta}\right)!}}\\ &\times \sum_{\varkappa}\frac{\left(-1\right)^{\varkappa+j_{\alpha}+m^{\alpha}}\sqrt{\left( 2j+1\right) }\left(j+j_{\alpha}+m^{\beta}-\varkappa \right)!\left(j_{\beta}-m^{\beta}+\varkappa\right)!}{\left(j+j_{\alpha}-j_{\beta}-\varkappa \right)!\left(j+m^{\alpha}+m^{\beta}-\varkappa \right)!\varkappa!\left(\varkappa - j_{\alpha}+j_{\beta}-m^{\alpha}-m^{\beta}\right)!} \end{split} \tag{04} \end{equation}$

Wie in Wigner ⁽¹⁾ $\; C_{jm^{\alpha}m^{\beta}}^{j_{\alpha}j_{\beta}}$ bleibt unverändert, wenn $j_{\alpha}$ Und $j_{\beta}$ und gleichzeitig $m^{\alpha}$ Und $m^{\beta}$ vertauscht werden und hieraus der Faktor ergibt $\left(-1\right)^{j_{\alpha}+j_{\beta}-j}$ wird angewandt

\begin{matrix} (05) & C_{J M^{a} M^{β}}^{J_{a} J_{β}} = {(- 1)}^{J_{a} + J_{β} - J} C_{J M^{β} M^{a}}^{J_{β} J_{a}} \end{matrix}

$\begin{equation} C_{jm^{\alpha}m^{\beta}}^{j_{\alpha}j_{\beta}} =\left(-1\right)^{j_{\alpha}+j_{\beta}-j} C_{jm^{\beta}m^{\alpha}}^{j_{\beta}j_{\alpha}} \tag{05} \end{equation}$ Beachten Sie, dass unter einem zweiten Austausch der Gesamtfaktor wäre

{(- 1)}^{2 (j_{α} + j_{β} - j)} = + 1

$\left(-1\right)^{2\left(j_{\alpha}+j_{\beta}-j\right)}=+1$ wie erwartet, da

(j_{α} + j_{β} - j)

$\left(j_{\alpha}+j_{\beta}-j\right)$ ist immer eine (nicht negative) ganze Zahl.

So für $j_{\alpha}=I=j_{\beta}$ die beiden Koeffizienten unterscheiden sich um $(-1)^\left(2I-j\right)$ und in Übereinstimmung mit der Antwort von Michael Seifert:

die kombinierten Zustände sind symmetrisch, wenn $2I$ Und $j$ sind beide gerade oder beide ungerade und antisymmetrisch, wenn eine Größe gerade und die andere ungerade ist.

Beispiele:

$\qquad j_{\alpha}=\frac{1}{2}=j_{\beta}$

2 \otimes 2 = 1 \oplus 3

$\begin{equation} \boldsymbol{2}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{2}=\boldsymbol{1}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{3} \nonumber \end{equation}$

\begin{matrix} (Ex-01) & [\begin{matrix} | 0, 0 ⟩ \\ | 1, - 1 ⟩ \\ | 1, 0 ⟩ \\ | 1, + 1 ⟩ \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & - ρ & + ρ & 0 \\ + 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & + ρ & + ρ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & + 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} {| \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} ⟩}_{a} {| \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} ⟩}_{β} \\ {| \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} ⟩}_{a} {| \frac{1}{2}, + \frac{1}{2} ⟩}_{β} \\ {| \frac{1}{2}, + \frac{1}{2} ⟩}_{a} {| \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} ⟩}_{β} \\ {| \frac{1}{2}, + \frac{1}{2} ⟩}_{a} {| \frac{1}{2}, + \frac{1}{2} ⟩}_{β} \end{matrix}], ρ = \sqrt{\frac{1}{2}} \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{bmatrix} \left|0,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle\vphantom{\left|\frac12,\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}}\\ \left|1,\!\!-\!1\right\rangle\vphantom{\left|\frac12,\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}}\\ \left|1,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle\vphantom{\left|\frac12,\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}}\\ \left|1,\!\!+\!1\right\rangle\vphantom{\left|\frac12,\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&-\rho\hphantom{+}&+\rho\hphantom{+}&0\vphantom{\left|\frac{1} {2},\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}}\\ +1\hphantom{+}&0&0&0\vphantom{\left|\frac{1} {2},\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}}\\ 0&+\rho\hphantom{+}&+\rho\hphantom{+}&0\vphantom{\left|\frac{1} {2},\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}}\\ 0&0&0&+1\hphantom{+}\vphantom{\left|\frac{1} {2},\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \left|\frac{1}{2},\!\!-\frac{1}{2}\right\rangle_{\alpha}\left|\frac{1} {2},\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}\\ \left|\frac{1}{2},\!\!-\frac{1}{2}\right\rangle_{\alpha}\left|\frac{1}{2},\!\!+\frac12\right\rangle_{\beta}\\ \left|\frac{1}{2},\!\!+\frac{1}{2}\right\rangle_{\alpha}\left|\frac{1}{2},\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}\\ \left|\frac{1}{2},\!\!+\frac{1}{2}\right\rangle_{\alpha}\left|\frac{1}{2},\!\!+\frac12\right\rangle_{\beta} \end{bmatrix} \, , \quad \rho = \sqrt{\tfrac12} \tag{Ex-01} \end{equation}$

^{$\boldsymbol{1} : \left|0,\,0\,\right\rangle \Longrightarrow \text{antisymmetric}$}

^{$\boldsymbol{3} : \left|1,\!\!-\!1\right\rangle,\left|1,0\right\rangle,\left|1,\!\!-\!1\right\rangle\Longrightarrow \text{symmetric}$}

$\qquad j_{\alpha}=1=j_{\beta}$

3 \otimes 3 = 1 \oplus 3 \oplus 5

$\begin{equation} \boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}=\boldsymbol{1}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{3}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{5} \nonumber \end{equation}$

\begin{matrix} (Ex-02) & [\begin{matrix} | 0, 0 ⟩ \\ | 1, - 1 ⟩ \\ | 1, 0 ⟩ \\ | 1, + 1 ⟩ \\ | 2, - 2 ⟩ \\ | 2, - 1 ⟩ \\ | 2, 0 ⟩ \\ | 2, + 1 ⟩ \\ | 2, + 2 ⟩ \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 & + σ & 0 & - σ & 0 & + σ & 0 & 0 \\ 0 & - ρ & 0 & + ρ & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - ρ & 0 & 0 & 0 & + ρ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - ρ & 0 & + ρ & 0 \\ + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & + ρ & 0 & + ρ & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & + τ & 0 & + υ & 0 & + τ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & + ρ & 0 & + ρ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & + 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} {| 1, - 1 ⟩}_{a} {| 1, - 1 ⟩}_{β} \\ {| 1, - 1 ⟩}_{a} {| 1, 0 ⟩}_{β} \\ {| 1, - 1 ⟩}_{a} {| 1, + 1 ⟩}_{β} \\ {| 1, 0 ⟩}_{a} {| 1, - 1 ⟩}_{β} \\ {| 1, 0 ⟩}_{a} {| 1, 0 ⟩}_{β} \\ {| 1, 0 ⟩}_{a} {| 1, + 1 ⟩}_{β} \\ {| 1, + 1 ⟩}_{a} {| 1, - 1 ⟩}_{β} \\ {| 1, + 1 ⟩}_{a} {| 1, 0 ⟩}_{β} \\ {| 1, + 1 ⟩}_{a} {| 1, + 1 ⟩}_{β} \end{matrix}], \begin{matrix} ρ = \sqrt{\frac{1}{2}} \\ σ = \sqrt{\frac{1}{3}} \\ τ = \sqrt{\frac{1}{6}} \\ υ = \sqrt{\frac{2}{3}} \end{matrix} \end{matrix}

$\begin{equation} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \begin{bmatrix} \left|0,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ \left|1,\!\!-\!1\right\rangle\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ \left|1,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ \left|1,\!\!+\!1\right\rangle\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ \left|2,\!\!-\!2\right\rangle\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ \left|2,\!\!-\!1\right\rangle\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ \left|2,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ \left|2,\!\!+\!1\right\rangle\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ \left|2,\!\!+\!2\right\rangle\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \end{bmatrix} \!=\! \begin{bmatrix} 0&0&+\sigma\hphantom{+}&0&-\sigma\hphantom{+}&0&+\sigma\hphantom{+}&0&0\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ 0&-\rho\hphantom{+}&0&+\rho\hphantom{+}&0&0&0&0&0\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ 0&0&-\rho\hphantom{+}&0&0&0&+\rho\hphantom{+}&0&0\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ 0&0&0&0&0&-\rho\hphantom{+}&0&+\rho\hphantom{+}&0\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ +1\hphantom{+}&0&0&0&0&0&0&0&0\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ 0&+\rho\hphantom{+}&0&+\rho\hphantom{+}&0&0&0&0&0\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ 0&0&+\tau\hphantom{+}&0&+\upsilon\hphantom{+}&0&+\tau\hphantom{+}&0&0\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ 0&0&0&0&0&+\rho\hphantom{+}&0&+\rho\hphantom{+}&0\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ 0&0&0&0&0&0&0&0&+1\hphantom{+}\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\alpha}\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta} \\ \left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\alpha}\left|1,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle_{\beta} \\ \left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\alpha}\left|1,\!\!+\!1 \right\rangle_{\beta} \\ \left|1,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle_{\alpha}\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta} \\ \left|1,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle_{\alpha}\left|1,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle_{\beta} \\ \left|1,\hphantom{\!\!-\!}0 \right\rangle_{\alpha}\left|1,\!\!+\!1\right\rangle_{\beta} \\ \left|1,\!\!+\!1 \right\rangle_{\alpha}\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta} \\ \left|1,\!\!+\!1 \right\rangle_{\alpha}\left|1,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle_{\beta} \\ \left|1,\!\!+\!1\right\rangle_{\alpha}\left|1,\!\!+\!1\right\rangle_{\beta} \end{bmatrix} \,, \: \begin{matrix} \rho = \sqrt{\frac12} \\ \sigma = \sqrt{\frac13}\\ \tau = \sqrt{\frac16}\\ \upsilon = \sqrt{\frac23} \end{matrix} \tag{Ex-02} \end{equation}$

^{$\boldsymbol{1} : \left|0,\,0\,\right\rangle \Longrightarrow \text{symmetric}$}

^{$\boldsymbol{3} : \left|1,\!\!-\!1\right\rangle,\left|1,0\right\rangle,\left|1,\!\!-\!1\right\rangle\Longrightarrow \text{antisymmetric}$}

^{$\boldsymbol{5} : \left|2,\!\!-\!2\right\rangle,\left|2,\!\!-\!1\right\rangle,\left|2,0\right\rangle,\left|2,\!\!+\!1\right\rangle,\left|2,\!\!+\!2\right\rangle \Longrightarrow \text{symmetric}$}

^{(1) Wigner Eugene P. "Group Theory and Its Application to Quantum Mechanics of Atomic Spectra" (1959) : Wie in der Fußnote auf Seite 192 erwähnt, unterscheiden sich die beiden Koeffizienten unter Verwendung unserer Symbole um den Faktor $\left(-1\right)^{j_{\alpha}+j_{\beta}-j}$ .}

löwenbrits · Answer 3

Für Spin-1/2-Teilchen muss die gesamte Wellenfunktion unter Teilchenaustausch antisymmetrisch sein. Auch die räumliche Komponente hat Parität $(-1)^\ell$ , also wenn $\ell$ gerade ist, muss die Spinkomponente unter Austausch ungerade sein.

Wie kann man bestimmen, ob ein Eigenzustand des Gesamtspins symmetrisch oder antisymmetrisch ist?

Doris

löwenbrits

Doris

Michael Seifert

Antworten (3)

Michael Seifert

Michael Seifert

ZeroTheHero

Frobenius

löwenbrits

Matrixdarstellung Drehimpuls

Wie ist die Parität für die Bestimmung des Drehimpulses relevant?

Triplett- und Singulettzustände: fermionisch oder bosonisch?

Pauli-Matrix für Triplettzustand?

Warum ist dieser Spin-Erwartungswert ein Vektor?

Wie kommutiert man Drehimpuls und Spin in der Dirac-Gleichung?

Warum ist das Skalarprodukt gleich eins? (Pauli-Spinmatrizen)

Finden Sie die zulässigen Werte des Gesamtdrehimpulses jjj und der Projektion des Gesamtdrehimpulses mjmjm_{j}?

Verwenden der Rotationsmatrix für den Spin, um den x-orientierten Spin auf der Z-Spin-Basis zu schreiben

Zeitmittelwert des Spin-Operators