Pauli-Matrix für Triplettzustand?

Question

Pauli-Matrix für Triplettzustand?

Prasad Mani

Die Frage ist, was das Ergebnis der Anwendung des Operators wäre $\hat A = [3I + \vec\sigma_1 . \vec\sigma_2]$ auf dem |Unterhemd $\rangle$ und | Triplett $\rangle$ Zustände ( $\vec\sigma_1$ wirkt auf das 1. Teilchen und $\vec\sigma_2$ wirkt NUR auf das zweite Teilchen), dh

\hat{A} | S ich N G l e T ⟩ = ? | S ich N G l e T ⟩

$\hat A|singlet\rangle=?|singlet\rangle$

Und

\hat{A} | T R ich P l e T ⟩ = ? | T R ich P l e T ⟩

$\hat A|triplet\rangle=?|triplet\rangle$

Ich stecke beim Triplett-Teil der Frage fest.

Für ein System aus 2 halben Spinteilchen, wo $\vec\sigma_1$ wirkt auf das 1. Teilchen und $\vec\sigma_2$ wirkt NUR auf das zweite Teilchen (wie das Hinzufügen eines Drehimpulses von zwei Elektronen)

\vec{σ} = {\vec{σ}}_{1} + {\vec{σ}}_{2}

$\vec\sigma=\vec\sigma_1+\vec\sigma_2$

beide Seiten quadrieren,

{\vec{σ}}^{2} = ({\vec{σ}}_{1} + {\vec{σ}}_{2})^{2}

$\vec\sigma^2=(\vec\sigma_1+\vec\sigma_2)^2$

von denen wir haben

{\vec{σ}}_{1} . {\vec{σ}}_{2} = (σ^{2} - σ_{1}^{2} - σ_{2}^{2}) / 2

$\vec\sigma_1 . \vec\sigma_2 = (\sigma^2 - \sigma_1^{2} - \sigma_2^{2})/2$

Jetzt, $\sigma_1^{2}=\sigma_{1x}^{2}+\sigma_{1y}^{2}+\sigma_{1z}^{2}=3I$ und ähnlich, $\sigma_2^{2}=3I$ .

und für den Singulett-Zustand der Wert von $\sigma^2=0$ , (die ich aus dem totalen Spin-Wesen entnommen habe $0$ für den Singulett-Zustand), was ergibt

{\vec{σ}}_{1} . {\vec{σ}}_{2} = (0 - 3 ICH - 3 ICH) / 2 = - 3 ICH

$\vec\sigma_1 . \vec\sigma_2 = (0 - 3I - 3I)/2=-3I$

Ich weiß nicht, welchen Wert $\sigma^2$ ist für den Triplettzustand (ich weiß, dass der Gesamtspin $S$ Ist $\sqrt2\hbar$ )?

Den Gesamtspin kann ich dem nicht zuordnen $\vec\sigma$ richtig

rauben

Versuchen Sie, die Matrix und den Triplett-Zustandsvektor aufzuschreiben. Bearbeiten Sie diese Frage, um sie in die Warteschlange zum erneuten Öffnen zu stellen, wenn Sie danach eine konzeptionelle Frage haben.

Prasad Mani

@rob , bitte sei ein wenig verständnisvoll. Sie wissen das vielleicht nicht, aber ich habe ein paar Stunden damit verbracht zu verstehen, wie man die Gesamt-Pauli-Matrix für den Triplett-Zustand schreibt. Alles, was ich habe, ist verstreutes Wissen über Pauli-Matrizen und Singulett- und Triplettzustände. Es ist eine Schande, dass ein Benutzer Ihres Niveaus nicht ein wenig Empathie gegenüber meinem Benutzer haben kann. Nur weil Sie die Befugnis haben, Fragen zurückzustellen, heißt das nicht, dass Sie sie stellen sollten, wenn sie Ihrer Interpretation der hohen Standards dieser Seite nicht entsprechen. Geben Sie anderen die Möglichkeit, meine Zweifel zu beantworten.

rauben

Tut mir leid, wenn ich schroff rüberkam, @Prasad – Empathie zu zeigen, ohne wortreich zu werden, ist schwierig. Ihr bearbeiteter Beitrag sollte sich in der Warteschlange zum Wiedereröffnen befinden, und dies ist die Art von grenzwertiger Hausaufgaben-ähnlicher Frage, bei der die Leute im Physik-Chat helfen könnten.

Prasad Mani

@rob Ist es zu viel verlangt, nur eine schnelle Antwort zu geben? Die gegebene Antwort lautet

8 I

$8I$ ....es geht so...

σ = 2 S

$\sigma=2S$ Wo

S = \sqrt{2}

$S=\sqrt2$ und daher

σ^{2} = 4 S^{2} = 8 I

$\sigma^2=4S^2=8I$ . Was ich nicht verstehe ist wie

σ = 2 S

$\sigma=2S$ für das Triplett.

ZeroTheHero

Entschuldigung, aber Ihre Frage ist überhaupt nicht klar. Sicher,

σ_{1}

$\sigma_1$ wirkt auf 1. Teilchen etc, aber was tut

σ^{2}

$\sigma^2$ handeln? Vermutlich ist das der Gesamtspin so

σ^{2}

$\sigma^2$ ist nur der Einheitenoperator (den Sie anscheinend nennen

I

$I$ ) multipliziert mit

S (S + 1) = 1 \times 2 = 2

$S(S+1)=1\times 2=2$ für das Triplett.

Prasad Mani

@ZeroTheHero, klarer?

Antworten (2)

Pauli-Matrix für Triplettzustand?

Versuchen Sie, die Matrix und den Triplett-Zustandsvektor aufzuschreiben. Bearbeiten Sie diese Frage, um sie in die Warteschlange zum erneuten Öffnen zu stellen, wenn Sie danach eine konzeptionelle Frage haben.
@rob , bitte sei ein wenig verständnisvoll. Sie wissen das vielleicht nicht, aber ich habe ein paar Stunden damit verbracht zu verstehen, wie man die Gesamt-Pauli-Matrix für den Triplett-Zustand schreibt. Alles, was ich habe, ist verstreutes Wissen über Pauli-Matrizen und Singulett- und Triplettzustände. Es ist eine Schande, dass ein Benutzer Ihres Niveaus nicht ein wenig Empathie gegenüber meinem Benutzer haben kann. Nur weil Sie die Befugnis haben, Fragen zurückzustellen, heißt das nicht, dass Sie sie stellen sollten, wenn sie Ihrer Interpretation der hohen Standards dieser Seite nicht entsprechen. Geben Sie anderen die Möglichkeit, meine Zweifel zu beantworten.
Tut mir leid, wenn ich schroff rüberkam, @Prasad – Empathie zu zeigen, ohne wortreich zu werden, ist schwierig. Ihr bearbeiteter Beitrag sollte sich in der Warteschlange zum Wiedereröffnen befinden, und dies ist die Art von grenzwertiger Hausaufgaben-ähnlicher Frage, bei der die Leute im Physik-Chat helfen könnten.
@rob Ist es zu viel verlangt, nur eine schnelle Antwort zu geben? Die gegebene Antwort lautet $8I$ ....es geht so... $\sigma=2S$ Wo $S=\sqrt2$ und daher $\sigma^2=4S^2=8I$ . Was ich nicht verstehe ist wie $\sigma=2S$ für das Triplett.
Entschuldigung, aber Ihre Frage ist überhaupt nicht klar. Sicher, $\sigma_1$ wirkt auf 1. Teilchen etc, aber was tut $\sigma^2$ handeln? Vermutlich ist das der Gesamtspin so $\sigma^2$ ist nur der Einheitenoperator (den Sie anscheinend nennen $I$ ) multipliziert mit $S(S+1)=1\times 2=2$ für das Triplett.

Kosmas Zachos · Answer 1

Wie @rob Sie gebeten hat, sollen Sie einfach aufschreiben

\hat{B} \equiv {\vec{σ}}_{1} \cdot {\vec{σ}}_{2} = σ_{1}^{X} σ_{2}^{X} + σ_{1}^{j} σ_{2}^{j} + σ_{1}^{z} σ_{2}^{z} = (σ_{1}^{X} + ich σ_{1}^{j}) (σ_{2}^{X} - ich σ_{2}^{j}) / 2 + (σ_{1}^{X} - ich σ_{1}^{j}) (σ_{2}^{j} + ich σ_{2}^{j}) / 2 + σ_{1}^{z} σ_{2}^{z} \equiv σ_{1}^{+} σ_{2}^{-} + σ_{1}^{-} σ_{2}^{+} + σ_{1}^{z} σ_{2}^{z},

$\hat{B}\equiv\vec{\sigma}_1\cdot\vec{\sigma}_2 = {\sigma}_1^x {\sigma}_2^x +{\sigma}_1^y {\sigma}_2^y+{\sigma}_1^z {\sigma}_2^z \\= ({\sigma}_1^x+i {\sigma}_1^y)({\sigma}_2^x -i{\sigma}_2^y )/2 +({\sigma}_1^x-i{\sigma}_1^y ) ({\sigma}_2^y +i{\sigma}_2^y)/2+{\sigma}_1^z {\sigma}_2^z\\ \equiv {\sigma}_1^+ {\sigma}_2^- +{\sigma}_1^- {\sigma}_2^+ +{\sigma}_1^z {\sigma}_2^z ~,$ Wo

σ^{+} ↑= 0

$\sigma^+ \uparrow=0$ , Und

σ^{+} ↓=↑ \sqrt{2}

$\sigma^+ \downarrow=\uparrow \sqrt{2}$ , etc... für 1 und 2. Rückruf

σ^{+} = \sqrt{2} (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) .

$\sigma^+ = \sqrt{2} \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix} .$

Handeln auf dem Unterhemd, $\uparrow \downarrow- \downarrow \uparrow$ , Das $\hat B$ hat den offensichtlichen Eigenwert -3.

Das Triplett ist $\uparrow \uparrow$ ; $(\uparrow\downarrow+\downarrow\uparrow)/\sqrt{2}$ ; $\downarrow \downarrow$ , und so hat es offensichtlich den Eigenwert 1 unter der Wirkung von $\hat{B}$ .

Dein $\hat A= 3 1\!\!1 +\hat{B}$ hat bei meinen Normalisierungen die Eigenwerte 0 bzw. 4. Das heißt natürlich, dass für das Triplett $\sigma^2/4=2=(1+1)1$ , wie erwartet.

Danke, das klärt sich auf. Nur noch eine Sache. Ist nicht $\sigma^+$ = $\sigma^x+i\sigma^y$ ? Was ist der zusätzliche Faktor von $1/\sqrt{2}$ . Ich verstehe, dass du es so schreiben musstest. Aber $\sigma^+$ ist definiert als $\sigma^x+i\sigma^y$ Rechts?
Ich habe meine Antwort so bearbeitet, dass sie explizit angezeigt wird $σ^+$ wie im vorhergehenden Ausdruck für den Punktterm normalisiert, also dann $1/\sqrt{2}$ von dem was du schreibst. Ich verwende Pauli-Matrizen, keine Spin-Matrizen, die die Hälfte der Pauli-Matrizen sind. Die Antwort ist also nur eine Brute-Force-Evaluierung des Matrixtensorprodukts.

ZeroTheHero · Answer 2

Einstellung $\hbar=1$ Der Einfachheit halber sind die Matrizen, die Sie benötigen, die $S=1$ Matrizen. Man erhält leicht

S_{z} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array}), S_{+} = \sqrt{2} (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}), S_{+} = S_{-}^{†},

$S_z=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&-1\end{array}\right)\, ,\quad S_+=\sqrt{2}\left(\begin{array}{ccc} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{array}\right)\, ,\quad S_+=S_-^\dagger,$ von denen man sich erholt

S_{x}

$S_x$ Und

S_{y}

$S_y$ durch Invertierung

S_{\pm} = S_{x} \pm i S_{y}

$S_\pm=S_x\pm i S_y$ . Die Matrix für

S^{2}

$S^2$ wird sein

2 \times I

$2\times I$ Wo

I

$I$ ist der

3 \times 3

$3\times 3$ Einheitsmatrix.

Entschuldigung, das dachte ich. Aber die Antwort, die ich habe, ist $8I$ . Ich weiß nicht, was richtig ist. Siehe die Kommentare, in denen ich Rob erzählt habe, wie es dazu kam
Ich verstehe nicht, wie du das herleitest $\sigma=2S$ . $\sigma$ an sich ist weder eine Zahl noch ein einzelner Operator. $\sigma^2$ Sinn macht da die Summe der Quadrate aller Komponenten aber was ist $\sigma$ ? Eine Matrix?
Sie wollten die Matrizen für die Triplettzustände, sie sind wie oben. Es gibt nichts mehr.
Ich habe das nicht gefolgert ... ich habe erwähnt, was auch immer in meinem Buch gegeben wurde ... ich dachte, es ergibt keinen Sinn ... also habe ich hier gefragt. Also um es zusammenzufassen, $\sigma=S$ ohne das $\hbar$ Rechts? Ich weiß nicht, warum sie 2S genommen haben
Tut mir leid, dass Sie immer noch nicht geklärt haben, was ist $\sigma$ . Ist es ein Operator, ein Vektor von Operatoren oder eine Zahl?
Es ist ein Operator. Eigentlich ist es eine Addition von zwei verschiedenen Operatoren, die auf ihr entsprechendes Teilchen einwirken.
Ich glaube nicht, dass die Behandlung von zwei Spin-Hälften in einem Triplett-Zustand die gleiche ist wie EIN Spin-1-Teilchen, obwohl sie sich in Bezug auf ihre Eigenschaften ähneln $m_s$ Quantenzahl. Die Pauli-Matrizen bleiben also bestehen $2x2$ . Sie müssen sie als getrennte, aber nicht unterscheidbare Einheiten behandeln.

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