Entartung von Zuständen bei Berücksichtigung der Spin-Orbit-Kopplung

Bevor ich diese Frage stelle, muss ich einige notwendige Hintergrundinformationen wie folgt einfügen, damit die Frage einen Sinn ergibt:

Bei einer einfachen quantenmechanischen Behandlung von Wasserstoff haben alle Zustände den gleichen Wert der Hauptquantenzahl$n$sind entartet, da sie die gleiche Energie haben. Die totale Entartung aller Zustände mit einem gegebenen Wert von ist$2n^2$und dies kann wie folgt gezeigt werden:

Betrachten wir zunächst (hauptsächlich als Referenz) die relevanten Quantenzahlen für Wasserstoff in diesem Problem:

$n$: Hauptquantenzahl ($n\ge 1$; ganzzahlige Werte)

$\ell$: Bahndrehimpulsquantenzahl ($0\le\ell\le n-1$; ganzzahlige Werte)

$m_{\ell}$: Magnetische Quantenzahl ($-\ell\le m_{\ell}\le \ell$; ganzzahlige Werte)

$m_s$: Spinprojektionsquantenzahl ($-s\le m_s\le s$; für unseren Fall$m_s=\pm \frac12$)

Die Tabelle für die erlaubten Quantenzahlen sind:

Aus der obigen Tabelle können Sie dies leicht ersehen$n$die Summe der zugehörigen$m_{\ell}$Werte für jeden$\ell$wird geben$n^2$. Oder seit je kompakter geschrieben$\ell$hat$2\ell + 1$Werte für$m_{\ell}$:

Nun stellen wir fest, dass es zwei mögliche Werte für gibt$m_s$(was ich nicht in die Tabelle eingetragen habe, da es mühsam ist), also multiplizieren wir den obigen Ausdruck mit$2$um die Antwort zu bekommen$2n^2$.

Das obige wurde ohne Berücksichtigung der Spin-Orbit-Kopplung durchgeführt. Bei der Spin-Bahn-Kopplung wird jeweils berücksichtigt$n$,$\ell$Zustand führt zu zwei Niveaus mit Gesamtdrehimpuls$j=\ell \pm \frac12$

Zeigen Sie, dass die Gesamtzahl der Zustände mit den gleichen Werten von$n$Und$\ell$ist unverändert. Dies veranschaulicht den allgemeinen Punkt, dass die Wiederkopplung der Drehimpulse niemals die Gesamtzahl der verfügbaren Zustände ändert.

Zuerst werde ich die Lösung dazu zitieren und dann erklären, welchen Teil ich nicht verstehe:

Der Staat$n,\ell$hat eine Entartung von$2(2\ell+1)$. Wenn es in zwei Zustände mit aufgeteilt wird$j=\ell-\frac12$Und$j=\ell +\frac12$, die Entartungen dieser Zustände sind$\color{red}{2\ell}$ $\,\color{red}{\text{&}}$ $\,\color{red}{2\ell + 2}$, also ist die totale Entartung immer noch da$4\ell +2$. Da dies für jeden Wert von gilt$\ell$, es gilt für die vollständige Menge von Zuständen mit dem gleichen Wert von$n$.

Erstens verstehe ich, warum der Staat$n,\ell$hat eine Entartung von$2(2\ell+1)$, weil es zwei mögliche Werte für gibt$m_{s}$für ein gegebenes$\ell$ und es gibt$2\ell +1$Werte von$m_{\ell}$die sich vermehren zu geben$2(2\ell+1)$.

Der Teil der Lösung, den ich nicht verstehe, ist rot markiert.

Nach dem$n,\ell$Zustand zerfällt in$2$erklärt, warum diese Zustände Entartungen haben müssen$\color{red}{2\ell}$Und$\,\color{red}{2\ell + 2}$?

Anders ausgedrückt; Warum nicht als Split$\ell$Und$3\ell +2$zum Beispiel, welche Summe man benötigt$4\ell +2$oder$\ell + 1$Und$3\ell +1$?

Ich fürchte, ich übersehe hier etwas ganz Einfaches.