Ableitung des magnetischen Moments aus der Dirac-Gleichung

$A\times P$– genauer gesagt ein Ausdruck proportional zu$A\times P + P\times A$– wurde nicht auf Null gesetzt. Es wurde richtig ausgewertet und das Ergebnis gab die$iq\hbar B/c$Begriff.

Beachten Sie, dass wenn$\pi$waren ein Vektor von$c$-Zahlen statt Operatoren,$\pi\times \pi$wäre gleich null. So verhält sich das Kreuzprodukt. Also irgendein Term im Kreuzprodukt$\pi\times \pi$das heißt ungleich Null muss proportional zu den Kommutatoren ungleich Null zwischen den Komponenten sein$\pi$. Nun, alle drei Komponenten von$P$miteinander pendeln; und alle drei Komponenten von$A$(die vom Vektor abhängen$x$) pendeln miteinander. Also alle Begriffe drin$\pi\times \pi$aus den Kommutatoren von Bauteilen entstehen müssen$P$, im Wesentlichen ein Derivat in Bezug auf$x$, und Komponenten des Vektorpotentials$A$. Durch die Rotationssymmetrie ist klar, dass man ein Vielfaches von erhalten muss$\nabla\times A$auf diese Weise. Und nebenbei,$B = \nabla\times A$gilt auch dann genau, wenn es ein zeitabhängiges Skalarpotential gibt!

Lassen Sie mich die Berechnung hier schreiben:

$$\pi\times\pi = \epsilon_{ijk} \pi_j\pi_k = \frac 12\epsilon_{ijk} [\pi_j,\pi_k]=\dots$$ Hier hätte ich das Produkt ersetzen können $\pi_j\pi_k$um die Hälfte des Kommutators, weil es mit a multipliziert wird $jk$-antisymmetrisches Epsilon-Symbol sowieso. Weitermachen: $$\dots = \epsilon_{ijk} [P_j,-qA_k/c] = \dots$$ Hier habe ich das Distributivgesetz für den Kommutator verwendet und das erkannt $[P_j,P_k]=0$Und $[A_j,A_k]=0$, also tragen nur die gemischten Kommutatoren etwas bei, das nicht Null ist, und diese gemischten Terme sind zweimal vorhanden, $[P,A]$Und $[A,P]$mit dem entgegengesetzten Vorzeichen (durch das entgegengesetzte Vorzeichen des Epsilon-Symbols aufgehoben), also reicht es aus, eines davon zu schreiben und den Faktor von zu löschen $1/2$nochmal.

Jetzt,$[P_j,Y]\equiv -i\hbar \partial_j Y$also haben wir

$$\dots = -i\hbar \epsilon_{ijk} \partial_j(-qA_k/c) = \frac{iq\hbar}{c} \epsilon_{ijk}\partial_j A_k = \frac{iq\hbar}{c} B_i.$$ QED.