Wie lässt sich ableiten, dass Teilchen, die durch die Dirac-Gleichung beschrieben werden, einen Spin von 1/2 haben müssen?

Question

Wie lässt sich ableiten, dass Teilchen, die durch die Dirac-Gleichung beschrieben werden, einen Spin von 1/2 haben müssen?

Physik
Spinoren
Quanten-Spin
Dirac-Gleichung
Quantenmechanik

doetoe

Ich lese einige Vorlesungsnotizen, die leider nicht online verfügbar zu sein scheinen, die aber in ihrer Behandlung der Dirac-Gleichung Sakurais "Advanced Quantum Mechanics" ziemlich nahe kommen. Irgendwann die $4\times4$ Matrizen $\Sigma_k$ werden als infinitesimale Generatoren der Rotationswirkung auf Dirac-Spinoren eingeführt; genauer gesagt eine räumliche Drehung, die durch einen Vektor gegeben ist $\theta$ , deren Richtung die Achse und deren Länge der Drehwinkel ist, wirkt als $\exp(-\frac i2\theta\cdot\Sigma)$ . Da diese $\Sigma_k$ sind blockdiagonal mit den Pauli-Matrizen $\sigma_k$ auf der Diagonalen sehen wir bereits, dass sich die Komponenten von Dirac-Spinoren paarweise transformieren, genau wie Spin-1/2-Zustände unter Rotationen.

Es ist klar, dass die $\Sigma_k$ verhalten sich formal wie ein Drehimpulsoperator (Vertauschungsrelationen), aber in diesen Anmerkungen die $\Sigma_k$ entstanden rein als Generatoren oder Rotationen und nicht als Observable (dies führte zu dieser anderen Frage zur Doppelrolle hermitescher Operatoren in der Quantenmechanik )

Es ist ersichtlich, dass der Bahndrehimpuls $L$ ist keine Erhaltungsgröße, sondern $J = L + \frac12\Sigma$ Ist ( $\hbar$ ist auf 1 eingestellt). Wir haben $\left|\frac12\Sigma\right|^2 = \frac34$ , was einer (abstrakten) "orbitalen" Quantenzahl entspricht $s = \frac12$ .

Laut den Notizen sollte dies so interpretiert werden, dass ein durch die Dirac-Gleichung beschriebenes Teilchen einen Spin haben muss $1/2$ .

Meine Frage ist, wie genau diese Schlussfolgerung folgt. Mir fallen drei mögliche Gründe ein, aus denen es aus physikalischen Gründen folgen muss:

Ist es, weil wir aus physikalischen Gründen erwarten, dass der Gesamtdrehimpuls erhalten bleibt, und $\frac12\Sigma$ , der sich formal wie ein Drehimpuls verhält, genau die fehlende Größe ist und somit als Eigendrehimpuls interpretiert werden kann?
Liegt es daran, dass die Transformation eines Dirac-Spinors unter Drehungen ähnlich der von Spin-1/2-Teilchen ist, wie sie ad hoc vor der Dirac-Gleichung identifiziert wurden?
Hat das damit zu tun $\Sigma$ ist der infinitesimale Rotationsgenerator auf dem endlichdimensionalen "Tensorfaktor" des Zustandsraums, der als "nichtklassische Freiheitsgrade" bezeichnet werden kann?

Ist einer dieser Tatsachen ein zwingender Grund für die Schlussfolgerung, dass ein durch die Dirac-Gleichung beschriebenes Teilchen einen Spin von 1/2 hat? Wenn ja warum?

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Wie lässt sich ableiten, dass Teilchen, die durch die Dirac-Gleichung beschrieben werden, einen Spin von 1/2 haben müssen?

Robin Ekmann · Answer 1

Die Frage stellt den Karren vor das Pferd. Es ist nicht so, dass Sie ableiten, dass Teilchen, die durch die Dirac-Gleichung beschrieben werden, einen Spin haben $\frac 1 2$ . Vielmehr wird die Dirac-Gleichung als Gleichung für den Spin gefunden $\frac 1 2$ Partikel. Ein Dirac-Spinor $\psi$ ist ein Element der Repräsentation $(0,\frac 1 2) \oplus (\frac 1 2, 0)$ der Lorentzgruppe. ¹ In beiden Teilräumen sind die Rotationsgeneratoren so implementiert, dass $J^2 = \frac 3 4$ , dh drehen $\frac 1 2$ . Per Definition haben Dirac-Spinoren Spin $\frac 1 2$ .

Die Lorentz-Invariantenwirkung niedrigster Ordnung, die wir mit einem Dirac-Spinor aufbauen können, ist

L = ψ^{†} γ^{0} (ich \partial_{μ} γ^{μ} + M) ψ

$\mathcal L = \psi^\dagger \gamma^0 (i \partial_\mu \gamma^\mu + m)\psi$ für einige Parameter

m

$m$ mit der Dimension der Masse, die als Feldgleichung eindeutig die Dirac-Gleichung hat.

¹ Um zu verstehen, was das mit all den blutigen Details bedeutet, siehe Wie konstruiere ich die

S U (2)

$SU(2)$ Darstellung der Lorentz-Gruppe mit

S U (2) \times S U (2) \sim S O (3, 1)

$SU(2)×SU(2)∼SO(3,1)$ ? Für eine weniger mathematische Behandlung siehe Weinberg, Bd. I, Kapitel 2, und auch Kapitel 5.

Danke Robin. Ich denke, die Reihenfolge von Pferd und Wagen hängt von der Herangehensweise an die Gleichung ab. Soweit ich verstanden habe, formulierte Dirac seine Gleichung ohne Vorurteile über den Spin und stellte dann fest, dass die darin beschriebenen Teilchen einen Spin von 1/2 hatten, eine Tatsache, die gemäß den zuvor erwähnten Notizen (und die ich online nicht finden konnte) überraschte ihn sogar sehr.
Wenn Sie den Drehimpuls berechnen, den der Dirac-Lagrangian besitzt, stellen Sie tatsächlich fest, dass der Wert 1/2 beträgt.

ZHANG Juenjie · Answer 2

Wir können den Spin eines Elektrons aus der Dirac-Gleichung erhalten. Die Gründe dafür, dass Elektronen zwei Spinpolarisationen haben, sind folgende: Die Dimension der physikalischen Raumzeit ist 4 Warum konstruieren wir keinen Spin 1/4 Spinor? . Wenn wir also einen Spinraum konstruieren wollen, brauchen wir mindestens vier Basisvektoren. Für Fermionen können wir zwei komplexe Basenvektoren verwenden, um einen Spinor zu konstruieren (daher zwei Spinpolarisationszustände). Dies liegt daran, dass diese beiden vier unabhängige Variablen liefern könnten, da sie komplex sind. Dies ist leicht von unten zu sehen:

Das Wort Spin kommt von der Tatsache, dass wir, wenn wir versuchen, eine Verbindung oder Abbildung zwischen dem Spin-Raum und dem realen physikalischen Raum herzustellen, lokal die Lie-Algrebra benötigen, die für das Spin-Verhalten verantwortlich ist: SU(2)~SO (3) lokal.

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doetoe

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Robin Ekmann

doetoe

geniert

ZHANG Juenjie

Auswertung σμνFμν=iα⋅E+Σ⋅BσμνFμν=iα⋅E+Σ⋅B\sigma^{\mu\nu}F_{\mu\nu}=i\alpha \cdot E+\Sigma\cdot B-Matrix, spinabhängig Term in der quadratischen Dirac-Gleichung

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