Aufwärts- und Abwärtsspin sind orthogonal, nicht antiparallel

In herkömmlichen Koordinatensystemen (alles, womit Sie ein einfaches Problem der Newtonschen Mechanik lösen) sind oben und unten + und - z. Ein nach oben zeigender Vektor und ein nach unten zeigender Vektor sind antiparallel.

Aber in qm haben wir Aufwärts- und Abwärts-Spinoren, die eine orthonormale Basis bilden. Diese Basisvektoren werden auch als positiver und negativer z-Spin-Drehimpuls bezeichnet. Ich verstehe die Mathematik dafür, wie Spinoren wie (1,0) und (0,1) orthogonal sind. Ich sehe auch, wie sie als Superpositionen von x- und y-Spinoren ausgedrückt werden können, wobei komplexe Zahlen verwendet werden, sodass ein Zweikomponenten-Spinor Größen in 3 Dimensionen darstellen kann. (Dies scheint ein wenig dem zu ähneln, was ich über Symmetriegruppen wie SU (1) studiert habe. Wenn dies in der Lösung relevant ist, schätze ich eine Diskussion, aber wenn es nichts damit zu tun hat, machen Sie sich bitte nicht die Mühe, große Fehler in diesem Satz zu korrigieren weil ich noch nicht versucht habe, es alleine zu lernen).

Meine Frage ist folgende: Was ist die Intuition, um zu sagen, dass Auf- und Abwärtsbewegungen orthogonal sind?

Nicht unbedingt verwandt: Die Bloch-Sphäre verstehen .
Ich mag, wie diese Frage formuliert ist, und habe selbst oft darüber nachgedacht. Ich dachte immer, das ergibt sich daraus, wie ein Elektron je nach Ausrichtung der „Messung“ „Zustände“ annimmt. Dass es sich um grundlegend unterschiedliche Zustände (oben und unten) handelt. Die Idee der Orthogonalität war für mich nur eine Möglichkeit, diesen Begriff zu betonen.

Antworten (3)

Sie müssen die Orthogonalität im Spinorraum unterscheiden ( C 2 ) aus der Orthogonalität im Vektorraum ( R 3 ). Die Räume sind unterschiedlich, und daher haben Skalarprodukt und Orthogonalität in diesen Räumen völlig unterschiedliche Bedeutungen.

Beispiel:

Die beiden Spinoren

| ↑ ⟩ = ( 1 0 )
Und
| ↓ ⟩ = ( 0 1 )
sind orthogonal zueinander, weil ihr Skalarprodukt null ist:
⟨ ↑ | ↓ ⟩ = 0

Die Erwartungswerte des Spinvektors S → = ℏ 2 σ → (Wo σ → ist der Pauli-Vektor σ → = σ X X ^ + σ j j ^ + σ z z ^ ) für diese beiden Spinoren sind:

S → ↑ = ⟨ ↑ | S → | ↑ ⟩ = ℏ 2 ⟨ ↑ | σ → | ↑ ⟩ = + ℏ 2 z ^
Und
S → ↓ = ⟨ ↓ | S → | ↓ ⟩ = ℏ 2 ⟨ ↓ | σ → | ↓ ⟩ = − ℏ 2 z ^

Diese beiden Vektoren sind antiparallel zueinander. Ihr Skalarprodukt S → ↑ ⋅ S → ↓ ist nicht null.

Okay, obwohl die Spinoren orthogonal sind, sind die Ergebnisse der Anwendung des Spin-Operators auf sie antiparallel, richtig? Und das gibt die Namen rauf und runter?
@ user310291 Ja, genau.
@Thomas Fritsch, was macht ⟨ ↓ | S → | ↑ ⟩ gleich?
@MichaelLevy Es hat keine intuitive Bedeutung. Es ist nur ein seltsamer "Vektor" mit einigen komplexen Komponenten: ℏ 2 ( X ^ + ich j ^ )

Das innere Produkt zweier Spinvektoren ist keine räumliche Überlappung. Eher, | ⟨ ψ 1 | ψ 2 ⟩ | 2 ist die Wahrscheinlichkeit, den Zustand in zu messen | ψ 2 ⟩ wenn es original drin ist | ψ 1 ⟩ . Wenn also ein Zustand hochgefahren wird, ( 1 , 0 ) , dann hast du 0 % Chance, es als Spin-Down zu messen, ( 0 , 1 ) .

Ein Nachtrag zur Antwort von Thomas Fritsch, der einen Großteil der anfänglichen Verwirrung auflöst: Sie messen den Eigenwert des Operators, der auf den Zustand einwirkt, nicht den Eigenvektor für den Zustand. Der relevante Spin-Operator auf dem Eigenvektor gibt eindeutig die gewünschten antiparallelen Eigenwerte, und die Eigenvektoren sind einfach Vektoren, die sich in der gewünschten Weise verhalten, ohne eine ebenso direkte geometrische Interpretation ( hier diskutiert ).

Eine Intuition für die Orthogonalität ist: Der bei einer Messung beobachtete z-Spin muss +- 1/2 sein, er kann nicht Null sein. Die Orthogonalität zeigt an, dass ein Körper, der sich nach oben dreht, nicht in einer nicht trivialen Summe von „Aufwärts- und Abwärts-Sein“ ausgedrückt werden muss. Es wird nur als Abwärts-Sein ausgedrückt und hat null Aufwärts-Sein.

Aufwärts- und Abwärtsspin sind orthogonal, nicht antiparallel
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v