Üblicherweise wird gesagt, dass die Punkte auf der Oberfläche der Bloch-Kugel die reinen Zustände eines einzelnen 2-Niveau-Quantensystems darstellen. Ein reines Zustandswesen der Form:
Aber ist das nicht sehr verwirrend? Wenn Nord- und Südpol gewählt werden, dann liegen beide Staaten auf derselben Linie und sind nicht mehr orthogonal, also wie kann man einen beliebigen Punkt wählen auf der Oberfläche der Kugel und zerlegen sie möglicherweise in Bezug auf Staaten, um zu finden und ? Bedeutet dies, dass man die Bloch-Kugel nicht als gültige Grundlage für unser System ansehen sollte und dass sie nur eine Visualisierungshilfe ist?
Ich habe Zerlegungen in Bezug auf die Innenwinkel der Kugel in Form von: und mit der Polarwinkel u der Azimutwinkel. Aber ich bin ahnungslos, wie diese wann erhalten werden Staaten sind auf der gleichen Linie.
Herkömmlicherweise hat ein Qubit vier reelle Parameter;
Wenn Sie also am abstraktsten darüber nachdenken, was Sie brauchen, ziehen Sie einfach eine Linie von 0 bis 1, die den Kompromiss zwischen a und b darstellt : Wie viel ist das in einem dieser beiden Zustände? Dann zeichnest du Kreise darum: Wie groß ist die Phasendifferenz? Was es davon abhält, ein Zylinder zu sein, ist, dass die Phasendifferenz keine Rolle mehr spielt, wenn a = 1 oder b = 1 ist, daher müssen die Kreise zu Punkten schrumpfen. Und voila , Sie haben etwas, das topologisch einer Kugel entspricht. Die Kugel enthält alle Informationen, die Sie für Experimente benötigen, und sonst nichts.
Das ist die schockierendere Tatsache. Wenn man nur das obige einfache Bild betrachtet, könnte man denken, dass dies alles harmlose Mathematik war: nein! Tatsächlich ist das grundlegende Qubit ein Spin-½-System, wobei die Pauli-Matrizen angeben, wie sich das System um die x- , y- oder z - Achse dreht. Dies ist ein System, in dem wir uns identifizieren
Die orthogonalen Raumrichtungen sind in der QM-Behandlung nicht Hilbert-orthogonal, weil die Physik dieses Systems einfach nicht so funktioniert. Hilbert-orthogonale Zustände sind inkommensurabel: Wenn Sie in diesem Zustand sind, sind Sie definitiv nicht in diesem. Aber dieses System hat einen Spin mit einer bestimmten Gesamtgröße von , aber nur davon zeigt in die Richtung, in die es „am weitesten zeigt“, was bedeutet, dass es auf einer Art „Ring“ um diese Richtung herum verteilt sein muss. Wenn Sie also messen, dass es in + z -Richtung liegt, stellt sich heraus, dass es auch irgendwie halb in + x , halb in – x -Richtung ist. (Hier bedeutet „irgendwie“: Es ist, wenn Sie mit einer x -Messung folgen, die das System mit Drehimpuls auf → oder ← „kollabieren“ lässt und dann in den entsprechenden „Ringen“ um die x -Achse.)
Fragen wir also „in welcher Richtung liegt der allgemeine Spin-½ oben, die meisten drehen sich hinein?“ Dazu muss ein Observable konstruiert werden.
Um ein Beispiel zu geben beobachtbar, wenn die + z -Richtung von einem Zustand am stärksten eingeschleust wird dann die beobachtbare für -Spin ist die Pauli-Matrix
Ähnlich, wenn Sie sich ansehen
Also machen wir es jetzt allgemein. Der Zustand orthogonal zu ist nicht allzu schwer zu berechnen Die Observable, die in diesem Zustand +1 oder im entgegengesetzten Zustand -1 ist, ist also:
Anstatt also eine rein theoretische Visualisierung zu sein, können wir sagen, dass sich das Spin-½-System, das prototypische Qubit, tatsächlich in die Richtung dreht, die durch die Bloch-Kugelkoordinaten vorgegeben ist! (Zumindest insofern, als ein Spin-up-System hochfährt.) Es ist rücksichtslos physikalisch : Sie wollen es in eine mathematische Ecke wegwinken und es sagt: „Nein, für echte Systeme werde ich in echt 3D in diese Richtung gezeigt Raum und du musst auf mich achten.“
Ja, N und S sind räumlich parallel, aber im Hilbert-Raum sind sie orthogonal. Diese Hilbert-Orthogonalität bedeutet, dass ein System nicht sowohl Spin-up als auch Spin-down sein kann. Umgekehrt bedeutet das Fehlen der Hilbert-Orthogonalität z. B. zwischen z- und x - Richtung, dass Sie beim Messen des z -Spins immer noch Messungen des Spins in x -Richtung ungleich Null haben können , was ein Schlüsselmerkmal solcher Systeme ist. Es ist in der Tat ein wenig verwirrend, zwei verschiedene Begriffe von „orthogonal“ zu haben, einen für den physischen Raum und einen für den Hilbert-Raum, aber es kommt daher, dass man zwei verschiedene Räume betrachtet, die man betrachtet.
Eine Möglichkeit zu sehen, warum die Winkel physikalisch sehr nützlich sind, ist oben angegeben. Aber wie im ersten Abschnitt erwähnt, kann man es auch als rein mathematische Übung betrachten, den Konfigurationsraum mit einer Kugel zu beschreiben: Dann hat man natürlich den Polarwinkel als Phasendifferenz, also -periodisch, also eine natürlich 'azimutale' Koordinate; Daher sollte die Art und Weise, wie die Koordinate entlang 0/1 liegt, eine "polare" Koordinate sein, auf die 0 abgebildet wird und π- Abbildung auf . Der offensichtliche Weg, dies zu tun, ist mit Zuordnung von 1 bis 0 entlang dieses Bereichs als Amplitude für die Zustand; die Tatsache, dass bedeutet, dass die Zustand muss abholen a Amplitude dazu passen.
A. Zwei-Staaten-Systeme
Sei ein System mit zwei Zuständen, wobei die Zustände unabhängig von den Raum-Zeit-Koordinaten sind. In diesem Fall hat das System einen neuen Freiheitsgrad . Ein klassisches Beispiel ist ein Teilchen mit Spindrehimpuls .
Den beiden Zuständen korrespondieren die Grundzustände
Ein Systemzustand wird durch den Zustandsvektor ausgedrückt
Der Hilbert-Raum der Systemzustände ist in vielerlei Hinsicht identisch mit (der Einheitssphäre) des komplexen Raums .
Eine Observable des Systems würde durch a dargestellt Hermitesche Matrix A der Form
Nun, wenn die Grundzustände
der Gleichung
entsprechen den Eigenzuständen der Eigenwerte
bzw. einer Observablen, dann würde diese Observable durch die Matrix dargestellt
Nun zu den Grundzuständen der Gleichung sind Eigenzustände von es muss also mit dem Index ausgedrückt werden
Jetzt,
Seit wir setzen (siehe Abbildung-01)
Beachten Sie, dass der Zustand der Gleichung könnte ausgedrückt werden als
B. Auf Kugel – In Kugel
In Abbildung-01 sehen wir die Details der Definitionen , und . Dies ist eine Draufsicht von einem Punkt auf der Kreisebene in Abbildung-03. Beachten Sie, dass diese Zahl-01 gültig ist, wenn alle tiefgestellt sind wird ersetzt durch oder . Die Definition und Bedeutung verschiedener Punkte wird im Folgenden angegeben.
In Abbildung-02 sehen wir die Geometrie von Gleichungen , und , . Dies ist eine Draufsicht von einem Punkt auf die Positiven der Achse.
Sehen Sie hier eine 3D-Ansicht von Abbildung-03
In Abbildung-03 haben wir eine Kugel mit Durchmesser 1 in einem dreidimensionalen Raum nicht identisch mit dem physikalischen Raum. Auf der Kugel ein Punkt repräsentiert einen Zustand des Systems
Sie können Punkte auf der Oberfläche einer Einheitskugel auf folgende einfache Weise mit reinen Spinzuständen verknüpfen.
Ein Punkt der Kugel einem Eigenvektor des Operators zugeordnet ist mit positivem Eigenwert und umgekehrt. Dies schließt alle Spin-1/2-Einzelteilchen-Spinzustände ein.
Und das ist kein Zufall oder Visualisierung oder Mathematik. Wenn Sie ein Stern-Gerlach-Gerät mit einer Magnetfeldinhomogenität haben, die in die Richtung zeigt dann wird es diesen Strahl konsequent in eine bestimmte Richtung ablenken, wenn es den Zustand hat, zu dem es gehört
Aber ist das nicht sehr verwirrend? Wenn Nord- und Südpol gewählt werden, dann liegen beide Staaten auf derselben Linie und nicht mehr orthogonal,
Es ist nicht im Geringsten verwirrend. Die Geometrie hängt mit der Ausrichtung des physischen Geräts im Labor zusammen, für das Ihr Zustand zuverlässige Ergebnisse liefert. Auch das entgegengesetzt ausgerichtete Gerät liefert zuverlässige Ergebnisse. Für orthogonale Zustände ist es üblich, dass teonorthogonale Zustände dem gleichen Operator eigen sein können.
Unterschiedliche Punkte der Bloch-Kugel identifizieren also unterschiedliche Orientierungen, die für unterschiedliche Zustände das Ergebnis „oben“ liefern. Verwechseln Sie die Ausrichtung des Messgeräts im 3D-Raum nicht mit der Geometrie der Zustände im Spin-Raum.
wie kann man also einen beliebigen punkt wählen auf der Oberfläche der Kugel und zerlegen sie möglicherweise in Bezug auf Staaten, um zu finden und ?
Es ist anders herum. Wie haben Sie sich entschieden, einen Zustand 0 und einen anderen 1 zu nennen? Sie haben eine zufällige Ausrichtung ausgewählt und sie z genannt und Ihr Gerät so ausgerichtet, dass die Magnetfeldinhomogenität in diese Richtung zeigt. Das gab dir ein Auf und Ab.
Aber jetzt können wir jeden Spin-Zustand angeben. Sie selbst haben einen willkürlichen Punkt Finden Sie dann den Eigenvektor von mit positivem Eigenwert. Nennen dann
Bedeutet dies, dass man die Bloch-Kugel nicht als gültige Grundlage für unser System ansehen sollte und dass sie nur eine Visualisierungshilfe ist?
Nein, es bedeutet, dass Sie die Geometrie im Labor nicht mit der Geometrie des Hilbert-Raums verwechseln sollten. Physik ist eine experimentelle Wissenschaft, also sind sie definitiv verwandt, aber sie sind nicht dasselbe.
Wenn Sie einen Vektor auf einen Eigenraum projizieren möchten, projizieren Sie die Beschriftungen nicht aufeinander. Sie können einen Spin-Zustand und einen anderen Spin-Zustand haben, und wenn Sie einen durch ein Stern-Gerlach-Gerät führen, das für den anderen ausgerichtet ist, werden die räumlichen Freiheitsgrade geteilt und getrennt in einen, der in dieser Richtung oben ist, und einen, der davon räumlich unten ist Richtung und der Spinzustand ändert sich buchstäblich, um in dem Strahl, der räumlich nach oben ging, nach oben zu zeigen und in dem Strahl, der nach unten ging, nach unten zu zeigen. Der Spin des einen Teilchens hat sich also mit seiner eigenen Position verschränkt.
Die Größe der Hilbert-Projektion gibt Auskunft über die Größe der räumlichen Teile, die abgelenkt und gespalten wurden. Aber Sie müssen sich solche Regeln auch nicht buchstäblich merken. Wenn Sie die Schrödinger-Gleichung für das Stern-Gerlach-Gerät aufschreiben, teilt und trennt sich der Strahl in Teile mit der richtigen Größe und die Spins richten sich in den beiden Polarisationen aus, und es geschieht, ohne dass Sie es dazu sagen.
Dann ist der Spin-Zustand klar. Es sagt Ihnen, in welche Richtung es zuverlässig gehen wird, wenn Sie ihm eine Chance geben. Und wenn Sie es in einen anders ausgerichteten Stern-Gerlach einsetzen, wird es gezwungen, in eine der beiden Richtungen zu gehen, die diese Ausrichtung zulässt, und es wird sich teilen und in beide gehen. Um die Größen jedes Teils zu erhalten, können Sie die Schrödinger-Gleichung entwickeln oder die Eigenvektoren des Operators berechnen und punktiere ihn mit dem Eigenvektor mit positivem Eigenwert orthogonal zum anderen Vektor.
Und ja, es gibt einfachere Möglichkeiten, dies zu tun, und Sie können mehr daraus machen. Aber hoffentlich sehen Sie die andere Geometrie.
Könntest du mal zeigen, wie man das dann hinbekommt und Bedingungen?
Ich habe die Pauli-Spin-Operatoren verwendet, wenn Sie eine Basis auswählen möchten, können Sie sie als Matrizen schreiben (ein Operator ist eine Funktion in einem Vektorraum, eine Matrix steht für einen Operator, nachdem Sie eine Basis ausgewählt haben; der Operator existiert und ist unabhängig davon, welche Basis Sie später wählen oder nicht).
Und der Eigenvektor mit positivem Eigenwert ist wenn nicht Dann ist es Beschäftigen wir uns mit dem Fall von zuerst, in diesem Fall und und Also , alles klappt.
Wenn Sie den Eigenvektor als Einheitsvektor schreiben möchten, erhalten Sie Wenn Sie die Phase so anpassen möchten, dass die erste Koordinate reell und positiv ist, erhalten Sie
Der Rest ist Trigometrie, zB Also müssen wir das nur zeigen und das Letzteres ist eine trigonometrische Identität
Ersteres ist
Ein bloßer erweiterter Kommentar, der die gute Antwort von @Timaeus in eine einprägsamere Form bringt.
Der Zustandsvektor
Der Ausdruck der allgemeinen Prinzipien dieser idempotenten hermiteschen Dichtematrix ist offensichtlich auch
Das heißt, die Achse dreht sich um die Achse durch volle (adjungierte) Rotationswinkel, wobei ein halber Winkeloperatorausdruck (Spinor, Fundamental) angegeben wird.
Denken Sie an den Photonenspin
Das Nachdenken über diesen konkreteren Fall half mir, einige nützliche Bilder in meinem Kopf zu bekommen. Es gibt sogar ein bekanntes, eher auf Optik ausgerichtetes Analogon, das es wert ist, im Auge behalten zu werden: die Poincaré-Sphäre .
Der Photonenspin ist ein Quantensystem mit zwei Zuständen , das, wie Frobenius erwähnt , das ist, was die Bloch-Sphäre modelliert.
Der Photonenspin ist auch leicht zu verstehen/visualisieren/experimentell zu manipulieren.
Physikalische Polarisationsfilter
Denken wir zunächst an das Konkreteste: die Polarisationsfilter.
Es gibt zwei Arten von Polarisationsfiltern, an die Sie denken könnten:
linearer Polarisator, in jedem Winkel zwischen -90 und 90.
Hier ist zB einer bei 90 Grad:
und hier ist einer bei 45 Grad:
und hier ist einer bei 0 Grad:
Wikipedia beschreibt einige Möglichkeiten, solche Filter zu erstellen, und die obigen Bilder sind Polariod-Filter , die in Sonnenbrillen und in der Fotografie verwendet werden und daher leicht erhältlich sind.
Aus quantenmechanischer Sicht ergeben die 90- und 0-Grad-Orientierungen die gleiche Messung: Der einzige Unterschied besteht darin, dass die eine das Photon passieren lässt, die andere es jedoch blockiert. Aber wir können beide gleichermaßen verwenden, um den Grad der linearen vertikalen Polarisation des Photons zu bestimmen: Sie müssen nur den Komplementärwert nehmen.
Und da jede Messung einer hermiteschen Matrix entspricht , können wir sowohl 0 als auch 90 mit einer einzigen Matrix darstellen:
Und die Matrix für 45 Grad ist:
Zirkularpolarisator, der, wie Wikipedia erklärt , normalerweise aus einer Viertelwellenplatte + einem linearen Polarisator besteht:
Quelle .
Die entsprechende Matrix lautet:
Die obigen Matrizen sind die sogenannten Pauli-Matrizen .
Einige interessante Zustandsvektoren
Geben wir nun 6 Polen Namen, die 6 mögliche interessante Photonenzustände auf der Bloch-Kugel darstellen, und versuchen wir zu verstehen, wie sie mit den Filtern interagieren.
Quelle .
Das erste, was uns auffällt, ist, dass die folgenden Paare alle Basen sind:
Zum Beispiel könnten wir darstellen:
Und dann beobachten wir auch das:
Wenn wir uns daran erinnern, dass das Ergebnis einer Messung in der Quantenmechanik der Eigenvektor eines Eigenwerts ist, wobei die Wahrscheinlichkeit proportional zur Projektion ist, erhalten wir für diese Experimente die folgenden Beispielwahrscheinlichkeiten:
linearer Polarisator 90°: 100 % pass
linearer Polarisator 0°: 0 % Pass
linearer Polarisator 45°: 45 % passieren, weil:
linearer Polarisator -45°: 45 % Durchlass
Zirkularpolarisatoren: 45 % Durchlass. Denn ein linearer Zustand 0 lässt sich in zwei zirkulare Polarisationen zerlegen:
Relative Phase
Eine wichtige halbklassische Intuition, an die man sich erinnern sollte, ist:
zirkulare Polarisation == zwei orthogonale lineare Polarisationen um 90 Grad phasenverschoben:
Quelle .
Also zum Beispiel in:
Wir haben eine 90-Grad-Relativphase wegen der relative Phasendifferenz zwischen und .
Aber in der Diagonalen sind sie relativ dazu gleichphasig und :
Die relative Phase ist also 0 für diesen.
Gehen Sie um die Kugel herum
Eine übliche Art, einen Zustand in der Bloch-Sphäre darzustellen, besteht darin, nur die beiden anzugeben und Winkel wie unten gezeigt:
Quelle .
Da eine Sphäre nicht euklidisch ist, ist es eine gute Möglichkeit, sie zu visualisieren, indem man durch einige leicht verständliche Pfade um sie herum geht. Auf dem folgenden Bild machen wir zwei Pfade:
Quelle .
Das Gehen von + durch i, -, -i und zurück nach + bleibt als Übung übrig: Der Kreis würde zu einer schiefen Sonnenfinsternis und verdünnt sich immer mehr zu einer 45-Grad-Linie.
Dies führt zu einer klaren Interpretation der Winkel:
Wie können wir im Zustand von 4 reellen Zahlen auf nur 2 heruntergehen?
Auf der Bloch-Kugel können wir den Zustand mit nur 2 realen Parametern darstellen: den Winkeln und
Aber in den expliziteren Vollzustandsvektoren scheint es 2 komplexe Zahlen und daher 4 reelle Zahlen zu geben:
Warum eine der Zahlen entfernt werden muss, ist einfach: Die Gesamtwahrscheinlichkeit muss 1 sein, also:
an diesem Punkt sind wir also bereits auf eine 3-Sphäre beschränkt .
Der zweite ist interessanter: Wir können einen weiteren Parameter entfernen, da die globale Phase des Zustands durch keine Experimente erfasst werden kann und wir sie daher frei wählen können.
Eine globale Phase ist eine komplexe Zahl. Der Modul dieser Zahl muss 1 sein, um die Gesamtwahrscheinlichkeit beizubehalten. Aus diesem Grund ist eine natürliche Art, eine globale Phase zu schreiben, wie folgt:
&&e^{i\phi}$$
was die obige Eigenschaft automatisch erfüllt, aber dennoch jeden möglichen Wert zulässt.
Experimente können keine globalen Phasenverschiebungen erkennen, weil die Messergebnisse:
auf jedem der Filter ist das gleiche wie bei der Messung:
Weil .
Eine natürliche Wahl besteht daher darin, eine globale Phase auszuwählen, die den Zustand so dreht, dass der Multiplikator von wird eine reelle Zahl, dh Einstellung .
So könnten wir zum Beispiel durch Multiplikation mit einer imaginären Zahl allgemeinere Zustände in eingeschränktere abbilden, wie z
Warum gibt es genau drei Pauli-Matrizen?
Ich denke, es gibt tiefe und klare mathematische Gründe, die dies erklären, die damit verbunden sind, dass sie eine Grundlage des 2x2 Hermiteschen Matrixraums sind, wie unter: https://physics.stackexchange.com/a/415228/31891 und https://en erwähnt .wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere#Pure_states und es ist der Kern der Frage, warum die Bloch-Sphäre verwendet wird, aber ich habe es nicht vollständig verstanden.
Aber praktischer ausgedrückt: Die drei von uns beschriebenen Messgeräte sind die einzigen drei Möglichkeiten (bis hin zu globalen Rotationen), so dass Sie nach dem Durchlaufen eines der beiden alle Informationen über die anderen beiden verlieren (50% Wahrscheinlichkeit bei den anderen beiden Experimenten).
Daher sind sie in gewissem Sinne orthogonal und maximal, da es kein anderes Experiment gibt, das wir zu dieser Reihe von Experimenten hinzufügen könnten, so dass diese Eigenschaft gilt.
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Andere physikalische Systeme
Grundsätzlich liefert jede Art von Quantencomputer ein physikalisches Beispiel dafür, wie physikalische Dinge auf einer Bloch-Kugel aussehen. Es wäre gut, die verschiedenen Typen genauer zu verstehen.
Die meisten von ihnen scheinen den Zustand 0 im Zustand niedrigster Energie zu haben, 1 auf dem ersten Energieniveau, und alles am Äquator ist eine Überlagerung. TODO physikalische Interpretation/Kontrolle der Phase.
Ziyuan