Definition von Punkten auf der Bloch-Kugel

Der Einheitsball hat eine sehr schöne Eigenschaft, um die Zustände eines Qubits darzustellen. Wenn Sie eine Messung um die durchführen$z$Achse, die meldet$1$wenn der Staat hochgefahren ist und$-1$Wenn der Zustand heruntergefahren ist, dann ist der erwartete Wert dieser Messung genau derselbe$z$Koordinate.

Dies bedeutet, dass der reine Zustand$\alpha |0 \rangle + \beta| 1 \rangle$muss einem Punkt auf der Kugel mit entsprechen$z$Koordinate$|\alpha|^2 - |\beta|^2$.

Für einen Punkt auf der Kugel die$z$Koordinate ist genau$\cos(\theta)$, und so müssen wir haben$|\alpha|^2 - |\beta|^2 = \cos(\theta)$Und$|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$, und somit

$$|\alpha|^2 = \frac{1 + \cos(\theta)}{2}$$ $$|\beta|^2 = \frac{1 - \cos(\theta)}{2}$$

als die wir erkennen$|\alpha| = |\cos(\theta / 2)|$Und$|\beta| = |\sin(\theta / 2)|$.

(Dasselbe gilt für die$x$Und$y$koordinieren, und eine ähnliche Aussage kann über jede Achse gemacht werden)

Der Grund für die$\theta/2$liegt daran, wenn man einen Zustand durch die Rotationsmatrix trifft$R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$, bewegt sich die Position des Staates auf der Blockkugel vorbei$2 \theta$Radianten statt nur$\theta$Bogenmaß. Wenn Sie also eine Drehung wünschen, bewegt sich die Position einfach um$\theta$Radianten, sollten Sie drehen$\theta/2$Bogenmaß.

Das kommt letztlich darauf an, dass$|0\rangle$Und$|1\rangle$sind senkrechte Zustände. Geometrisch bedeutet das, dass sie 90 Grad voneinander entfernt sein sollten; im rechten Winkel zueinander. Um sie um 180 Grad auseinander zu bringen, also oben-unten anstatt X-gegen-Y, mussten wir alle Winkel verdoppeln.

(Der Grund, warum wir wollen, dass sie 180 Grad statt 90 Grad voneinander entfernt sind, ist, dass es eine Achse freigibt und dann eine so schöne Analogie zu Rotationen im 3D-Raum darstellt. Jede Einzel-Qubit-Quantenoperation entspricht einer Rotation um die Bloch-Kugel mal ein globaler Phasenfaktor. Wenn wir bei der 90-Grad-Auseinander-Sache geblieben wären, hätten wir eine vierte Dimension benötigt, damit die Rotationsanalogie funktioniert.)

Der Grund, warum die irrelevante Phase vernachlässigt wird, liegt darin, dass sie keine physikalische Bedeutung hat. Man kann es nicht messen und es hat keinen Einfluss auf die Art und Weise, wie die Dinge funktionieren. Wenn wir also diese Phase vernachlässigen, hat die alternative Darstellung, die Sie geben, das Problem, dass die Punkte auf der Bloch-Kugel nicht eindeutig sind.

Es gibt auch andere Gründe, warum die Darstellungen der Bloch-Sphäre so sind, wie sie sind. Ein Grund aus dem Kopf ist, dass die Spinoren zu Vektoren kombiniert werden können. Dies ist eine Eigenschaft irreduzibler Darstellungen der Lie-Gruppe [SU(2) in diesem speziellen Fall].

Betrachten Sie den Spinor

$$\eta = [\exp(i\phi/2)\cos(\theta/2), \exp(-i\phi/2)\sin(\theta/2)] .$$ Man kann zeigen, dass der durch Kontraktion dieser Spinoren gebildete Vektor mit Hilfe der Pauli-Matrizen einen korrekt parametrisierten Vektor ergibt $$\mathbf{v} = [\eta\sigma_x\eta^{\dagger}, \eta\sigma_y\eta^{\dagger}, \eta\sigma_z\eta^{\dagger}] = [\cos(\phi)\sin(\theta),\sin(\phi)\sin(\theta),\cos(\theta)] .$$ Wenn man verwendet $\theta$anstatt $\theta/2$in den Argumenten im Spinor, dann würde das nicht richtig klappen.