Gibt es natürliche geometrische Darstellungen für ein anderes Qubit als die Bloch-Kugel? [geschlossen]

Hier ist eine lose Intuition dafür, warum die Form der Bloch-Kugel eine Kugel ist. (Für etwas Strengeres sehen Sie sich diese Antwort an .)

Die Bloch-Kugel stellt eine Visualisierung (auf einer Kugel) der Menge aller Möglichkeiten dar, die einem Qubit zugeordnet werden können. Um eine Vorstellung davon zu bekommen, warum die Form eine Kugel ist, werde ich zeigen, dass es zwei unabhängige Winkel gibt, die jeweils Kreise bilden können - diese Kreise repräsentieren den "Äquator" und den "Nullmeridian".

Erstens (unter der Annahme, dass wir reine Zustände haben) kann ein Qubit dargestellt werden als

$cos(\theta) |0\rangle + sin(\theta) e^{i \phi} |1\rangle$

Diese zwei unabhängigen Winkel können jeweils gezeichnet werden, um ihre eigenen unabhängigen Kreise zu bilden. Lassen Sie uns zuerst behandeln, wie$\theta$bildet einen Kreis.

(Für eine feste$\phi = 0$), wenn wir die Wahrscheinlichkeitsamplituden des Zustands als Vektor ($|0\rangle$, in x-Richtung und$|1\rangle$in y-Richtung), sehen Sie das, wenn wir jede Möglichkeit einzeichnen$\theta$Wert erhalten wir einen "Kreis" von Möglichkeiten. Beachten Sie auch, dass dieser Kreis der Einschränkung folgt, dass sich die Wahrscheinlichkeiten zu 1 addieren müssen:$|c_0|^2 + |c_1|^2$= 1

Nun, diese Einschränkung eingebettet in$\theta$sagt uns, wie die Realteile unserer Amplituden eingeschränkt sind, aber wir haben keine Informationen über die Imaginärteile unserer Amplituden.

In Polarform können wir jede komplexe Zahl als darstellen$c = |c|e^{i\phi}$, und wir können dies auf der „komplexen Ebene“ grafisch darstellen. Wenn wir variieren$\phi$, aber wir halten |c| konstant, dann sehen wir, dass dies einen Kreis bildet. Der Schlüssel hier ist, dass wir zur Darstellung komplexer Zahlen eine zusätzliche Dimension hinzufügen, um Werte darzustellen, die i annehmen.

Jetzt sehen wir also, dass wir zwei unabhängige Kreise gebildet haben. Diese bilden einen "Äquator" und einen "Nullmeridian" für den größeren Satz von Möglichkeiten. Die Abmessungen für das 3D-Diagramm, das einen Kreis bildet, sind {Realer Teil von$|0\rangle$, Realteil von$|1\rangle$, Bildteil von$|1\rangle$}

Um die gesamte Sphäre zu erhalten, können wir einfach herausfinden, was jede dieser drei Dimensionen für alle Werte von ist$\theta$Und$phi$. Lassen Sie uns diese ausarbeiten, damit wir eine ganze Kugel zeichnen können.

Echter Teil von$|0\rangle$:$cos(\theta)$

Echter Teil von$|1\rangle$:$sin(\theta)*sin(\phi)$

Bild Teil von$|1\rangle$:$cos(\theta)*sin(\phi)$

Wenn Sie mit Polarkoordinaten vertraut sind, beschreibt dies die Gleichung für einen Kreis mit einem Radius von 1. Die Punkte auf der Oberfläche der Kugel stellen die Menge aller möglichen Werte dar, die den Wahrscheinlichkeitsamplituden zugewiesen werden können, die einem einzelnen Qubit zugewiesen sind.

BEARBEITEN: Ich habe diese Antwort "ausgearbeitet", wie in den Kommentaren angefordert. Bitte beachten Sie auch, dass die folgende Erklärung nur "reine Zustände" abdeckt und für gemischte Zustände eine andere Beschreibung erforderlich wäre.