Die Bloch-Kugel ist wunderschön minimalistisch.

Herkömmlicherweise hat ein Qubit vier reelle Parameter;

$$|\psi\rangle=a e^{i\chi} |0\rangle + b e^{i\varphi} |1\rangle.$$ Einige schnelle Einblicke zeigen jedoch, dass der Kompromiss a - vs. b aufgrund der Normalisierung a ² + b ² = 1 nur einen Freiheitsgrad hat , und einige vorsichtigere Einblicke zeigen, dass in der Art und Weise, wie wir Erwartungswerte in QM konstruieren, man kann nicht χ oder φ selbst beobachten, sondern nur die Differenz χ – φ , die 2 π -periodisch ist. (Dies wird in den folgenden Kommentaren weiter behandelt, aber kurz: QM sagt nur Durchschnittswerte voraus$\langle \psi|\hat A|\psi\rangle$und Verschieben der Gesamtphase einer Wellenfunktion um einiges$|\psi\rangle\mapsto e^{i\theta}|\psi\rangle$hebt sich daher in jeder Voraussage auf.)

Wenn Sie also am abstraktsten darüber nachdenken, was Sie brauchen, ziehen Sie einfach eine Linie von 0 bis 1, die den Kompromiss zwischen a und b darstellt : Wie viel ist das in einem dieser beiden Zustände? Dann zeichnest du Kreise darum: Wie groß ist die Phasendifferenz? Was es davon abhält, ein Zylinder zu sein, ist, dass die Phasendifferenz keine Rolle mehr spielt, wenn a = 1 oder b = 1 ist, daher müssen die Kreise zu Punkten schrumpfen. Und voila , Sie haben etwas, das topologisch einer Kugel entspricht. Die Kugel enthält alle Informationen, die Sie für Experimente benötigen, und sonst nichts.

Es ist auch physisch, eine echte Kugel im 3D-Raum.

Das ist die schockierendere Tatsache. Wenn man nur das obige einfache Bild betrachtet, könnte man denken, dass dies alles harmlose Mathematik war: nein! Tatsächlich ist das grundlegende Qubit ein Spin-½-System, wobei die Pauli-Matrizen angeben, wie sich das System um die x- , y- oder z - Achse dreht. Dies ist ein System, in dem wir uns identifizieren

$$|0\rangle\leftrightarrow|\uparrow\rangle, \\ |1\rangle\leftrightarrow|\downarrow\rangle,$$ und die Phasendifferenz kommt herein, indem man die + x -Achse über wählt $$|{+x}\rangle = \sqrt{\frac 12} |0\rangle + \sqrt{\frac 12} |1\rangle.$$

Die orthogonalen Raumrichtungen sind in der QM-Behandlung nicht Hilbert-orthogonal, weil die Physik dieses Systems einfach nicht so funktioniert. Hilbert-orthogonale Zustände sind inkommensurabel: Wenn Sie in diesem Zustand sind, sind Sie definitiv nicht in diesem. Aber dieses System hat einen Spin mit einer bestimmten Gesamtgröße von$\sqrt{\langle L^2 \rangle} = \sqrt{3/4} \hbar$, aber nur$\hbar/2$davon zeigt in die Richtung, in die es „am weitesten zeigt“, was bedeutet, dass es auf einer Art „Ring“ um diese Richtung herum verteilt sein muss. Wenn Sie also messen, dass es in + z -Richtung liegt, stellt sich heraus, dass es auch irgendwie halb in + x , halb in – x -Richtung ist. (Hier bedeutet „irgendwie“: Es ist, wenn Sie mit einer x -Messung folgen, die das System mit Drehimpuls auf → oder ← „kollabieren“ lässt$\hbar/2$und dann in den entsprechenden „Ringen“ um die x -Achse.)

Sphärische Koordinaten aus komplexen Zahlen

Fragen wir also „in welcher Richtung liegt der allgemeine Spin-½$|\psi\rangle$oben, die meisten drehen sich hinein?“ Dazu muss ein Observable konstruiert werden.

Um ein Beispiel zu geben beobachtbar, wenn die + z -Richtung von einem Zustand am stärksten eingeschleust wird$|\uparrow\rangle$dann die beobachtbare für$z$-Spin ist die Pauli-Matrix

$$\sigma_z = |\uparrow\rangle\langle\uparrow| - |\downarrow\rangle\langle\downarrow|=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix},$$ das ist +1 in dem Zustand, in dem es sich befindet, -1 im Hilbert-senkrechten Zustand$\langle \downarrow | \uparrow \rangle = 0.$

Ähnlich, wenn Sie sich ansehen

$$\sigma_x = |\uparrow\rangle \langle \downarrow | + |\downarrow \rangle\langle \uparrow |=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix},$$ Sie werden sehen, dass die$|{+x}\rangle$Der oben definierte Zustand ist ein Eigenvektor mit dem Eigenwert +1, und ebenso sollte es a geben$|{-x}\rangle \propto |\uparrow\rangle - |\downarrow\rangle$befriedigend$\langle {+x}|{-x}\rangle = 0,$und du kannst dich erholen$\sigma_x = |{+x}\rangle\langle{+x}| - |{-x}\rangle\langle{-x}|.$

Also machen wir es jetzt allgemein. Der Zustand orthogonal zu$|\psi\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle$ist nicht allzu schwer zu berechnen$|\bar \psi\rangle = \beta^*|0\rangle - \alpha^* |1\rangle,$Die Observable, die in diesem Zustand +1 oder im entgegengesetzten Zustand -1 ist, ist also:

$$\begin{align} |\psi\rangle\langle\psi| - |\bar\psi\rangle\langle\bar\psi| &= \begin{bmatrix}\alpha\\\beta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha^*&\beta^*\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}\beta^*\\-\alpha^*\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\beta & -\alpha\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}|\alpha|^2 - |\beta|^2 & 2 \alpha\beta^*\\ 2\alpha^*\beta & |\beta|^2 - |\alpha|^2\end{bmatrix} \end{align}$$ Schreiben Sie dies als$v_i \sigma_i$bei dem die$\sigma_i$sind die Pauli-Matrizen, die wir erhalten: $$v_z = |\alpha|^2 - |\beta|^2,\\ v_x + i v_y = 2 \alpha^* \beta.$$ Nun, hier ist die Magie, lassen wir das Bloch-Rezept des Schreibens zu $$\alpha=\cos\left(\frac\theta2\right),~~\beta=\sin\left(\frac\theta2\right)e^{i\varphi},$$ Wir finden heraus, dass dies sind: $$\begin{align} v_z &= \cos^2(\theta/2) - \sin^2(\theta/2) &=&~ \cos \theta,\\ v_x &= 2 \cos(\theta/2)\sin(\theta/2) ~\cos(\phi) &=&~ \sin \theta~\cos\phi, \\ v_y &= 2 \cos(\theta/2)\sin(\theta/2) ~\sin(\phi) &=&~ \sin \theta~\sin\phi. \end{align}$$ Das Bloch-Rezept verwendet also a$(\theta, \phi)$das sind einfach die sphärischen Koordinaten des Punktes auf der Sphäre, der ein solcher ist$|\psi\rangle$ist „sich am meisten in die Richtung drehend“.

Anstatt also eine rein theoretische Visualisierung zu sein, können wir sagen, dass sich das Spin-½-System, das prototypische Qubit, tatsächlich in die Richtung dreht, die durch die Bloch-Kugelkoordinaten vorgegeben ist! (Zumindest insofern, als ein Spin-up-System hochfährt.) Es ist rücksichtslos physikalisch : Sie wollen es in eine mathematische Ecke wegwinken und es sagt: „Nein, für echte Systeme werde ich in echt 3D in diese Richtung gezeigt Raum und du musst auf mich achten.“

Wie diese Ihre Fragen beantworten.

1. Ja, N und S sind räumlich parallel, aber im Hilbert-Raum sind sie orthogonal. Diese Hilbert-Orthogonalität bedeutet, dass ein System nicht sowohl Spin-up als auch Spin-down sein kann. Umgekehrt bedeutet das Fehlen der Hilbert-Orthogonalität z. B. zwischen z- und x - Richtung, dass Sie beim Messen des z -Spins immer noch Messungen des Spins in x -Richtung ungleich Null haben können , was ein Schlüsselmerkmal solcher Systeme ist. Es ist in der Tat ein wenig verwirrend, zwei verschiedene Begriffe von „orthogonal“ zu haben, einen für den physischen Raum und einen für den Hilbert-Raum, aber es kommt daher, dass man zwei verschiedene Räume betrachtet, die man betrachtet.

2. Eine Möglichkeit zu sehen, warum die Winkel physikalisch sehr nützlich sind, ist oben angegeben. Aber wie im ersten Abschnitt erwähnt, kann man es auch als rein mathematische Übung betrachten, den Konfigurationsraum mit einer Kugel zu beschreiben: Dann hat man natürlich den Polarwinkel als Phasendifferenz, also$2\pi$-periodisch, also eine natürlich 'azimutale' Koordinate; Daher sollte die Art und Weise, wie die Koordinate entlang 0/1 liegt, eine "polare" Koordinate sein, auf die 0 abgebildet wird$|0\rangle$und π- Abbildung auf$|1\rangle$. Der offensichtliche Weg, dies zu tun, ist mit$\cos(\theta/2)$Zuordnung von 1 bis 0 entlang dieses Bereichs als Amplitude für die$|0\rangle$Zustand; die Tatsache, dass$\cos^2 + \sin^2 = 1$bedeutet, dass die$|1\rangle$Zustand muss abholen a$\sin(\theta/2)$Amplitude dazu passen.

A. Zwei-Staaten-Systeme

Sei ein System mit zwei Zuständen, wobei die Zustände unabhängig von den Raum-Zeit-Koordinaten sind. In diesem Fall hat das System einen neuen Freiheitsgrad . Ein klassisches Beispiel ist ein Teilchen mit Spindrehimpuls$\:\frac12 \hbar\:$.

Den beiden Zuständen korrespondieren die Grundzustände

$$\begin{equation} \vert u\rangle= \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} \equiv \text{up state} \,, \quad \vert d\rangle= \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} \equiv \text{down state} \tag{01}\label{01} \end{equation}$$ nach oben bzw. nach unten benannt .

Ein Systemzustand wird durch den Zustandsvektor ausgedrückt

$$\begin{equation} \vert\psi\rangle = \xi\vert u\rangle \boldsymbol{+} \eta\vert d\rangle \quad \text{where} \:\:\:\xi,\eta \in \mathbb{C}\quad \text{and}\:\:\: \vert\xi\vert^{2} \boldsymbol{+}\vert\eta\vert^{2} =1 \tag{02}\label{02} \end{equation}$$ Die komplexen Zahlen$\:\xi,\eta\:$sind die Wahrscheinlichkeitsamplituden und die nicht negativen reellen Zahlen$\:\vert\xi\vert^{2},\vert\eta\vert^{2}\:$die Wahrscheinlichkeiten, das System im Zustand zu sein$\:\vert u\rangle,\vert d\rangle\:$beziehungsweise.

Der Hilbert-Raum der Systemzustände ist in vielerlei Hinsicht identisch mit (der Einheitssphäre) des komplexen Raums$\:\mathbb{C}^{2}$.

Eine Observable des Systems würde durch a dargestellt$\:2\times2\:$ Hermitesche Matrix A der Form

$$\begin{equation} A= \begin{bmatrix} a_3 & a_1\!\boldsymbol{-}\!ia_2 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ a_1\!\boldsymbol{+}\!ia_2 & a_4\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \quad \text{with} \:\:\:\left(a_1,a_2,a_3,a_4\right) \in \mathbb{R}^{4} \tag{03}\label{03} \end{equation}$$ also der lineare Raum der$\:2\times2\:$hermiteschen Matrizen ist in vielerlei Hinsicht identisch mit$\:\mathbb{R}^{4}$. Aus der üblichen Basis von$\:\mathbb{R}^{4}\:$wir konstruieren eine Basis für diesen Matrizenraum $$\begin{equation} E_1= \begin{bmatrix} 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}1 \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \quad , \:\:\: E_2= \begin{bmatrix} 0 & \!\!\boldsymbol{-} i \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ i & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0\vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \quad , \:\:\: E_3= \begin{bmatrix} 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0 \vphantom{\frac{a}{b}}\\ 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0\vphantom{\frac{a}{b}} \end{bmatrix} \quad , \:\:\: E_4= \begin{bmatrix} 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}0 \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}1 \vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{04}\label{04} \end{equation}$$

Nun, wenn die Grundzustände$\:\vert u\rangle,\vert d\rangle\:$der Gleichung$\eqref{01}$entsprechen den Eigenzuständen der Eigenwerte$\:\boldsymbol{+}1,\boldsymbol{-}1\:$bzw. einer Observablen, dann würde diese Observable durch die Matrix dargestellt

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0 \vphantom{\frac{a}{b}}\\ 0 & \!\!\boldsymbol{-} 1\vphantom{\frac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{05}\label{05} \end{equation}$$ nicht enthalten $\eqref{04}$. Aber statt der Basis $\eqref{04}$wir könnten die folgenden linearen Kombinationen davon verwenden $$\begin{align} E'_1 \!=\!E_1\!=\!& \begin{bmatrix} 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}1 \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \qquad\qquad\quad \,E'_2 \!=\!E_2\!=\! \begin{bmatrix} 0 & \!\!\boldsymbol{-} i \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ i & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0\vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \nonumber\\ E'_3\!=\!\left(E_3\!-\!E_4\right)\!=\!& \begin{bmatrix} 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0 \vphantom{\frac{a}{b}}\\ 0 & \!\!\boldsymbol{-} 1\vphantom{\frac{a}{b}} \end{bmatrix} \qquad E'_4 \!=\!\left(E_3+E_4\right)\!=\! \begin{bmatrix} 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}0 \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}1 \vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{06}\label{06} \end{align}$$ und Ändern von Symbolen und Anordnungen

$$\begin{equation} I= \begin{bmatrix} 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}0 \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}1 \vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \quad , \:\:\: \sigma_1= \begin{bmatrix} 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}1 \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \quad , \:\:\: \sigma_2= \begin{bmatrix} 0 & \!\!\boldsymbol{-} i \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ i & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0\vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \quad , \:\:\: \sigma_3= \begin{bmatrix} 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0 \vphantom{\frac{a}{b}}\\ 0 & \!\!\boldsymbol{-} 1\vphantom{\frac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{07}\label{07} \end{equation}$$ wo$\:\boldsymbol{\sigma}=\left(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\right)\:$die Pauli-Matrizen .

Nun zu den Grundzuständen$\:\vert u\rangle,\vert d\rangle\:$der Gleichung$\eqref{01}$sind Eigenzustände von$\:\sigma_3\:$es muss also mit dem Index ausgedrückt werden$\:'3'\:$

$$\begin{equation} \vert u_3\rangle= \begin{bmatrix} \:\:1\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \:\:0\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \,, \quad \vert d_3\rangle= \begin{bmatrix} \:\:0\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \:\:1\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{08}\label{08} \end{equation}$$ Dies muss für die Wahrscheinlichkeitsamplituden durchgeführt werden$\:\xi,\eta\:$Auch $$\begin{equation} \vert\psi\rangle = \xi_3\vert u_3\rangle \boldsymbol{+} \eta_3\vert d_3\rangle \quad \text{where} \:\:\:\xi_3,\eta_3\in \mathbb{C}\quad \text{and}\:\:\: \vert\xi_3\vert^{2} \boldsymbol{+}\vert\eta_3\vert^{2} =1 \tag{09}\label{09} \end{equation}$$ Der Grund dafür ist, dass wir als Grundzustände des Hilbertraums genauso gut die Eigenzustände verwenden können$\:\vert u_1\rangle,\vert d_1\rangle\:$von Eigenwerten$\:\boldsymbol{+}1,\boldsymbol{-}1\:$jeweils von$\:\sigma_1\:$ $$\begin{equation} \vert u_1\rangle=\frac{\sqrt{2}}{2} \begin{bmatrix} \:\:1\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \:\:1\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\vert u_3\rangle \boldsymbol{+}\vert d_3\rangle\right) \,, \quad \vert d_1\rangle=\frac{\sqrt{2}}{2} \begin{bmatrix} \:\:1\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ -1\:\,\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\vert u_3\rangle \boldsymbol{-}\vert d_3\rangle\right) \tag{10}\label{10} \end{equation}$$ so dass $$\begin{equation} \vert\psi\rangle = \xi_1\vert u_1\rangle \boldsymbol{+} \eta_1\vert d_1\rangle \quad \text{where} \:\:\:\xi_1,\eta_1\in \mathbb{C}\quad \text{and}\:\:\: \vert\xi_1\vert^{2} \boldsymbol{+}\vert\eta_1\vert^{2} =1 \tag{11}\label{11} \end{equation}$$ oder das relevante zu$\:\sigma_2\:$ $$\begin{equation} \vert u_2\rangle=\frac{\sqrt{2}}{2} \begin{bmatrix} \:\:1\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \:\:i\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\vert u_3\rangle \boldsymbol{+}i\vert d_3\rangle\right) \,, \quad \vert d_2\rangle=\frac{\sqrt{2}}{2} \begin{bmatrix} \:\:1\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ -i\:\,\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\vert u_3\rangle \boldsymbol{-}i\vert d_3\rangle\right) \tag{12}\label{12} \end{equation}$$ so dass $$\begin{equation} \vert\psi\rangle = \xi_2\vert u_2\rangle \boldsymbol{+} \eta_2\vert d_2\rangle \quad \text{where} \:\:\:\xi_2,\eta_2\in \mathbb{C}\quad \text{and}\:\:\: \vert\xi_2\vert^{2} \boldsymbol{+}\vert\eta_2\vert^{2} =1 \tag{13}\label{13} \end{equation}$$ Die Eigenzustände$\vert u_1\rangle,\vert d_1\rangle,\vert u_2\rangle,\vert d_2\rangle$sind in Abbildung-04 schematisch dargestellt.

Jetzt,

$$\begin{align} \xi_1 & =\tfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\xi_3\boldsymbol{+}\eta_3\right) \tag{14a}\label{14a}\\ \eta_1 & =\tfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\xi_3\boldsymbol{-}\eta_3\right) \tag{14b}\label{14b} \end{align}$$ Also $$\begin{align} \vert\xi_1\vert ^{2} & =\frac12\boldsymbol{+}\mathrm{Re}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right) \tag{15a}\label{15a}\\ \vert \eta_1\vert^{2} & =\frac12\boldsymbol{-}\mathrm{Re}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right) \tag{15b}\label{15b} \end{align}$$ Ebenfalls $$\begin{align} \xi_2 & =\tfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\xi_3\boldsymbol{-}i\eta_3\right) \tag{16a}\label{16a}\\ \eta_2 & =\tfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\xi_3\boldsymbol{+}i\eta_3\right) \tag{16b}\label{16b} \end{align}$$ Also $$\begin{align} \vert\xi_2\vert ^{2} & =\frac12\boldsymbol{-}\mathrm{Im}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right) \tag{17a}\label{17a}\\ \vert \eta_2\vert^{2} & =\frac12\boldsymbol{+}\mathrm{Im}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right) \tag{17b}\label{17b} \end{align}$$ In Gleichungen $\eqref{15a}$, $\eqref{15b}$, $\eqref{17a}$, $\eqref{17b}$durch$\:z^{\boldsymbol{*}}\:$wir bezeichnen das komplexe Konjugierte der komplexen Zahl$\:z\:$und von$\:\mathrm{Re}\left(z\right),\mathrm{Im}\left(z\right)\:$die Real- und Imaginärteile von$\:z$.

Seit$\:\vert\xi_3\vert^{2} \boldsymbol{+}\vert\eta_3\vert^{2} =1\:$wir setzen (siehe Abbildung-01)

$$\begin{align} \xi_3 & =\cos\omega_3\cdot e^{i\alpha_3} \:\:,\qquad 0\le\omega_3\le\frac{\pi}{2} \tag{18a}\label{18a}\\ \eta_3 & =\sin\omega_3\cdot e^{i\beta_3} \tag{18b}\label{18b}\\ \theta_3 & =2\omega_3=\text{polar angle with respect to $x_3-$axis}\:\:,\qquad 0\le\theta_3\le \pi \tag{18c}\label{18c} \end{align}$$ Also $$\begin{align} \xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3 & =\cos\omega_3\cdot e^{i\alpha_3}\sin\omega_3\cdot e^{\boldsymbol{-}i\beta_3}=\cos\left(\dfrac{\theta_3}{2}\right)\cdot\sin\left(\dfrac{\theta_3}{2}\right)\cdot e^{\boldsymbol{-}i\left(\beta_3 \boldsymbol{-}\alpha_3\right)} =\dfrac{1}{2}\sin\theta_3\cdot e^{ \boldsymbol{-}i\phi_3} \tag{19a}\label{19a}\\ \phi_3 & = \beta_3\boldsymbol{-}\alpha_3 =\text{azimuthal angle with respect to $x_3-$axis}\:\:,\qquad 0\le\phi_3\le 2\pi \tag{19b}\label{19b} \end{align}$$ Unter diesen Definitionen $$\begin{align} \mathrm{Re}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right) & =\mathrm{Re}\left(\dfrac{1}{2}\sin\theta_3\cdot e^{ \boldsymbol{-}i\phi_3}\right)=\dfrac{1}{2}\sin\theta_3\cos\phi_3=\rho_3\cos\phi_3 \tag{20a}\label{20a}\\ \mathrm{Im}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right) & =\mathrm{Im}\left(\dfrac{1}{2}\sin\theta_3\cdot e^{ \boldsymbol{-}i\phi_3}\right)=\boldsymbol{-}\dfrac{1}{2}\sin\theta_3\sin\phi_3=\boldsymbol{-}\rho_3\sin\phi_3 \tag{20b}\label{20b}\\ \rho_3 & =\vert\xi_3\vert \cdot\vert\eta_3\vert =\cos\omega_3\sin\omega_3 =\dfrac{1}{2}\sin\theta_3 \tag{20c}\label{20c} \end{align}$$ und Gleichungen $\eqref{15a}$, $\eqref{15b}$, $\eqref{17a}$, $\eqref{17b}$ergeben folgende Wahrscheinlichkeiten $$\begin{align} \vert\xi_1\vert ^{2} & =\frac12\boldsymbol{+}\mathrm{Re}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right)=\frac12\boldsymbol{+}\rho_3\cos\phi_3=\frac12\left(1\boldsymbol{+}\sin\theta_3\cos\phi_3\right) \tag{21a}\label{21a}\\ \vert \eta_1\vert^{2} & =\frac12\boldsymbol{-}\mathrm{Re}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right)=\frac12\boldsymbol{-}\rho_3\cos\phi_3=\frac12\left(1\boldsymbol{-}\sin\theta_3\cos\phi_3\right) \tag{21b}\label{21b} \end{align}$$ $$\begin{align} \vert\xi_2\vert ^{2} & =\frac12\boldsymbol{-}\mathrm{Im}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right)=\frac12\boldsymbol{+}\rho_3\sin\phi_3=\frac12\left(1\boldsymbol{+}\sin\theta_3\sin\phi_3\right) \tag{22a}\label{22a}\\ \vert \eta_2\vert^{2} & =\frac12\boldsymbol{+}\mathrm{Im}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right)=\frac12\boldsymbol{-}\rho_3\sin\phi_3=\frac12\left(1\boldsymbol{-}\sin\theta_3\sin\phi_3\right) \tag{22b}\label{22b} \end{align}$$

Beachten Sie, dass der Zustand$\vert\psi\rangle$der Gleichung$\eqref{09}$könnte ausgedrückt werden als

$$\begin{equation} \vert\psi\rangle \boldsymbol{=}e^{i\alpha_3}\left[\cos\left(\dfrac{\theta_3}{2}\right)\vert u_3\rangle \boldsymbol{+} e^{i\phi_3}\sin\left(\dfrac{\theta_3}{2}\right)\vert d_3\rangle \right] \tag{23}\label{23} \end{equation}$$ oder Ignorieren des Phasenfaktors$e^{i\alpha_3}$ $$\begin{equation} \vert\psi\rangle \boldsymbol{=}\cos\left(\dfrac{\theta_3}{2}\right)\vert u_3\rangle \boldsymbol{+} e^{i\phi_3}\sin\left(\dfrac{\theta_3}{2}\right)\vert d_3\rangle \tag{24}\label{24} \end{equation}$$

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B. Auf Kugel – In Kugel

In Abbildung-01 sehen wir die Details der Definitionen$\eqref{18a}$,$\eqref{18b}$und$\eqref{18c}$. Dies ist eine Draufsicht von einem Punkt auf der Kreisebene$\:\rm{K_3}\Xi$in Abbildung-03. Beachten Sie, dass diese Zahl-01 gültig ist, wenn alle tiefgestellt sind$\:'3'\:$wird ersetzt durch$\:'1'\:$oder$\:'2'$. Die Definition und Bedeutung verschiedener Punkte wird im Folgenden angegeben.

In Abbildung-02 sehen wir die Geometrie von Gleichungen$\eqref{21a}$,$\eqref{21b}$und$\eqref{22a}$,$\eqref{22b}$. Dies ist eine Draufsicht von einem Punkt auf die Positiven der$\:x_3-$Achse.

Sehen Sie hier eine 3D-Ansicht von Abbildung-03

In Abbildung-03 haben wir eine Kugel mit Durchmesser 1 in einem dreidimensionalen Raum$\:\mathbb{R}^{3}\:$nicht identisch mit dem physikalischen Raum. Auf der Kugel ein Punkt$\:\Xi\:$repräsentiert einen Zustand des Systems

$$\begin{equation} \psi =\xi_1\vert u_1\rangle \boldsymbol{+} \eta_1\vert d_1\rangle = \xi_2\vert u_2\rangle \boldsymbol{+} \eta_2\vert d_2\rangle = \xi_3\vert u_3\rangle \boldsymbol{+} \eta_3\vert d_3\rangle \tag{25}\label{25} \end{equation}$$ Jetzt für$\:\jmath=1,2,3\:$ $$\begin{align} \rm A_{\boldsymbol{\jmath}} & = point\:\:on\:\:+1/2\:\:of\:\:x_{\boldsymbol{\jmath}}\!-\!axis\:\:representing\:\:the\:\: \vert u_{\boldsymbol{\jmath}}\rangle\:\: eigenstate \tag{26.01}\label{26.01}\\ \rm B_{\boldsymbol{\jmath}} & = point\:\:on\:\:-1/2\:\:of\:\:x_{\boldsymbol{\jmath}}\!-\!axis\:\:representing\:\:the\:\: \vert d_{\boldsymbol{\jmath}}\rangle\:\: eigenstate \tag{26.02}\label{26.02}\\ \rm K_{\boldsymbol{\jmath}} & = projection\:\:of\:\:the\:\:state\:\:point\:\:\Xi\:\:on\:\: x_{\boldsymbol{\jmath}}\!-\!axis \tag{26.03}\label{26.03}\\ \Xi\rm A_{\boldsymbol{\jmath}} & = \vert\eta_{\boldsymbol{\jmath}}\vert=magnitude\:\: of\:\: probability\:\: amplitude\:\: of \:\: \vert d_{\boldsymbol{\jmath}}\rangle\:\: eigenstate \tag{26.04}\label{26.04}\\ \Xi\rm B_{\boldsymbol{\jmath}} & = \vert\xi_{\boldsymbol{\jmath}}\vert=magnitude\:\: of\:\: probability\:\: amplitude\:\: of \:\: \vert u_{\boldsymbol{\jmath}}\rangle\:\: eigenstate \tag{26.05}\label{26.05}\\ \rm K_{\boldsymbol{\jmath}}\rm A_{\boldsymbol{\jmath}} & = \vert\eta_{\boldsymbol{\jmath}}\vert^{2}= probability\:\: of \:\: \vert d_{\boldsymbol{\jmath}}\rangle\:\: eigenstate \tag{26.06}\label{26.06}\\ \rm K_{\boldsymbol{\jmath}}\rm B_{\boldsymbol{\jmath}} & = \vert\xi_{\boldsymbol{\jmath}}\vert^{2}= probability\:\: of \:\: \vert u_{\boldsymbol{\jmath}}\rangle\:\: eigenstate \tag{26.07}\label{26.07}\\ \theta_{\boldsymbol{\jmath}} & = \angle(\Xi\mathrm O_{\boldsymbol{\jmath}}\mathrm A_{\boldsymbol{\jmath}})= polar\: angle \: with\:respect\:to\:the\:x_{\boldsymbol{\jmath}}\!-\!axis \tag{26.08}\label{26.08}\\ \phi_{\boldsymbol{\jmath}} & = \angle(\Xi\mathrm O_{\boldsymbol{\jmath}}\mathrm A_{\boldsymbol{\jmath}})= azimuthal\: angle \: with\:respect\:to\:the\:x_{\boldsymbol{\jmath}}\!-\!axis \tag{26.09}\label{26.09}\\ \omega_{\boldsymbol{\jmath}} & = \angle(\Xi\mathrm B_{\boldsymbol{\jmath}}\mathrm K_{\boldsymbol{\jmath}})= half\:the\:polar\: angle \: \theta_{\boldsymbol{\jmath}} \tag{26.10}\label{26.10}\\ \rm K_{\boldsymbol{\jmath}}\Xi & = \vert\xi_{\boldsymbol{\jmath}}\vert\cdot\vert\eta_{\boldsymbol{\jmath}}\vert= \rho_{\boldsymbol{\jmath}}= radius\: of \: the\:circle,\:intersection\: of\:the\: sphere \nonumber\\ & \hphantom{=}\:\:with \:the\: plane\:through\:point\:\Xi\:normal\:to\:the\: x_{\boldsymbol{\jmath}}\!-\!axis \tag{26.11}\label{26.11} \end{align}$$

Sie können Punkte auf der Oberfläche einer Einheitskugel auf folgende einfache Weise mit reinen Spinzuständen verknüpfen.

Ein Punkt der Kugel$(n_x,n_y,n_z)$einem Eigenvektor des Operators zugeordnet ist$n_x\sigma_x+n_y\sigma_y+n_z\sigma_z$mit positivem Eigenwert und umgekehrt. Dies schließt alle Spin-1/2-Einzelteilchen-Spinzustände ein.

Und das ist kein Zufall oder Visualisierung oder Mathematik. Wenn Sie ein Stern-Gerlach-Gerät mit einer Magnetfeldinhomogenität haben, die in die Richtung zeigt$(n_x,n_y,n_z)$dann wird es diesen Strahl konsequent in eine bestimmte Richtung ablenken, wenn es den Zustand hat, zu dem es gehört$n_x\sigma_x+n_y\sigma_y+n_z\sigma_z.$

Aber ist das nicht sehr verwirrend? Wenn Nord- und Südpol gewählt werden, dann liegen beide Staaten auf derselben Linie und nicht mehr orthogonal,

Es ist nicht im Geringsten verwirrend. Die Geometrie hängt mit der Ausrichtung des physischen Geräts im Labor zusammen, für das Ihr Zustand zuverlässige Ergebnisse liefert. Auch das entgegengesetzt ausgerichtete Gerät liefert zuverlässige Ergebnisse. Für orthogonale Zustände ist es üblich, dass teonorthogonale Zustände dem gleichen Operator eigen sein können.

Unterschiedliche Punkte der Bloch-Kugel identifizieren also unterschiedliche Orientierungen, die für unterschiedliche Zustände das Ergebnis „oben“ liefern. Verwechseln Sie die Ausrichtung des Messgeräts im 3D-Raum nicht mit der Geometrie der Zustände im Spin-Raum.

wie kann man also einen beliebigen punkt wählen$p$auf der Oberfläche der Kugel und zerlegen sie möglicherweise in Bezug auf$0,1$Staaten, um zu finden$a$und$b$?

Es ist anders herum. Wie haben Sie sich entschieden, einen Zustand 0 und einen anderen 1 zu nennen? Sie haben eine zufällige Ausrichtung ausgewählt und sie z genannt und Ihr Gerät so ausgerichtet, dass die Magnetfeldinhomogenität in diese Richtung zeigt. Das gab dir ein Auf und Ab.

Aber jetzt können wir jeden Spin-Zustand angeben. Sie selbst haben einen willkürlichen Punkt$(n_x,n_y,n_z)$Finden Sie dann den Eigenvektor von$n_x\sigma_x+n_y\sigma_y+n_z\sigma_z.$mit positivem Eigenwert. Nennen$\left|s\right\rangle,$dann

$$\left|s\right\rangle=\langle 0\left|s\right\rangle\left|0\right\rangle+\langle 1\left|s\right\rangle\left|1\right\rangle$$ also gibt es deine $a$und $b$außer dass Sie die Gesamtphase und -größe nicht kennen, aber ein Einzelpartikel-Spin-Zustand hat keine davon.

Bedeutet dies, dass man die Bloch-Kugel nicht als gültige Grundlage für unser System ansehen sollte und dass sie nur eine Visualisierungshilfe ist?

Nein, es bedeutet, dass Sie die Geometrie im Labor nicht mit der Geometrie des Hilbert-Raums verwechseln sollten. Physik ist eine experimentelle Wissenschaft, also sind sie definitiv verwandt, aber sie sind nicht dasselbe.

Wenn Sie einen Vektor auf einen Eigenraum projizieren möchten, projizieren Sie die Beschriftungen nicht aufeinander. Sie können einen Spin-Zustand und einen anderen Spin-Zustand haben, und wenn Sie einen durch ein Stern-Gerlach-Gerät führen, das für den anderen ausgerichtet ist, werden die räumlichen Freiheitsgrade geteilt und getrennt in einen, der in dieser Richtung oben ist, und einen, der davon räumlich unten ist Richtung und der Spinzustand ändert sich buchstäblich, um in dem Strahl, der räumlich nach oben ging, nach oben zu zeigen und in dem Strahl, der nach unten ging, nach unten zu zeigen. Der Spin des einen Teilchens hat sich also mit seiner eigenen Position verschränkt.

Die Größe der Hilbert-Projektion gibt Auskunft über die Größe der räumlichen Teile, die abgelenkt und gespalten wurden. Aber Sie müssen sich solche Regeln auch nicht buchstäblich merken. Wenn Sie die Schrödinger-Gleichung für das Stern-Gerlach-Gerät aufschreiben, teilt und trennt sich der Strahl in Teile mit der richtigen Größe und die Spins richten sich in den beiden Polarisationen aus, und es geschieht, ohne dass Sie es dazu sagen.

Dann ist der Spin-Zustand klar. Es sagt Ihnen, in welche Richtung es zuverlässig gehen wird, wenn Sie ihm eine Chance geben. Und wenn Sie es in einen anders ausgerichteten Stern-Gerlach einsetzen, wird es gezwungen, in eine der beiden Richtungen zu gehen, die diese Ausrichtung zulässt, und es wird sich teilen und in beide gehen. Um die Größen jedes Teils zu erhalten, können Sie die Schrödinger-Gleichung entwickeln oder die Eigenvektoren des Operators berechnen$n_x\sigma_x+n_y\sigma_y+n_z\sigma_z$und punktiere ihn mit dem Eigenvektor mit positivem Eigenwert orthogonal zum anderen Vektor.

Und ja, es gibt einfachere Möglichkeiten, dies zu tun, und Sie können mehr daraus machen. Aber hoffentlich sehen Sie die andere Geometrie.

Könntest du mal zeigen, wie man das dann hinbekommt$cos \theta/2$und$e^{i\phi}$Bedingungen?

Ich habe die Pauli-Spin-Operatoren verwendet, wenn Sie eine Basis auswählen möchten, können Sie sie als Matrizen schreiben (ein Operator ist eine Funktion in einem Vektorraum, eine Matrix steht für einen Operator, nachdem Sie eine Basis ausgewählt haben; der Operator existiert und ist unabhängig davon, welche Basis Sie später wählen oder nicht).

$$n_x\sigma_x+n_y\sigma_y+n_z\sigma_z=\left(\begin{matrix} n_z & n_x-in_y \\ n_x+in_y&-n_z \end{matrix}\right).$$

Und der Eigenvektor mit positivem Eigenwert ist$\left(\begin{matrix} -n_x+in_y \\ n_z-1 \end{matrix}\right),$wenn nicht$n_z=1$Dann ist es$\left(\begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}\right).$Beschäftigen wir uns mit dem Fall von$n_z=1$zuerst, in diesem Fall$a=1$und$b=0$und$\theta=0$Also$a=\cos(\theta/2)$,$b=e^{i\phi}\sin(\theta/2)$alles klappt.

Wenn Sie den Eigenvektor als Einheitsvektor schreiben möchten, erhalten Sie$\frac{1}{\sqrt{2-2n_z}}\left(\begin{matrix} -n_x+in_y \\ n_z-1 \end{matrix}\right).$Wenn Sie die Phase so anpassen möchten, dass die erste Koordinate reell und positiv ist, erhalten Sie$\frac{1}{\sqrt{2-2n_z}\sqrt{n_x^2+n_y^2}}\left(\begin{matrix}n_x^2+n_y^2\\ (n_x+in_y)(1-n_z) \end{matrix}\right).$

Der Rest ist Trigometrie, zB$\frac{n_x+in_y}{\sqrt{n_x^2+n_y^2 }}=e^{i\phi}.$Also müssen wir das nur zeigen$\cos(\theta/2)=\sqrt{\frac{n_x^2+n_y^2}{2-2n_z}}$und das$\sin(\theta/2)=\sqrt{\frac{1-n_z}{2}}.$Letzteres ist eine trigonometrische Identität$\sin(\theta/2)=\sqrt{\frac{1-\cos(\theta)}{2}}.$

Ersteres ist

$$\sqrt{\frac{n_x^2+n_y^2}{2-2n_z}}=\sqrt{\frac{n_x^2+n_y^2+n_z^2-n_z^2}{2-2n_z}}$$ $$=\sqrt{\frac{1-n_z^2}{2-2n_z}}=\sqrt{\frac{(1-n_z)(1+n_z)}{2-2n_z}}$$ $$=\sqrt{\frac{1+n_z}{2}}=\sqrt{\frac{1+\cos(\theta)}{2}}=\cos(\theta/2).$$

Ein bloßer erweiterter Kommentar, der die gute Antwort von @Timaeus in eine einprägsamere Form bringt.

Der Zustandsvektor

$$|\psi\rangle= \begin{pmatrix} \cos \theta/2 \\ e^{i\phi} \sin \theta/2 \end{pmatrix}$$ definiert eine reine Zustandsdichtematrix durch ihren Projektionsoperator, $$\bbox[yellow]{ |\psi\rangle \langle \psi | = \begin{pmatrix} \cos^2 \theta/2 & \sin \theta/2 ~ \cos\theta/2 ~e^{-i\phi} \\ \sin \theta/2 ~ \cos\theta/2 ~e^{i\phi} & \sin^2 \theta/2 \end{pmatrix}=\rho }~.$$ Beachten Sie die offensichtliche Invarianz unter der Gesamtumphasung von$|\psi\rangle$.

Der Ausdruck der allgemeinen Prinzipien dieser idempotenten hermiteschen Dichtematrix ist offensichtlich auch

$$\rho=\frac{1}{2}(1\!\! 1 + \hat n \cdot \vec \sigma) ,$$ mit$\hat n = (\sin \theta \cos \phi, \; \sin \theta \sin \phi, \; \cos \theta)^T.$

Das heißt, die$\hat z$Achse dreht sich um die$\hat n$Achse durch volle (adjungierte) Rotationswinkel, wobei ein halber Winkeloperatorausdruck (Spinor, Fundamental) angegeben wird.

Denken Sie an den Photonenspin

Das Nachdenken über diesen konkreteren Fall half mir, einige nützliche Bilder in meinem Kopf zu bekommen. Es gibt sogar ein bekanntes, eher auf Optik ausgerichtetes Analogon, das es wert ist, im Auge behalten zu werden: die Poincaré-Sphäre .

Der Photonenspin ist ein Quantensystem mit zwei Zuständen , das, wie Frobenius erwähnt , das ist, was die Bloch-Sphäre modelliert.

Der Photonenspin ist auch leicht zu verstehen/visualisieren/experimentell zu manipulieren.

Physikalische Polarisationsfilter

Denken wir zunächst an das Konkreteste: die Polarisationsfilter.

Es gibt zwei Arten von Polarisationsfiltern, an die Sie denken könnten:

• linearer Polarisator, in jedem Winkel zwischen -90 und 90.

  Hier ist zB einer bei 90 Grad:

  

  und hier ist einer bei 45 Grad:

  

  und hier ist einer bei 0 Grad:

  

  Quelle

  Wikipedia beschreibt einige Möglichkeiten, solche Filter zu erstellen, und die obigen Bilder sind Polariod-Filter , die in Sonnenbrillen und in der Fotografie verwendet werden und daher leicht erhältlich sind.

  Aus quantenmechanischer Sicht ergeben die 90- und 0-Grad-Orientierungen die gleiche Messung: Der einzige Unterschied besteht darin, dass die eine das Photon passieren lässt, die andere es jedoch blockiert. Aber wir können beide gleichermaßen verwenden, um den Grad der linearen vertikalen Polarisation des Photons zu bestimmen: Sie müssen nur den Komplementärwert nehmen.

  Und da jede Messung einer hermiteschen Matrix entspricht , können wir sowohl 0 als auch 90 mit einer einzigen Matrix darstellen:

  $$M_0 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix}$$

  Und die Matrix für 45 Grad ist:

  $$M_+ = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

• Zirkularpolarisator, der, wie Wikipedia erklärt , normalerweise aus einer Viertelwellenplatte + einem linearen Polarisator besteht:

  

  Quelle .

  Die entsprechende Matrix lautet:

  $$M_i = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{bmatrix}$$

Die obigen Matrizen sind die sogenannten Pauli-Matrizen .

Einige interessante Zustandsvektoren

Geben wir nun 6 Polen Namen, die 6 mögliche interessante Photonenzustände auf der Bloch-Kugel darstellen, und versuchen wir zu verstehen, wie sie mit den Filtern interagieren.

Quelle .

$$\begin{alignat*}{4} &\vert 0\rangle &&= &&\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} &&= \text{linear 90°} \\ &\vert 1\rangle &&= &&\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} &&= \text{linear 0°} \\ &\vert +\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}} &&\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} &&= \text{linear 45°} \\ &\vert -\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}} &&\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} &&= \text{linear -45°} \\ &\vert i\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}} &&\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix} &&= \text{circular clockwise} \\ &\vert -i\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}} &&\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix} &&= \text{circular counter-clockwise} \\ \end{alignat*}$$

Das erste, was uns auffällt, ist, dass die folgenden Paare alle Basen sind:

• $\vert 0\rangle$und$\vert 1\rangle$
• $\vert +\rangle$und$\vert -\rangle$
• $\vert i\rangle$und$\vert -i\rangle$

Zum Beispiel könnten wir darstellen:

$$\begin{alignat*}{3} &\vert 0\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert +\rangle &&+ \vert -\rangle) \\ &\vert 1\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert +\rangle &&- \vert -\rangle) \\ &\vert 0\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert i\rangle &&-i \vert -i\rangle) \\ &\vert 1\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}}(-i\vert i\rangle &&+ i\vert -i\rangle) \end{alignat*}$$

Und dann beobachten wir auch das:

• $\vert 0\rangle$und$\vert 1\rangle$sind Eigenvektoren von$M_0$
• $\vert +\rangle$und$\vert -\rangle$sind Eigenvektoren von$M_+$
• $\vert i\rangle$und$\vert -i\rangle$sind Eigenvektoren von$M_i$

Wenn wir uns daran erinnern, dass das Ergebnis einer Messung in der Quantenmechanik der Eigenvektor eines Eigenwerts ist, wobei die Wahrscheinlichkeit proportional zur Projektion ist, erhalten wir für diese Experimente die folgenden Beispielwahrscheinlichkeiten:

• $\vert 0\rangle$Zustand auf:

  • linearer Polarisator 90°: 100 % pass

  • linearer Polarisator 0°: 0 % Pass

  • linearer Polarisator 45°: 45 % passieren, weil:

    $$\vert 0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert +\rangle + \vert -\rangle)$$

  • linearer Polarisator -45°: 45 % Durchlass

  • Zirkularpolarisatoren: 45 % Durchlass. Denn ein linearer Zustand 0 lässt sich in zwei zirkulare Polarisationen zerlegen:

    $$\vert 1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(-i\vert i\rangle +i \vert -i\rangle)$$

• $\vert 1\rangle$:
  • linear 90°: 0 % bestanden
  • linear 0°: 100 % bestanden
  • linear 45°: 45 % bestanden
  • linear -45°: 45 % bestanden
  • kreisförmig: 45 % bestanden
• $\vert +\rangle$:
  • linear 90°: 45 % bestanden
  • linear 0°: 45 % bestanden
  • linear 45°: 100 % bestanden
  • linear -45°: 0 % bestanden
  • Zirkularpolarisatoren: 45 % Durchlass
• $\vert i\rangle$:
  • linear 90°: 45 % bestanden
  • linear 0°: 45 % bestanden
  • linear 45°: 45 % bestanden
  • linear -45°: 45 % bestanden
  • kreisförmig im Uhrzeigersinn: 100 % bestanden
  • kreisförmig gegen den Uhrzeigersinn: 0 % Pass

Relative Phase

Eine wichtige halbklassische Intuition, an die man sich erinnern sollte, ist:

zirkulare Polarisation == zwei orthogonale lineare Polarisationen um 90 Grad phasenverschoben:

Quelle .

Also zum Beispiel in:

$$\vert i\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} + \frac{i}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle$$

Wir haben eine 90-Grad-Relativphase wegen der$i$relative Phasendifferenz zwischen$\vert 0\rangle$und$\frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle$.

Aber in der Diagonalen sind sie relativ dazu gleichphasig$\vert 0\rangle$und$\vert 1\rangle$:

$$\vert +\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} + \frac{i}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle$$

Die relative Phase ist also 0 für diesen.

Gehen Sie um die Kugel herum

Eine übliche Art, einen Zustand in der Bloch-Sphäre darzustellen, besteht darin, nur die beiden anzugeben$\theta$und$\phi$Winkel wie unten gezeigt:

Quelle .

Da eine Sphäre nicht euklidisch ist, ist es eine gute Möglichkeit, sie zu visualisieren, indem man durch einige leicht verständliche Pfade um sie herum geht. Auf dem folgenden Bild machen wir zwei Pfade:

• Beginnen Sie bei 0, durchlaufen Sie +, 1, - und kehren Sie zu 0 zurück
• Beginnen Sie bei 0, durchlaufen Sie i, 1, -i und kehren Sie zu 0 zurück

Quelle .

Das Gehen von + durch i, -, -i und zurück nach + bleibt als Übung übrig: Der Kreis würde zu einer schiefen Sonnenfinsternis und verdünnt sich immer mehr zu einer 45-Grad-Linie.

Dies führt zu einer klaren Interpretation der Winkel:

• $\theta$: Je größer es ist, desto wahrscheinlicher$\vert 1\rangle$wird verglichen mit$\vert 0\rangle$
• $\phi$: die relative Phase zwischen$\vert 0\rangle$und$\vert 1\rangle$. Diese relative Phase kann von einem vertikalen oder horizontalen Polarisator nicht erfasst werden

Wie können wir im Zustand von 4 reellen Zahlen auf nur 2 heruntergehen?

Auf der Bloch-Kugel können wir den Zustand mit nur 2 realen Parametern darstellen: den Winkeln$\theta$und$\phi$

Aber in den expliziteren Vollzustandsvektoren scheint es 2 komplexe Zahlen und daher 4 reelle Zahlen zu geben:

$$\begin{alignat*}{4} &\begin{bmatrix}a + ib\\c + id\end{bmatrix} \\ \end{alignat*}$$

Warum eine der Zahlen entfernt werden muss, ist einfach: Die Gesamtwahrscheinlichkeit muss 1 sein, also:

$$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1$$

an diesem Punkt sind wir also bereits auf eine 3-Sphäre beschränkt .

Der zweite ist interessanter: Wir können einen weiteren Parameter entfernen, da die globale Phase des Zustands durch keine Experimente erfasst werden kann und wir sie daher frei wählen können.

Eine globale Phase$\phi$ist eine komplexe Zahl. Der Modul dieser Zahl muss 1 sein, um die Gesamtwahrscheinlichkeit beizubehalten. Aus diesem Grund ist eine natürliche Art, eine globale Phase zu schreiben, wie folgt:

&&e^{i\phi}$$

was die obige Eigenschaft automatisch erfüllt, aber dennoch jeden möglichen Wert zulässt.

Experimente können keine globalen Phasenverschiebungen erkennen, weil die Messergebnisse:

$$k_0 \vert 0\rangle + k_1 \vert 0\rangle$$

auf jedem der Filter ist das gleiche wie bei der Messung:

$$\text{phase} \times k_0 \vert 0\rangle + \text{phase} \times k_1 \vert 0\rangle$$

Weil$|\text{phase}| = 1$.

Eine natürliche Wahl besteht daher darin, eine globale Phase auszuwählen, die den Zustand so dreht, dass der Multiplikator von$\vert 0\rangle$wird eine reelle Zahl, dh Einstellung$b = 0$.

So könnten wir zum Beispiel durch Multiplikation mit einer imaginären Zahl allgemeinere Zustände in eingeschränktere abbilden, wie z

$$\begin{alignat*}{2} &\begin{bmatrix}i\\0\end{bmatrix} &&\times -i &&= \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} &&= \vert 0\rangle \\ &\begin{bmatrix}-i\\0\end{bmatrix} &&\times i &&= \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} &&= \vert 0\rangle \\ &\begin{bmatrix}-1\\0\end{bmatrix} &&\times -1 &&= \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} &&= \vert 0\rangle \\ &\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}i\\i\end{bmatrix} &&\times -i &&= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} &&= \vert +\rangle \\ \end{alignat*}$$

Warum gibt es genau drei Pauli-Matrizen?

Ich denke, es gibt tiefe und klare mathematische Gründe, die dies erklären, die damit verbunden sind, dass sie eine Grundlage des 2x2 Hermiteschen Matrixraums sind, wie unter: https://physics.stackexchange.com/a/415228/31891 und https://en erwähnt .wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere#Pure_states und es ist der Kern der Frage, warum die Bloch-Sphäre verwendet wird, aber ich habe es nicht vollständig verstanden.

Aber praktischer ausgedrückt: Die drei von uns beschriebenen Messgeräte sind die einzigen drei Möglichkeiten (bis hin zu globalen Rotationen), so dass Sie nach dem Durchlaufen eines der beiden alle Informationen über die anderen beiden verlieren (50% Wahrscheinlichkeit bei den anderen beiden Experimenten).

Daher sind sie in gewissem Sinne orthogonal und maximal, da es kein anderes Experiment gibt, das wir zu dieser Reihe von Experimenten hinzufügen könnten, so dass diese Eigenschaft gilt.

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Andere physikalische Systeme

Grundsätzlich liefert jede Art von Quantencomputer ein physikalisches Beispiel dafür, wie physikalische Dinge auf einer Bloch-Kugel aussehen. Es wäre gut, die verschiedenen Typen genauer zu verstehen.

Die meisten von ihnen scheinen den Zustand 0 im Zustand niedrigster Energie zu haben, 1 auf dem ersten Energieniveau, und alles am Äquator ist eine Überlagerung. TODO physikalische Interpretation/Kontrolle der Phase.