Warum entsteht Spin in der nichtrelativistischen Quantenmechanik?

In der Quantenmechanik ist die$\overrightarrow L$Operator und die dazugehörigen Observablen$L^2$und$L_z$gab es bereits in der nichtrelativistischen QM. Die Eigenfunktionen von$L^2$und$L_z$sind die sphärischen Harmonischen und die Eigenwerte sind$\hbar^2l(l+1)$und$\hbar m$beziehungsweise. Die Werte von$l$kann ganzzahlig (entsprechend der Kugelfunktion) und halbzahlig (entsprechend einer divergenten Lösung der Differentialgleichung) sein. Bei einem Wert von$l$, die zulässigen Werte von$m$ging ab$-l$zu$l$in ganzzahligen Schritten summiert$2l+1$Entartung.

Sie können die Tatsache nutzen, dass experimentelle Observablen mit den Drehimpulsoperatoren zusammenhängen. Insbesondere ist die Energie eines Dipols in einem Magnetfeld proportional zu$L_z$. Bei Experimenten mit Wasserstoff beobachteten sie eine Reihe von Effekten, die auf Elektronen mit Spin hindeuteten. Erstens besetzten Elektronen paarweise Wasserstofforbitale (und Orbitale anderer Atome). Das Pauli-Ausschlussprinzip verbietet es Elektronen, denselben Zustand einzunehmen, aber wenn Sie eine neue Quantenzahl mit zwei Zuständen hinzufügen, können Sie das Verhalten des Periodensystems erklären. Experimente mit Wasserstoff in Magnetfeldern zeigten, dass die Energieniveaus divergierten. Es gab das erwartete Verhalten einer bewegten Ladung, die einen magnetischen Dipol erzeugte. Dies erzeugte ungerade Aufspaltungen in den Energieniveaus (wie es für sich bewegende Elektronen in kugelförmigen harmonischen Zuständen erwartet wurde). Aber es gab auch Aufspaltungen der Energiezustände, die einen gleichmäßigen Effekt erzeugten. Ein letzter erwähnenswerter Effekt, der wirklich zeigt, dass Elektronen einen Eigenspin haben$\frac{1}{2}\hbar$Wenn Sie einen Kathodenstrahl durch ein Magnetfeld schicken, wird er in Richtung des Magnetfelds in zwei Strahlen aufgeteilt, was darauf hinweist, dass das Elektron ein magnetischer Dipol mit nur zwei Spinzuständen war.

Diese und einige andere Beobachtungen führen Physiker zu dem Schluss, dass Elektronen einen Eigendrehimpuls von großer Größe haben$\frac{1}{2}\hbar$.

Interessant ist der Zusammenhang zwischen „Bahndrehimpuls“ und „Eigenspin“.

Ich gehe davon aus, dass Sie etwas über Repräsentationstheorie wissen. Ein guter Anfang ist hier .

Denken Sie an den Hamiltonoperator des Wasserstoffatoms.

Abzüglich des Spins ist die Wellenfunktion eines Elektrons (in der Ortsbasis) nur eine Funktion$\psi: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{C}$. Die Gruppe der Drehungen in drei Dimensionen,$SO(3)$, wirkt natürlich auf Funktionen dieser Form. Nämlich für eine Matrix$R \in SO(3)$, die Aktion wird durch gegeben

(Die Umkehrung ist notwendig, weil$SO(3)$ist nicht abelsch.) In meiner obigen Gleichung$U$ist eine Karte, die Elemente von enthält$SO(3)$, die spezielle orthogonale Matrizen sind$\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$, zu Elementen, die auf unseren Zustandsraum wirken. Rufen wir unseren Zustand Raum auf$\mathcal{H}$, dann$U(R) : \mathcal{H} \to \mathcal{H}$. Außerdem$U(R)$ist einheitlich, weil$U(R) \psi$hat die gleiche Norm wie$\psi$.

Dies ist natürlich eine Darstellung von$SO(3)$auf unserem Staatsraum. Es überrascht nicht, dass die Darstellungstheorie für die Quantenmechanik so wichtig ist. Zustandsräume in der Quantenmechanik sind Vektorräume. Wenn eine Gruppe auf einen Zustandsraum wirkt, wirkt sie daher auf einen Vektorraum. Das ist alles, was die Repräsentationstheorie ist!

Hier ist das Interessante: für alle$R \in SO(3)$, wir haben

Mit anderen Worten, der Hamiltonoperator ist invariant unter Rotationen.

Jetzt,$U$ist eine Repräsentation, aber keine irreduzible Repräsentation. Wir können den Vektorraum aufbrechen$\mathcal{H}$in Unterräume so dass$U(R)$fungiert als irreduzible Darstellung auf jedem Unterraum. Wir werden diese Unterräume nennen$\mathcal{H}_n$.

Die Tatsache, dass$[\hat H, U(R)] = 0$hat zwei wichtige Konsequenzen (von denen ich annehme, dass sie nicht wirklich unterschiedlich sind).

1. Wenn$\psi$ist ein bestimmter Energiezustand mit Energie$E$, dann$U(R) \psi$ist auch ein bestimmter Energiezustand mit Energie$E$. Dies kann durch die folgende einfache Rechnung gesehen werden:

   $$\hat H U(R) \psi = U(R) \hat H \psi = U(R) E \psi = E U(R) \psi$$

   Dies bedeutet auch, dass ein Zustand nach der Zeitentwicklung in einer bestimmten irreduziblen Repräsentation lebt und sich nach der Zeitentwicklung immer noch in derselben Repräsentation befindet. Wenn ein Staat in einer bestimmten Vertretung lebt$\psi \in \mathcal{H}_n$dann$U(R) \psi \in \mathcal{H}_n$auch. Dass in einer Darstellung nach der Zeitentwicklung Aussagen gemacht werden, folgt daraus, dass die Zeitentwicklung durch die Operatoren gegeben ist$e^{-i \hat H t / \hbar}$.

2. $\hat H$muss bei jedem als Konstante wirken$\mathcal{H}_n$. Mit anderen Worten, alle Vektoren in jedem irreduziblen Unterraum$\mathcal{H}_n$müssen alle Eigenvektoren von sein$\hat H$mit gleichem Eigenwert. Also alle Vektoren rein$\mathcal{H}_1$sind Eigenvektoren von$\hat H$mit dem Eigenwert$E_1$, alle Vektoren in$\mathcal{H}_2$sind Eigenvektoren von$\hat H$mit dem Eigenwert$E_2$, usw. Dies ist nur Schurs Lemma.

Sie fragen sich jetzt vielleicht: "Nun, das ist großartig, aber was sind die irreduziblen Darstellungen von$\mathcal{H}$? Was sind$\mathcal{H}_n?$Die Antwort ist, dass die irreduziblen Darstellungen unseres Zustandsraums nur die sphärischen Harmonischen sind (multipliziert mit der entsprechenden radialen Funktion, um sie zu Energie-Eigenzuständen zu machen).

Dies ist nicht überraschend. Wenn Sie eine bestimmte lineare Kombination von sphärischen Harmonischen nehmen$l$

und drehen Sie die Argumente, alles, was sich ändern wird, sind die$a_i$'s! Das sind sphärische Harmonische . Dies ist der einfachste Weg, um zu erkennen, dass es sich um Repräsentationen von handelt$SO(3)$.

So okay. Lass uns zurückgehen. Darstellungen unseres Zustandsraums zerfallen in diese sphärischen Harmonischen, die die Eigenräume unseres Energieoperators werden.

Es stellt sich heraus, dass die irreduziblen Darstellungen von$SO(3)$kann durch eine ungerade Zahl gekennzeichnet werden, die die Dimension der Darstellung ist. Zum$\mathcal{H}$, jede dieser irreduziblen Darstellungen ist genau einmal ohne Wiederholungen vorhanden. Der Eigenraum mit der niedrigsten Energie ist die triviale Darstellung. Der nächste Eigenraum nach oben wird dreidimensional sein. Das nächste wird 5-dimensional sein und so weiter. Sie können erkennen$1, 3, 5, 7, \ldots$als die Anzahl der Elektronen in jedem Suborbital eines Atoms. (Nun, multiplizieren Sie sie mit 2, um die Spin-Entartung zu berücksichtigen!)

Nun gut, das erklärt, warum Darstellungen von$SO(3)$sollte in der Quantenmechanik wichtig sein. Lassen Sie mich nun erklären, was das mit dem Drehimpuls zu tun hat.

Der Betreiber$\hat L^2$werde auch mit pendeln$U(R)$. Also die Geschichte, die wir darüber gesponnen haben, was wann passiert$\hat H$pendelt mit$U(R)$wird auch hier gelten.

Aber eigentlich gibt es noch mehr. Nicht zufällig,$\hat L_x$,$\hat L_y$und$\hat L_z$sind die Generatoren von$U(R)$(im Sinne der Lie-Algebra). Das ist,

ist eine Drehung um die$x$-Achse um einen Winkel$\theta$, usw.

Nach all diesen Ausführungen ist hier also, was der Bahndrehimpuls mit dem Spin zu tun hat:$SO(3)$selbst ist nur eine Darstellung von$SU(2)$. (Es ist die Darstellung von Spin 1.) Daher ist jedes System mit an$SO(3)$Die Symmetrie wird sich auflösen, so wie sie es tun würde, wenn sie eine hätte$SU(2)$Symmetrie. Die Vertauschungsbeziehungen von$\hat L_i$sind dieselben wie für die Lie-Algebra von$SU(2)$. Lange Rede kurzer Sinn: Sie sind nur sehr ähnliche Dinge.

Ich glaube, ich bin am Ende im Sande verlaufen, aber ich hoffe, das hat geholfen.

Nicht-speziell relativistische QM ist - für ein freies Teilchen - Galilei-Invariante. Spin erscheint als einer der Kasimire der Galilei-Algebra, wenn diese durch im Wesentlichen selbstadjungierte Operatoren auf ihrem Gårding-Bereich in einem trennbaren Inf-Dim dargestellt wird. Hilbert-Raum. Die Arbeit von Bargmann (1954) und Levy-Leblond in den 1960er Jahren sollte selbsterklärend sein (für weitere Details siehe eine andere Antwort unten).

Es tut mir leid, dass meine erste Antwort kurz war. Ich kann jetzt erweitern: Die erste theoretische Erklärung des Begriffs des Quantenspins fand im Zusammenhang mit der speziellen Relativitätstheorie statt (Dirac 1928 – zwei Artikel in PRSL). Erst nachdem die Gruppentheorie durch die Arbeit von Hermann Weyl und Eugene Wigner als natürliche mathematische Umgebung für die Behandlung von Symmetrien in der Quantenmechanik festgelegt wurde, stellten die Menschen die grundlegenden Symmetrien der Raumzeit in Frage. Da QM von Natur aus nicht speziell relativistisch ist, wurde erst 1954 (in einem breiteren Kontext) die erste Analyse der projektiven Darstellungen der Galilei-Gruppe von Valja Bargmann ( http://www.jstor.org/stable/1969831). Dann waren es die Arbeiten von George Mackey, die Bargmanns Arbeiten korrekt mathematisch begründeten (eine Artikelserie) und nicht zuletzt der Artikel von Levy-Leblond "Galilei Group and Nonrelativistic Quantum Mechanics" (Journal of Mathematical Physics, Band 4, Heft 6, S.776-788, 10.1063/1.1724319), das sich insbesondere mit der theoretischen Erklärung des Quantenspins befasst.