Eine Identität von Pauli-Matrizen

Ja. Diese Vertauschungsrelation ist die der Lie-Algebra$\mathfrak{so}(3)$entsprechend der Rotationsgruppe in drei Dimensionen. Die Kommutierungsrelation besagt also, dass die Pauli-Matrizen Drehungen erzeugen.

Um zu verstehen, warum dies die Kommutierungsbeziehung von ist$\mathfrak{so}(3)$, kann man ein Diagramm zeichnen, das zeigt, dass der Kommutator zweier infinitesimaler Rotationen eine infinitesimale Rotation um die senkrechte Achse ist. Es ist natürlich auch möglich, ohne das Bild zu argumentieren. Um das herauszufinden, brauchen Sie den Effekt einer infinitesimalen Drehung um$\mathbf n$An$\mathbf v$Ist

$$\mathbf v \mapsto \mathbf v + \varepsilon \mathbf n \times \mathbf v.$$

Nur um die Antwort von Robin Ekman zu verdeutlichen , potenzieren sich Überlagerungen der Pauli-Matrizen zu$SU(2)$, nicht$SO(3)$, aber diese beiden Lie-Gruppen haben$\mathfrak{so}(3)$als ihre Lie-Algebra - aber ich bin mir sicher, dass Sie das bereits wissen.

Es gibt auch eine andere Möglichkeit, das Problem zu betrachten, die Sie möglicherweise hilfreich finden, auch wenn es sich eher um eine mathematische als um eine physikalische Einsicht handelt. Ich habe gesehen$\mathfrak{so}(3)\cong\mathfrak{su}(2)$wird in einigen Texten als "Kreuzproduktalgebra" bezeichnet, und das Folgende ist der Grund. Ihre Identität ist ein Spezialfall einer allgemeinen Identität für Homomorphismen der Lie-Algebra für den Spezialfall der adjungierten Darstellung des Kreuzprodukts Lie-Algebra.

Beginnen wir mit dem Kreuzprodukt, das mit dreidimensionalen Vektoren arbeitet, und arbeiten wir rückwärts in die entgegengesetzte Richtung zu Ihrer Frage. Das Kreuzprodukt mit 3D-Vektoren ist eine abstrakte Lie-Algebra über den Realzahlen: Sie ist bilinear, schiefsymmetrisch und erfüllt die Jacobi-Identität.

Es gibt einen umständlichen Satz namens Ados Satz, der im Wesentlichen besagt, dass jede abstrakte Lie-Algebra über einem Feld mit charakteristischer Null als Matrix-Lie-Algebra realisiert werden kann. Der Beweis von Ados Theorem ist im Prinzip ein sehr chaotischer Algorithmus zum Ableiten dieser Matrix-Lie-Algebra aus einer Menge abstrakter Kommutierungsbeziehungen.

In diesem speziellen Fall ist der Algorithmus des Satzes von Ado jedoch sehr einfach, da die Lie-Algebra zentrumslos ist : Kein Element der Algebra pendelt mit allem anderen.

Dies bedeutet, dass aufgrund der Identität:

$$\mathrm{ad}([X,\,Y]) = \mathrm{ad}(X)\,\mathrm{ad}(X)-\mathrm{ad}(Y)\,\mathrm{ad}(X) = [\mathrm{ad}(X),\,\mathrm{ad}(Y)]\tag{1}$$

(was zufällig die verkleidete Jacobi-Identität ist und auch Ihre genaue verkleidete Identität ist, siehe Fußnote) Das Bild der "Kreuzproduktalgebra" unter der adjungierten Darstellung ist dieselbe Lie-Algebra. In alltäglicherer Sprache, wenn Sie die Matrizen für die lineare Abbildung aufschreiben$Y\mapsto X\times Y$, das ist:

$$Y=\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right) \mapsto X\times Y = \left(\begin{array}{ccc}0&-x_3&x_2\\x_3&0&-x_1\\-x_2&x_1&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)\tag{2}$$

der Vektorraum, der von den Matrizen der linearen "Basis"-Operationen der Form aufgespannt wird$U\mapsto \hat{X}\times U$,$U\mapsto \hat{Y}\times U$,$U\mapsto \hat{Z}\times U$bilden die gleiche Lie-Algebra wie die Kreuzprodukt-Algebra, wenn man als Lie-Produkt die gewohnte Matrixkommutator-Klammer verwendet (hier$\hat{X},\,\hat{Y},\,\hat{Z}$sind die normalen euklidischen Einheitsbasisvektoren). Diese neue Algebra, nämlich das Bild der Kreuzproduktalgebra unter der adjungierten Darstellung, ist natürlich nichts anderes als$\mathfrak{so}(3)$, und das Ado-Theorem-Verfahren realisiert hier die Algebra als die$3\times 3$echte Matrizen statt der "Quaternion" Pauli-Matrizen Algebra$\mathfrak{su}(2)\cong\mathfrak{so}(3)$. Wie wir jedoch bereits festgestellt haben, sind diese beiden Lie-Algebren isomorph.

Zusammenfassend spielt in Ihrer Identität die linke Seite von (1) die Rolle der rechten Seite Ihrer Identität. Das Kreuzprodukt ist die Lie-Klammer im Kreuzprodukt mit 3D-Vektoralgebra. Die linke Seite Ihrer Identität entspricht der rechten Seite von (1). Wir können (1) umschreiben als:

$$\mathrm{ad}(X \times Y) = [\mathrm{ad}(X),\,\mathrm{ad}(Y)]$$

und der Faktor$i$wird hinzugefügt, um die Hermiteschen Pauli-Matrizen in die Skew-Hermiteschen Quaternioneinheiten zu verwandeln (letztere sind die Lie-Algebra).