Können wir in der Quantenmechanik (QM) einen höherdimensionalen „Spin“-Drehimpuls definieren, der anders ist als der gewöhnliche 3D-Drehimpuls?

Ich glaube, Sie können das, wenn Sie versuchen, dem Weg zu folgen, Repräsentationen des zu finden$SO(n)$Gruppe über einem gegebenen Hilbert-Raum.

Ich habe die Berechnung wirklich nicht durchgeführt, aber wenn es dasselbe ist, hätten Sie so etwas:

$H=L_2(\mathbb R^n,\mathbb C)$wäre der Hilbert-Raum, der Teilchen mit Spin 0 entsprechen würde, und die Darstellung der$SO(n)$Gruppe wäre gegeben durch:

$\Phi: SO(n) \times H \rightarrow H$, mit$(\Phi(g)\psi)(x)=\psi(g^{-1}x)$

Die Generatoren dieser Symmetriegruppe würden den Drehimpulsoperatoren entsprechen. Da es in diesem Fall keine „innere Struktur“ gibt, wäre dies nur der Bahndrehimpuls.

Wie für Teilchen mit Spin:

Die Idee ist die gleiche, mit einem entscheidenden Unterschied, der Hilbert Space, an dem Sie arbeiten. Du würdest dich ändern$H=L_2(\mathbb R^n,\mathbb C)$um zusätzliche Freiheitsgrade einzubeziehen, und der direkteste Weg ist es, das Tensorprodukt mit einem anderen Hilbert-Raum zu nehmen. Ich weiß nicht, wegen wem, aber die folgende Wahl führt schließlich zur berühmten "Pauli-Gleichung" (Schrödinger-Gleichung mit Spin 1/2):$H=L_2(\mathbb R^n,\mathbb C^2) = L_2(\mathbb R^n,\mathbb C)\times L_2(\mathbb R^n,\mathbb C)$

Im Prinzip wissen Sie nicht, ob es möglich ist, eine gute Darstellung der SO(n)-Gruppe im oben erwähnten Hilbert-Raum zu finden, also versuchen Sie es, um arbeiten zu können$H=L_2(\mathbb R^n,\mathbb C^k)$

Wenn Sie also wieder nach Darstellungen der Simetriegruppe suchen, würden Sie am Ende die folgende Möglichkeit erhalten:

$\Phi:H\times SO(n) \rightarrow H$gegeben von$(\Phi(g)\psi)(x ) = \pi_k(g)\psi(g^{-1}x)$

war$\pi_k: SO(n)\times \mathbb C^k \rightarrow \mathbb C^k$ist eine Darstellung der$SO(n)$Gruppe über der endlichen Dimension$\mathbb C^k$. Mindestens ein k funktioniert garantiert, das heißt$k=n$, bei den anderen bin ich mir nicht sicher$SO(3)$, haben Sie eine Darstellung für jedes ungerade k (ganzzahliger Spin) , aber es ist möglich, eine Darstellung der bedeckenden Gruppe zu finden$SU(2)$für alle k.

Ich finde dieses Thema sehr interessant, auch wenn ich nicht die Zeit hatte, die Berechnungen zu üben. Leider endet hier mein Wissen über das Thema, also muss Ihnen jemand anderes bei den eigentlichen Berechnungen helfen.

Wenn Sie zur Hand haben, können Sie Ballentines Diskussion über den Drehimpuls lesen. Ich glaube, es war sehr aufschlussreich, als ich es las, da es diesen Aspekt der Notwendigkeit eines internen Simmetrieraums (der$\mathbb C^k$oben) und arbeitet auch explizit die Fälle von Spin 1/2 und 1 aus, wobei nebenbei auch der Fall von Spin 3/2 diskutiert wird.

Bearbeiten:

Eine Sache, die ich vergessen habe zu erwähnen, betrifft die Algebra (Generatoren) der$SO(n)$Gruppe,$\mathfrak{so}(n)$von$n \times n$antisymmetrische reelle Matrizen. Also die Idee, die Generatoren mit zu kennzeichnen$\Sigma_{ij}$mit einem antisymmetrischen Index wie oben wahrscheinlich der richtige Weg.

Auch die Vertauschungsrelationen wären durch die gegeben$\mathfrak{so}(n)$Vertauschungsbeziehungen, die ich nicht auswendig kenne, und ich bin mir nicht sicher, ob es genau das ist, was Sie oben geschrieben haben. Hier etwas, das ich im Internet auf der gefunden habe$\mathfrak{so}(n)$ Algebren .

Fortsetzung:

Wie Peter Kravchuk betonte, ist die physikalische Idee hinter all dieser Argumentation die Idee des Transformationsgesetzes. In der Physik wird die Idee der Transformation also durch die Idee der Gruppe erfasst, die eine Menge mit einer Art Kompositionsoperation ist, die die Diskussion von Dingen wie „Durchführen einer Transformation nach der anderen“ oder „Durchführen der inversen Transformation“ ermöglicht.

Meistens möchten Sie nicht nur eine Vorstellung von Komposition und Umkehrung von Transformationen haben, sondern auch ein gewisses Gefühl für Kontinuität und / oder Glätte haben. Die glatten, also „differenzierbaren“ Gruppen werden Lie-Gruppen genannt

Meistens interessieren Sie sich nicht für die Gruppen selbst, sondern für die „Wirkung“, die sie haben, wenn sie auf irgendein physisches Objekt einwirken. Wenn Sie eine Reihe von physischen Objekten haben$X$, was Sie tun möchten, ist, eine Art Funktion zu finden, die diese Objekte ändert, aber dennoch gültige physische Objekte derselben Art, dh eine Funktion, erstellt$F: G\times X \rightarrow X$. Diese Idee ist das Konzept der Gruppenaktion .

Oft werden Objekte von physikalischem Interesse als Vektoren modelliert , mit anderen Worten, Dinge, die sinnvoll sind, die man „addiert“ und „mit einem Skalar multipliziert“. Sie können über Positionen, Geschwindigkeiten und/oder Impulse von Teilchen nachdenken.

Außerdem gibt es auch Objekte, die Sie Punkt-zu-Punkt in Ihrem Raum definieren, Dinge wie Gravitationspotential, elektrische Felder und Wellenfunktionen! All diese Objekte werden durch Felder beschrieben, also gewissermaßen durch Funktionen$E \rightarrow X$, Wo$E$ist Ihr „physischer Raum“, dh Ihre Raumzeit, die im Allgemeinen entweder euklidisch oder minkowskisch ist.

Schließlich besteht die Idee der (linearen) Darstellung von Gruppen darin, Transformationsgesetze für Objekte zu suchen, die selbst Vektoren sind. Beginnen wir also mit einem Beispiel. Sie haben den euklidischen 3D-Raum,$E=\mathbb R^3$, und Sie Rotationen untersuchen möchten, dh Transformationen, die die übliche 3D-Metrik beibehalten:$<x,y> = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3$

Mit anderen Worten, Sie wollen Funktionen$A:\mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3$so dass$<Ax,Ay>=<x,y>$für alle$x,y\in\mathbb R^3$. Sie können beweisen, dass alle Funktionen dieser Art lineare Funktionen sind , und auch, dass sie eine Gruppe (und auch eine Lügengruppe!) im oben genannten Sinne bilden. Es heißt Orthogonale Gruppe$O(3)$. Meistens wollen wir uns auch die Orientierung bewahren , also verlangen wir auch, dass sie zufrieden stellen$\det(A)=1$. Diese Teilmenge bildet auch eine Gruppe, die genau die ist$SO(3)$, die (richtigen) Drehungen im 3D-euklidischen Raum.

Wenn Sie eine Gruppenaktion haben, die lineare Operationen respektiert,$\Phi(A)(\alpha x+y) = \alpha(\Phi(A)x)+(\Phi(A)y)$für alle$x,y\in X$,$A\in G$Und$\alpha \in \mathbb F$(denken Sie an reelle und komplexe Zahlen) Sie nennen diese Aktion eine Repräsentation . Es ist möglich, Objekte mit „gemischten Transformationsgesetzen“ zu haben, und normalerweise möchten Sie nicht, dass dies geschieht, also suchen Sie normalerweise nach Objekten mit einem „bestimmten Transformationsgesetz“, und dies ist dasselbe, als würde man von irreduziblen Repräsentationen von Ihnen sprechen Gruppe. Von nun an verwende ich den Begriff Repräsentation als Synonym für irreduzible Repräsentation, sofern nicht anders angegeben.

Eine andere Möglichkeit, die Darstellungen zu betrachten, ist zu denken$\Phi: G \rightarrow GL(X)$, Wo$GL(X)$ist die Gruppe aller invertierbaren linearen Transformationen (Matrizen) über X. Auf diese Weise suchen Sie nach etwas, das respektiert$\Phi(g_1g_2)= \Phi(g_1)\Phi(g_2)$. Auf diese Weise können Sie darüber nachdenken, nach 'Kopien' der ursprünglichen Gruppe über der Gruppe der invertierbaren Operatoren auf dem interessierenden Raum zu suchen.

Jetzt fangen wir an, Spaß zu haben. Wenn Sie diese Symmetriegruppe im Positionsraum haben, möchten Sie fragen, was mit dem Impuls passiert, wenn Sie die Positionen drehen. Da ist auch der Satz von Impulsen (Geschwindigkeiten, wenn Sie möchten).$\mathbb R^3$, Sie haben kein Problem zu setzen$\vec p' = A\vec p$.

Also, um genau zu sagen, was wir tun: Wir haben den physischen Positionsraum:$E = \mathbb R^3$, und wir haben eine Gruppe$G=SO(3)$das wirkt auf$E$, dh,$\Phi: G\times E \rightarrow E$durch die 'triviale Aktion'$\Phi(A)\vec x = A\vec x$

Jetzt haben wir den Impulsraum (Menge aller möglichen Impulse)$P$was auch gleich ist$\mathbb R^3$, also haben wir kein Problem damit, die gleichen 'Transformationsgesetze' wie die ursprünglichen Positionen zu haben, dh die Darstellung einzustellen$\Phi_p : G \times P \rightarrow P$gleich dem trivialen oben. Dies ist gleichbedeutend mit sagen$\vec p' = \Phi_p(A)\vec p = A\vec p$.

Nun können wir fragen, was passiert, wenn Sie Felder im physischen Raum definiert haben, dh "glatte" (oder fast) Funktionen irgendeiner Art:$\mathcal F=\{f|f:E\rightarrow X\}$. Wie auch immer, Sie können sich fragen, wie sich diese Felder transformieren, wenn Sie eine durch die Aktion verursachte „Koordinatenänderung“ haben$SO(3)$auf den physischen Raum. Was normalerweise passiert, ist, dass Sie festlegen$\Phi_\mathcal F : G \times \mathcal F \rightarrow \mathcal F$durch setzen$(\Phi_\mathcal F(A) f)(x) = \Phi_X(A)f(A^{-1}x)$Wo$\Phi_X$ist eine Aktion von G über X. Wenn X ein Vektorraum ist, können Sie auch versuchen, zu finden$\Phi_X$als Repräsentation.

Die Idee ist also, dass Sie zuerst die Koordinaten ändern und dann auf das Objekt einwirken, das sich daraus ergibt. Die Umkehrung des Arguments ist die Idee der aktiven x passiven Rotation: Sie können entweder denken, dass Sie das gesamte Universum aktiv in eine Richtung drehen, oder Ihre Koordinaten in die andere Richtung drehen. Letztendlich verwenden Sie nicht die triviale Darstellung von$SO(3)$innerhalb der Koordinaten, aber die inverse Darstellung.

Wenn Sie ein Skalarfeld haben, zum Beispiel ein elektrisches Potential (das eine Funktion ist$\phi:\mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R$), erwarten Sie nicht, dass es seinen "Wert" ändert, wenn Sie Ihre Koordinaten drehen, aber Sie erwarten, dass es sein Argument ändert. Aufgrund dieser physikalischen Überlegungen können Sie das also erwarten$\phi$ändert sich als 'skalares Feld', d.h.$\phi'(x ) = \phi(A^{-1}x)$.

Stellen Sie sich nun vor, Sie hätten ein (statisches) elektrisches Feld$\vec E : \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3$. Nun erwarten wir, dass sich beim Drehen nicht nur Ihre Argumente ändern, sondern Sie auch eine „direkte Wirkung“ auf das „Vektorfeld selbst“ haben. Seit$\vec E(\vec x) \in \mathbb R^3$, können Sie dieselben „Transformationsgesetze“ (Darstellungen) verwenden, die Sie entweder für die Positionen oder die Argumente von Funktionen verwenden, um auf das elektrische Feld einzuwirken. Am Ende kommt man auf das 'Transformationsgesetz für Vektorfelder':$(\Phi_v(A)\vec E)(\vec x) = A(\vec E(A^{-1}\vec x))$

Sie lesen die obige Gleichung so: „Um ein elektrisches Feld unter einer Drehung umzuwandeln, erhalten Sie zuerst Ihre Position, transformieren sie umgekehrt, damit Sie das richtige Argument berechnen können, werten dann das elektrische Feld an diesem Punkt aus und drehen danach das elektrische Feld auf die gleiche Weise, wie Sie normale Positionen (Vektoren) drehen würden"

Jetzt haben Sie fast alle notwendigen Informationen, die Sie benötigen. Denken Sie nun daran, dass Wellenfunktionen komplexe Skalarfelder sind, die über Ihren physischen Raum definiert sind, mit der zusätzlichen Angemessenheit, dass sie „quadratisch integrierbar“ sind (sie haben eine endliche Norm). Sie drücken das aus, indem Sie sagen, dass Wellenfunktionen Mitglieder einer Menge sind$\{\psi:\mathbb R^3 \rightarrow \mathbb C | \int_{\mathbb R^3}\psi^*(x)\psi(x) d^3 x < \infty \}$was mit bezeichnet wird$L_2(\mathbb R^3,\mathbb C)$von (Lebesgue) quadratintegrierbaren komplexen Funktionen.

Nun wollen Sie fragen, was die möglichen Transformationen von Wellenfunktionen wären. Da es sich um Skalarfunktionen handelt, erwarten Sie, dass sie sich in Skalarfelder umwandeln:$(\Phi(A)\psi)(x) = \psi(A^{-1}x)$

Richtig interessant wird es nun, wenn Sie versuchen, eine „Mehrkomponenten-Wellenfunktion“ zu konstruieren, die die „inneren Freiheitsgrade“ Ihrer Teilchen darstellen würde. Um das zu erreichen, wechseln Sie ab$L_2(\mathbb R^3,\mathbb C)$Zu$L_2(\mathbb R^3,\mathbb C^k)$um einen "inneren Raum" zu haben$\mathbb C^k$

Also gehst du wieder zurück und fragst: „Wie transformiert sich dieses Ding“, oder anders gedacht: „Was sind die möglichen Wege, um dieses Ding zu transformieren?“, da du nicht gezwungen bist, es festzulegen$k=3$, und wenn du genau nachdenkst, lebst du weiter$\mathbb C^k$nicht$\mathbb R^k$!

Da Sie bereits die „Koordinatenänderung“ gehandhabt haben (dh Sie haben das, was zum „Orbitalteil“ des Drehimpulses wird), müssen Sie fragen, was mit dem Innenraum passiert.

Sie möchten also alle 'Transformationsgesetze' (dh Repräsentationen) von Objekten finden$\mathbb C^k$. Mit anderen Worten, Sie möchten alle Darstellungen von finden$SO(3)$An$\mathbb C^k$. Dies ist normalerweise eine (sehr) schwierige Aufgabe, also gehen Sie es normalerweise nicht direkt so an, aber am Ende stellen Sie fest, dass Sie nur (ehrliche) Darstellungen dafür haben würden$k = 2l+1$, mit$l\in \mathbb Z$, was Sie als 'Ganzzahl-Spin-Darstellung' interpretieren würden (obwohl wir das Wort Spin bis jetzt noch nicht gesprochen haben!).

Wie finden wir also Repräsentationen der$SO(3)$Gruppe? Die Standardmethode besteht darin, die "infinitesimalen Transformationen" der Gruppe in der Nähe des Ursprungs (genauer gesagt des Tangentenraums an der Identität der Gruppe) zu betrachten. Diese infinitesimalen Transformationen bilden selbst einen Vektorraum mit einer zusätzlichen Operation namens (Lügen-)Klammer, die gewissermaßen ein „Produkt“ ist. Da mit Produkten bestückte Vektorräume Algebren genannt werden, nennt man diese Strukturen Lüge-Algebren .

Eine Lie-Klammer wirkt genau wie ein Kommutator (dies kann präzisiert werden ), und im Fall von Matrizen-Lie-Algebren (wie die Lie-Algebra von$SO(3)$), es ist genau der Kommutator des üblichen Matrixprodukts. Auf diese Weise kann man von 'Vertauschungsbeziehungen' der Elemente der Lie-Algebra sprechen.

Genauso wie bei Lie-Gruppen kann man von Repräsentationen von Lie-Algebren sprechen sprechen , nur dass anstelle der Beibehaltung der Gruppenkompositionsoperation die Lie-Bracket-Operation beibehalten wird.

Normalerweise ist es einfacher, Repräsentationen der Lie-Algebra zu finden, als Repräsentationen für die ursprüngliche Lie-Gruppe zu finden, da man in der ersteren „nur“ Operatoren finden muss, die als Generatoren für das Bild der Repräsentation dienen können, und wenn sie haben die gleichen 'Vertauschungsbeziehungen' als Basis für die ursprüngliche Lügenalgebra, alles, was Sie tun müssen, ist, die Korrespondenz zu definieren und um Linearität zu erweitern.

Wie können wir also die Informationen über die ursprüngliche Gruppe basierend auf ihrer Lügenalgebra wiederherstellen?

Die Idee ist, dass man (unter bestimmten Bedingungen) Repräsentationen für die Lie-Gruppe basierend auf den Repräsentationen der Lie-Algebra konstruieren kann. Dies geschieht durch „Potenzieren“ (diese Idee des Puttens$U(\vec\theta)=e^{-\frac{i}{\hbar}\vec \theta \cdot \vec J}$) die Elemente der Lügenalgebra, um ein Element der Gruppe zu bilden. Bei einer allgemeinen Einstellung gilt dies nur lokal.

Wenn Sie versuchen, nach Darstellungen der Lügengruppe von zu suchen$SO(3)$(bezeichnet$\mathfrak{so}(3)$), was genau die Algebra von ist$3\times 3$antisymmetrischen Matrizen finden Sie, dass es in allen Darstellungen gibt$\mathbb C^k$.

Leider (oder auch nicht) stellen Sie auch fest, dass Sie eine ähnliche Darstellung für nicht wiederherstellen können$SO(3)$für gerade k. Dies hängt mit der 'Doppelwertigkeit' der Darstellungen für gerades k zusammen. Dies ist der 'Extra-1-Faktor', den halbzahlige Spins mit einem vollen gewinnen$2\pi$Drehung, und auch die „Notwendigkeit“ für a$4\pi$Drehung, um vollständig zum Ursprung (Identität) zurückzukehren.

Was Sie am Ende tun, um nach den Darstellungen der Gruppe zu suchen, die tatsächlich durch Potenzieren der Lügen-Algebra erzeugt wird, was im Fall von$SO(3)$Ist$SU(2)$. Da die beiden lokal "im Wesentlichen gleich" sind und für jedes Element von$SO(3)$Es gibt 2 Elemente von$SU(2)$, letzteres wird als doppelte Abdeckung des ersteren bezeichnet. Für gerade k sind dies die 'spinorialen Darstellungen'

Schließlich beweisen Sie, dass es für alles eine Repräsentation gibt$SU(2)$über irgendwelche$\mathbb C^k$, sodass Sie sowohl ganzzahlige als auch halbzahlige Drehungen verwenden können$SU(2)$als Ihre 'acting rotation'-Gruppe. Sie können dies tun, weil Sie damit die Rotationen im euklidischen "physikalischen Raum" wiederherstellen können.

Um die Idee des Spins wiederzufinden, ist es notwendig, eine Möglichkeit zu haben, den Gesamtspin des betreffenden Teilchens zu „messen“, was über erfolgt$S_x^2+S_y^2 + S_z^2 = S^2$. Also, wie interpretiert man dieses Objekt?

Die Idee ist, dass es sich um die so genannte Casimir-Invariante handelt “ der Gruppe ist, und Sie verwenden sie, um alle (nicht reduzierbaren) Darstellungen Ihrer Algebra und damit Ihrer ursprünglichen Gruppe zu klassifizieren. Auf diese Weise haben Sie so ziemlich die gesamte '3D-Spin-Theorie' hier aufgebaut.

Von hier aus können Sie also meinen ursprünglichen Vorschlag verstehen: Wenn Sie nach einem höherdimensionalen Spin suchen möchten, beginnen Sie mit einem höherdimensionalen Positionsraum$E=\mathbb R^n$, und wiederholen Sie dieselben Fragen, die ich hier entwickelt habe:

1) das übliche euklidische innere Produkt ist$<x,y>= \sum_{i=1}^n x_iy_i$, und so die Gruppen, die es bewahren, und auch die Orientierung der Bewahrer ($\det A=1$) wird genannt$SO(n)$

2) der Raum der k-Komponenten-Wellenfunktionen ist$H=L_2(\mathbb R^n,\mathbb C^k)$und Sie versuchen, Darstellungen von zu suchen$SO(n)$über h.

3) die Deckgruppe von$SO(n)$heißt Spingruppe Spin(n)

Ich glaube, dass es möglich ist, irreduzible Darstellungen der Spin(n) für alle k zu finden, aber ich werde es später bestätigen. Wenn möglich, ermöglicht es eine ähnliche Interpretation wie beim üblichen 3D-Spin. Wie jemand hier oder in einem anderen Thema erwähnt hat, gibt es Cartans Buch als gute Referenz zu diesem Thema. Es bleibt auf meiner ursprünglichen Antwort.

Zunächst möchte ich, zumindest im 3D-Fall, die Aussage kommentieren, die wir einigen Impuls-ähnlichen Pendeloperatoren auferlegen$S_i$die Beziehung$S_x^2+S_y^2+S_z^2=S(S+1)I$ist mehr oder weniger tautologisch, da im Allgemeinen aus den Vertauschungsbeziehungen folgt, dass die RHS (durch einen Basiswechsel) in eine blockdiagonale Form gebracht werden kann, wobei jeder Block genau die gewünschte Form hat.

Im 3D-Fall bedeutet Ihre Anforderung fast die Irreduzibilität der Darstellung von$SO(3)$wofür$S_i$sind die Generatoren (ich kann aber immer noch die reduzierbare Darstellung berücksichtigen$3\oplus3$, Wo$2$ist die übliche 3-dimensionale Spin-1-Vektordarstellung, für die Ihre Gleichung mit der Summe der Quadrate immer noch gilt). In höheren Dimensionen glaube ich, dass es keine schöne mathematische Interpretation gibt. Es besagt, dass Sie den Wert des quadratischen Kasimirs festlegen, aber es gibt andere Kasimirs, also sieht es so aus, als könnten Sie sogar verschiedene irreduzible Darstellungen zu einer reduzierbaren mischen. Allerdings bin ich mir hier nicht sicher, so dass man mich vielleicht korrigieren möchte.

Trotzdem fragen Sie nach einer Reihe von Operatoren mit Kommutierungsbeziehungen$so(n)$die eine bestimmte Gleichung zulassen. Diese Gleichung legt im Grunde den Wert des sogenannten quadratischen Kasimirs fest. Aufgrund der guten Eigenschaften von$so(n)$(Einfachheit usw.), ich glaube, die Antwort lautet: Finden Sie alle irreduziblen Wiederholungen von$so(n)$und wählen Sie eine direkte Summe von Wiederholungen mit demselben Wert des quadratischen Casimir .

Allerdings ging es hier mehr oder weniger um Ihre Gleichung$S_x^2+S_y^2+S_z^2=S(S+1)I$und seine Verallgemeinerungen. Tatsächlich weiß ich nicht, ob Ihre verallgemeinerte LHS mit allen Generatoren pendelt, aber dies ist wahrscheinlich (wenn dies nicht der Fall ist, macht dies keinen Sinn, und Sie müssen sich überlegen, was ist der Kasimir in Ihrer Basis).

Nun zum Kern der Frage – der physikalischen Vorstellung von Spin in höheren Dimensionen. Der Spin und allgemeiner der Gesamtdrehimpuls ist gewissermaßen die Regel, die Ihnen sagt, wie Sie die Wellenfunktion unter Drehungen umwandeln. Grundsätzlich entsteht es, weil Sie wissen müssen, wie die Wellenfunktion transformiert wird. Im Allgemeinen werden Sie also wieder zur Betrachtung irreduzibler Wiederholungen der Rotationsgruppe geführt$SO(N)$.

$SO(N)$hat viele Darstellungen, aber für die Spin-$1/2$Man nimmt normalerweise die Clifford-Algebra$Cl(N)$und baut die Dirac-Darstellung auf (die gewissermaßen grundlegend für Spin(N) ist).$Cl(N)$wird durch eine Reihe von Generatoren gegeben$\gamma_i$die der Beziehung gehorchen:

$$\{\gamma_i,\gamma_j\}=2\delta_{ij}$$ dann sind die Rotationsgeneratoren (Sie sollten hinzufügen $i$um die hermiteschen Spinoperatoren zu erhalten): $$\Sigma_{ij}=\frac{[\gamma_i,\gamma_j]}{4}$$ In 3D können Sie beispielsweise auswählen $\gamma_i=\sigma_i$die Pauli-Matrizen. In 4D sind die üblichen Dirac-Matrizen bekannt. Im Allgemeinen z $N=2k+1$Es gibt eine Darstellung von $Cl(N)$von $2^k\times2^k$Matrizen.