Spinoperatoren im QM

Mathematisch gesehen sind die Bahndrehimpulsoperatoren und die Spindrehimpulsoperatoren eigentlich zwei Seiten derselben Medaille. In gruppentheoretischer Sprache sagen wir, dass diese Operatoren aus zwei verschiedenen Darstellungen der Rotationsgruppe entstehen$SO(3)$(Genau genommen sind wir in der Quantenmechanik an projektiven Darstellungen interessiert, weil physikalisch zwei Vektoren, die sich um eine Phase unterscheiden, nicht unterscheidbar sind. Dies erfordert eine Darstellung der doppelten Überdeckung von$SO(3)$, welches ist$SU(2)$). Die Gruppe kodiert Informationen über die Symmetrien des Systems und eine Darstellung der Gruppe auf einem bestimmten Raum gibt uns eine Möglichkeit, diese Symmetrien als Operatoren auf unserem Zustandsraum zu realisieren.

Der Unterschied zwischen den Spinoperatoren und den Drehimpulsoperatoren besteht eigentlich nur darin, auf welcher Art von Vektorraum sie operieren. Der Gruppe ist jedoch eine bestimmte Struktur zugeordnet, die sich in ihren Darstellungen durchsetzt (Dies hängt mit der Struktur der Lie-Algebra von zusammen$SO(3)$,$\mathfrak{so}(3) \cong \mathfrak{su}(2)$auf die ich später näher eingehen kann, wenn Sie möchten). Daher jede Darstellung der Gruppe$SO(3)$haben die gleichen Kommutierungsbeziehungen. Dies schließt Erweiterungen auf mehrere Partikelzustände ein. Wenn wir den Hilbert-Raum eines einzelnen Teilchens als bezeichnen$\mathcal{H}_1$und der Raum einer Sekunde als$\mathcal{H}_2$, dann bezeichnet man den Gesamtraum, der die beiden Teilchen zusammen beschreibt$\mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2$. Dies ist nichts anderes als ein neuer Vektorraum, den wir darstellen können$SO(3)$An!

Wenn wir also über den Spin eines Zwei-Teilchen-Systems sprechen wollen, sprechen wir nur über eine andere Darstellung von$SO(3)$. Bei diesem Verfahren gibt es einige Feinheiten, da die Darstellung im Raum erfolgt$\mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2$ist nicht irreduzibel . Die Clebsh-Gordon-Zerlegung gibt uns jedoch eine Möglichkeit, diese Darstellung in eine Summe reduzierbarer Darstellungen zu zerlegen. Dieses Verfahren liefert die Clebsch-Gordon-Koeffizienten, die sich ergeben, wenn man von Mehrteilchensystemen spricht.

Kopplung zweier nicht wechselwirkender Quantensysteme$\:\alpha,\beta\:$mit Drehimpuls$\:j_{\alpha},j_{\beta}\:$(egal ob Bahn oder Spin) gelangt man zu folgender Gleichung für den Drehimpuls$\:j\:$des Verbundsystems$\:f\:$

$$\begin{equation} J_{\boldsymbol{n}}=\bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\right) \tag{A-01} \end{equation}$$ was für die$\:\mathbf{n}\:$-Komponenten, um klarer zu sein, können ausgedrückt werden als

$$\begin{equation} \mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{J}=\Bigl[\bigl(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{J}^{\boldsymbol{\alpha}} \bigr) \boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}+ \mathbb{I}_{\boldsymbol{\alpha}} \boldsymbol{\otimes} \bigl(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{J}^{\boldsymbol{\beta}} \bigr)\Bigr] \tag{A-02} \end{equation}$$ Auf obigen Gleichungen das Symbol$''\boldsymbol{\otimes}''$wird für das Produkt von Zustandsvektoren, Räumen oder Operatoren verwendet. Der Vektor$\:\mathbf{n}=\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right) \:$ist von Einheitsnorm. Die Betreiber$\:\mathbf{J}^{\boldsymbol{\alpha}},\, J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}},\,\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\:$wirken auf die$(2j_{\alpha}+1)$-dimensionaler Hilbertraum$\: \mathsf{H}_{\alpha}\:$des Systems$\:\alpha\:$und auf der gleichen Grundlage die Betreiber$\:J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}},\,\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\:$wirken auf die$(2j_{\beta}+1)$-dimensionaler Hilbertraum$\: \mathsf{H}_{\beta}\:$des Systems$\:\beta\:$, das Symbol$\:\mathbb{I}\:$für die Identität verwendet. Schließlich die Betreiber$\:\mathbf{J},\, J_{\boldsymbol{n}}\:$wirken auf die$(2j_{\alpha}+1)\cdot (2j_{\beta}+1)$-dimensionaler Hilbertraum$\: \mathsf{H}_{f}=\mathsf{H}_{\alpha}\boldsymbol{\otimes}\mathsf{H}_{\beta}\:$des Verbundsystems$\:f\:$.

Wir schreiben Gleichung (A-02) für die drei Achsen eines Koordinatensystems

$$\begin{align} J_{\boldsymbol{1}}=\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{1}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{1}}\right) \tag{A-03a}\\ J_{\boldsymbol{2}}=\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{2}}\right) \tag{A-03b}\\ J_{\boldsymbol{3}}=\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\right) \tag{A-03c} \end{align}$$ Diese drei Komponentengleichungen können symbolisch in einer Vektorgleichung ausgedrückt werden $$\begin{equation} \mathbf{J}=\bigl(\mathbf{J}^{\boldsymbol{\alpha}} \boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\bigr)+\left(\mathbb{I}_{\boldsymbol{\alpha}} \boldsymbol{\otimes} \mathbf{J}^{\boldsymbol{\beta}} \right) \tag{A-04} \end{equation}$$ Jetzt müssen wir prüfen, ob diese so konstruierte Größe$\:\mathbf{J}=\left({J}_{1},{J}_{2},{J}_{3}\right) \:$des Verbundsystems ist ein gleichbleibender Drehimpuls und das Kriterium dafür ist die Validierung der Gleichung $$\begin{equation} \mathbf{J}\boldsymbol{\times}\mathbf{J}= i \, \mathbf{J} \tag{A-05} \end{equation}$$ oder nach Komponenten $$\begin{align} J_{\boldsymbol{1}}J_{\boldsymbol{2}}-J_{\boldsymbol{2}}J_{\boldsymbol{1}}= i \, J_{\boldsymbol{3}} \tag{A-06a}\\ J_{\boldsymbol{2}}J_{\boldsymbol{3}}-J_{\boldsymbol{3}}J_{\boldsymbol{2}}= i \, J_{\boldsymbol{1}} \tag{A-06b}\\ J_{\boldsymbol{3}}J_{\boldsymbol{1}}-J_{\boldsymbol{1}}J_{\boldsymbol{3}}= i \, J_{\boldsymbol{2}} \tag{A-06c} \end{align}$$ Um die Gleichungen (A-06) zu beweisen, suchen wir einen allgemeinen Ausdruck für$\:J_{\boldsymbol{n}}J_{\boldsymbol{k}}\:$, Wo$\:J_{\boldsymbol{n}},\,J_{\boldsymbol{k}}\:$die Bestandteile von$\:\mathbf{J}\:$parallel zu den Einheitsvektoren$\:\mathbf{n}\:$Und$\:\mathbf{k}\:$bzw. Aus Gleichung (A-01) und der folgenden Multiplikationsregel $$\begin{equation} \left(\mathrm{A}_{2} \boldsymbol{\otimes} \mathrm{B}_{2}\right)\left(\mathrm{A}_{1} \boldsymbol{\otimes} \mathrm{B}_{1}\right)= \left( \mathrm{A}_{2}\mathrm{A}_{1}\right) \boldsymbol{\otimes} \left( \mathrm{B}_{2}\mathrm{B}_{1}\right) \tag{A-07} \end{equation}$$ wir haben $$\begin{align} J_{\boldsymbol{n}}J_{\boldsymbol{k}} & = \Bigl[\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \Bigl(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr)\Bigr] \left[\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}\right)\right] \nonumber\\ & =\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+\Bigl(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr)\left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}\right) \nonumber\\ & + \Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)\left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}\right) +\Bigl(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr)\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr) \tag{A-08} \end{align}$$ So $$\begin{equation} J_{\boldsymbol{n}}J_{\boldsymbol{k}} = \Bigl[\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}\Bigr)\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr]+\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\Bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}\Bigr)\Bigr] +\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}\Bigr) +\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr) \tag{A-09} \end{equation}$$ Permutation von$\:n\:$Und$\:k\:$Erträge $$\begin{equation} J_{\boldsymbol{k}}J_{\boldsymbol{n}} = \Bigl[\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr)\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr]+\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\Bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr)\Bigr] +\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr) +\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}\Bigr) \tag{A-10} \end{equation}$$ Subtrahieren von (A-10) von (A-09)

$$\begin{equation} J_{\boldsymbol{n}}J_{\boldsymbol{k}}-J_{\boldsymbol{k}}J_{\boldsymbol{n}}= \Bigl[\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}-J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr)\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr]+\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\Bigl(J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}- J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr)\Bigr] \tag{A-11} \end{equation}$$ Für$\:n=1\:$Und$\:k=2\:$obige Gleichung (A-11) ergibt $$\begin{align} J_{\boldsymbol{1}}J_{\boldsymbol{2}}-J_{\boldsymbol{2}}J_{\boldsymbol{1}} & = \Bigl[\overbrace{\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{1}}J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{2}}-J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{2}}J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{1}}\Bigr)}^{i \,J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}} }\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr]+\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\boldsymbol{\otimes} \overbrace{\Bigl(J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{1}}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{2}}- J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{2}}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{1}}\Bigr)}^{i \,J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}}\Bigr] \nonumber\\ & = \Bigl[\Bigl(i \,J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\Bigr)\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol{\beta}}\Bigr] +\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol{\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\Bigl(i\,J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\Bigr)\Bigr] \nonumber\\ & = i\,\Bigl[\Bigl(J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol{\beta}}\Bigr) +\Bigl(\mathbb{I}_{\boldsymbol{\alpha}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\Bigr)\Bigr] \nonumber\\ & = i \, J_{\boldsymbol{3}} \tag{A-12} \end{align}$$ so beweist (A-06a). Durch zyklische Permutation werden auch (A-06b) und (A-06c) bewiesen.

Für die Behandlung des Drehimpulses verwenden wir Gleichung (A-03c), die hier der Einfachheit halber wiederholt wird:

$$\begin{equation} J_{\boldsymbol{3}}=\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\right) \tag{A-03c} \end{equation}$$ Diese Beziehung hat den Vorteil, dass wenn die Matrizen die Komponenten darstellen$\:J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\:$Und$\:J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\:$der Komponentensysteme diagonal sind, dann die Matrix, die die Komponente darstellt$\:J_{\boldsymbol{3}}\:$des Verbundsystems ist ebenfalls diagonal ⁽¹⁾ . Aber für die vollständige Behandlung des Drehimpulses benötigen wir die Matrix, die die Größe darstellt$\:\mathbf{J}^{\boldsymbol{2}}=J^{\boldsymbol{2}}_{\boldsymbol{1}}+J^{\boldsymbol{2}}_{\boldsymbol{2}}+J^{\boldsymbol{2}}_{\boldsymbol{3}}\:$Auch. Wir finden einen Ausdruck von$\:\mathbf{J}^{\boldsymbol{2}}\:$bequem für die Bestimmung seiner Matrix, die nicht von Anfang an diagonal ist, da$\:J_{\boldsymbol{3}}\:$tut. Setzen Sie also das Wertepaar in Gleichung (A-09) ein$\:(n,k)=(1,1)\:$,$\:(n,k)=(2,2)\:$Und$\:(n,k)=(3,3)\:$wir haben bzw

$$\begin{align} J_{\boldsymbol{1}}^{\boldsymbol{2}} = \Bigl[\bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{1}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr]+\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{1}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}\Bigr] +2\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{1}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{1}}\Bigr) \tag{A-13a}\\ J_{\boldsymbol{2}}^{\boldsymbol{2}} = \Bigl[\bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{2}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr]+\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{2}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}\Bigr] +2\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{2}}\Bigr) \tag{A-13b}\\ J_{\boldsymbol{3}}^{\boldsymbol{2}} = \Bigl[\bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr]+\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}\Bigr] +2\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\Bigr) \tag{A-13c} \end{align}$$ In Anbetracht dessen $$\begin{align} \bigl(\mathbf{J}^{\boldsymbol{\alpha}}\bigr)^{\boldsymbol{2}} & =\bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{1}}\bigr)^{\boldsymbol{2}} +\bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{2}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}+\bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\bigr)^{\boldsymbol{2}} = j_{\alpha}(j_{\alpha}+1)\mathbb{I}_{\alpha} \tag{A-14}\\ \bigl( \mathbf{J}^{\boldsymbol{\beta}}\bigr)^{\boldsymbol{2}} &=\bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{1}}\bigr)^{\boldsymbol{2}} +\bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{2}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}+\bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\bigr)^{\boldsymbol{2}} = j_{\beta}(j_{\beta}+1) \mathbb{I}_{\beta} \tag{A-15}\\ \mathbb{I}_{\alpha} \boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\beta} & \equiv \mathbb{I}_{f}=\text{identity in } \mathsf{H}_{f}=\mathsf{H}_{\alpha}\boldsymbol{\otimes}\mathsf{H}_{\beta} \tag{A-16} \end{align}$$ Addition der Gleichungen (A-13) ergibt $$\begin{equation} \mathbf{J}^{\boldsymbol{2}} =\bigl[ j_{\alpha}(j_{\alpha}+1)+ j_{\beta}(j_{\beta}+1) \bigr] \mathbb{I}_{f} +2\sum_{q=1}^{q=3}\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{q}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{q}}\Bigr) \tag{A-17} \end{equation}$$

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^{(1) Genauer gesagt: aus der Definition des Produkts von Operatoren und angesichts dessen$\:J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\:$wird vertreten durch die$(2j_{\alpha}+1)$-quadratische Matrix}

$$\begin{equation} J^{\alpha}_{3} = \begin{bmatrix} j_{\alpha} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & j_{\alpha}-1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & m_{\alpha} & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -j_{\alpha} \end{bmatrix} \tag{foot-01} \end{equation}$$ Und$\:J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\:$wird vertreten durch die$(2j_{\beta}+1)$-quadratische Matrix $$\begin{equation} J^{\beta}_{3} = \begin{bmatrix} j_{\beta} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & j_{\beta}-1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & m_{\beta} & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -j_{\beta} \end{bmatrix} \tag{foot-02} \end{equation}$$ Gleichung (A-03c) ergibt das$\:J_{\boldsymbol{3}}\:$wird durch Folgendes dargestellt$(2j_{\alpha}+1)\cdot (2j_{\beta}+1)$-quadratische Diagonalmatrix $$\begin{equation} J_{\boldsymbol{3}}=\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\right)= \nonumber\\ \end{equation}$$ $$\begin{equation} \begin{bmatrix} \begin{matrix} j_{\alpha}+ j_{\beta} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & j_{\alpha}+ j_{\beta}-1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & j_{\alpha} -j_{\beta} \end{matrix} & & & \\ & \begin{matrix} j_{\alpha}-1+ j_{\beta} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & j_{\alpha}-1+ j_{\beta}-1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & j_{\alpha}-1-j_{\beta} \end{matrix} & & \\ & &\ddots & \\ & & & -j_{\alpha}-j_{\beta} \end{bmatrix} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \tag{foot-03} \end{equation}$$ Beispiel für$\:j_{\alpha}=\tfrac{1}{2}\:$Und$\:j_{\beta}=1\:$ $$\begin{equation} J^{\alpha}_{3} = \begin{bmatrix} \begin{array}{cc} +\frac{1}{2}&0\\ &\\ 0&-\frac{1}{2} \end{array} \end{bmatrix} \:,\qquad J^{\beta}_{3} = \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc} +1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&-1 \end{array} \end{bmatrix} \tag{foot-04} \end{equation}$$
So $$\begin{equation} \Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)= \begin{bmatrix} \begin{array}{cc} +\frac{1}{2}\cdot\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}&0\cdot\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\\ &\\ 0\cdot\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}&-\frac{1}{2}\cdot\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}} \end{array} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{array}{cccccc} +\frac{1}{2}&0&0&0&0&0\\ 0&+\frac{1}{2}&0&0&0&0\\ 0&0&+\frac{1}{2}&0&0&0\\ 0&0&0&-\frac{1}{2}&0&0\\ 0&0&0&0&-\frac{1}{2}&0\\ 0&0&0&0&0&-\frac{1}{2} \end{array} \end{bmatrix} \tag{foot-05} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\right)= \begin{bmatrix} \begin{array}{cc} 1\cdot J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}&0\cdot J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\\ &\\ 0\cdot J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}&1\cdot J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}} \end{array} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{array}{cccccc} +1&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&-1&0&0&0\\ 0&0&0&+1&0&0\\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&-1 \end{array} \end{bmatrix} \tag{foot-06} \end{equation}$$ Hinzufügen von (Fuß-05), (Fuß-06) haben wir $$\begin{equation} J_{\boldsymbol{3}} =\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\right)= \begin{bmatrix} \begin{array}{cccccc} +\frac{3}{2}&0&0&0&0&0\\ 0&+\frac{1}{2}&0&0&0&0\\ 0&0&-\frac{1}{2}&0&0&0\\ 0&0&0&+\frac{1}{2}&0&0\\ 0&0&0&0&-\frac{1}{2}&0\\ 0&0&0&0&0&-\frac{3}{2} \end{array} \end{bmatrix} \tag{foot-07} \end{equation}$$
was nach Umordnung von Zeilen und Spalten wird $$\begin{equation} \widehat{J}_{\boldsymbol{3}} = \begin{bmatrix} \begin{array}{cccccc} +\frac{3}{2}&0&0&0&0&0\\ 0&+\frac{1}{2}&0&0&0&0\\ 0&0&-\frac{1}{2}&0&0&0\\ 0&0&0&-\frac{3}{2}&0&0\\ 0&0&0&0&+\frac{1}{2}&0\\ 0&0&0&0&0&-\frac{1}{2} \end{array} \end{bmatrix} \tag{foot-08} \end{equation}$$ später als direkte Summe von anerkannt$\:j_{1}=\tfrac{1}{2}\:$Und$\:j_{2}=\tfrac{3}{2}\:$ $$\begin{equation} \boldsymbol{2}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}=\boldsymbol{2}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{4} \tag{foot-09} \end{equation}$$ ein Sonderfall des allgemeineren Ausdrucks des Produktraums als direkte Summe von wechselseitig orthogonalen und invarianten unter SU (2) -Unterräumen $$\begin{equation} (2j_{\alpha}+1)\boldsymbol{\otimes}(2j_{\beta}+1)=\bigoplus_{j=\vert j_{\beta}-j_{\alpha} \vert }^{j=\left(j_{\alpha}+j_{\beta}\right)}(2j+1) \tag{foot-10} \end{equation}$$

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Für eine detailliertere Behandlung siehe meine Antworten hier: Gesamtspin von zwei Spin-1/2-Teilchen .

Sowohl der Bahndrehimpuls als auch der Spin beziehen sich auf Rotationen in drei Dimensionen . Ihre Kommutierungsbeziehungen können allein aus den Eigenschaften der Rotationsgruppe abgeleitet werden, also sollten sie gleich sein.

Die Gruppe der Rotationen des dreidimensionalen Raums ist bekannt als$SO(3)$. Quantenzustände sind Vektoren im Raum$V$über die diese Gruppe eine (projektive) Repräsentation hat. Das bedeutet, dass für jede Umdrehung$R$da ist ein$n\times n$Matrix$U(R)$($n$ist die Dimension von$V$), so dass jeder Quantenzustand$\left|\psi\right>$Änderungen an$U(R)\left|\psi\right>$wenn das System gedreht wird$R$.

Sie wissen vielleicht, dass eine Drehung in zwei Dimensionen (der komplexen Ebene) durch Multiplikation mit gegeben ist$e^{-i\theta}$, Wo$\theta$ist der einzige Parameter, der eine Drehung des zweidimensionalen Raums charakterisiert: der Winkel der Drehung. In drei Dimensionen kann eine Drehung durch den Winkel parametrisiert werden$\theta$und einen Einheitsvektor$\hat{u}$Angabe der Rotationsachse. Dies entspricht nur einem Vektor$\vec{u}=\theta\hat{u}$. Geht man genauso vor wie in zwei Dimensionen kann man eine Rotation schreiben

$$\begin{equation} U(\vec{u})=e^{-i\vec{u}\cdot \vec{J}} \end{equation}$$ wo jetzt brauchen wir drei Objekte $J_x$, $J_y$Und $J_z$(die Bestandteile von $\vec{J}$), eine, um jede Komponente zu multiplizieren $\vec{u}$. Sie müssen $n\times n$Matrizen, zu machen $U(R)$auch eine solche Matrix sein (die Exponentialfunktion von Matrizen kann durch ihre Potenzreihe definiert werden).

Beachten Sie, dass die Ableitung einer Rotation eines 3D-Vektors orthogonal zur Rotationsachse und zum Vektor selbst ist und proportional zum Vektor ist, so dass es sein sollte$\hat{u}\times \vec{v}$. Du kannst dir vorstellen$\vec{v}$als Punkt auf einer Kugel mit Radius$|\vec{v}|$, Und$\hat{u}\times \vec{v}$als Pfeil, der an diesem Punkt beginnt und in die Richtung zeigt, in die er sich bewegt, wenn er gedreht wird.

Andererseits$\frac{d}{d\theta}U(\theta\hat{u})= -i\hat{u}\cdot\vec{J}$, also Schreiben der Vektoren der dreidimensionalen Darstellung als$\vec{v}$anstatt$\left|\psi\right>$Wir haben die Gleichung$\hat{u}\times \vec{v}=(-i\hat{u}\cdot\vec{J})v$. Nun wollen wir den Kommutator berechnen$[J_x,J_y]$:

$$\begin{align} [J_x,J_y]\vec{v}=J_xJ_y\vec{v}-J_yJ_x\vec{v}= -\hat{x}\times(\hat{y}\times\vec{v}) + \hat{y}\times(\hat{x}\times\vec{v}) = -(\hat{x}\times\hat{y})\times\vec{v} = -\hat{z}\times\vec{v} = iJ_z\vec{v} \end{align}$$ wobei ich die Eigenschaften des dreifachen Kreuzprodukts verwendet habe. Wir haben gerade eine der Vertauschungsbeziehungen hergeleitet: $[J_x,J_y]=iJ_z$. Die anderen folgen in gleicher Weise.

Die Spinoperatoren$S_x$,$S_y$,$S_z$und die Bahndrehimpulsoperatoren$L_x$,$L_y$,$L_z$sind beide nur die Generatoren$J_x$,$J_y$,$J_z$von dreidimensionalen Drehungen.

Der einzige Unterschied zwischen ihnen besteht darin, dass der Name spin (und die Notation$S_i$) verweist auf die Darstellungen unter$SO(3)$für Zustände eines einzelnen Teilchens ohne Bewegung im Raum die "inneren" Drehungen, während der Name Bahndrehimpuls (und die Symbole$L_i$) wird üblicherweise für die Darstellungen unter verwendet$SO(3)$von Zuständen von Systemen, die eine gewisse Ausdehnung oder Bewegung im Raum haben.

Die Kombination von Darstellungen von Rotationen ist wieder eine Darstellung von Rotationen, so dass sie immer noch die gleichen Generatoren mit den gleichen Kommutierungsbeziehungen haben wird. Dies gilt für beliebige Kombinationen, wie die kombinierten Spins für das Elektron und das Proton, die Kombination des Bahndrehimpulses und des Spins eines Teilchens oder Drehimpulse für Mehrteilchensysteme.

Sie haben Recht mit Ableitungen mit Leiteroperatoren. Den Ihnen bekannten Ansatz können Sie in jedem Fall verwenden, da er von Kommutierungsrelationen abgeleitet ist.

Spinoperatoren haben die gleichen Kommutierungsbeziehungen wie die Drehimpulsoperatoren. Der genaue Grund ist etwas subtil. Der Begriff Spin und Drehimpuls bezieht sich auf die Eigenschaften unter Drehungen der Wellenfunktionen. Tatsächlich können die Drehimpulsoperatoren als Erzeuger der Drehungen definiert werden.

Die Drehungen im 3D-Raum bilden die$SO(3)$Gruppe. Um von Rotationen eines Quantenzustandes sprechen zu können, müssen wir damit umgehen können$SO(3)$darauf so, dass die Gruppenstruktur erhalten bleibt (ein Gruppenhomomorphismus). Da nun Zustände Vektoren in einem Hilbert-Raum sind, fragen wir wirklich nach einer Darstellung der Gruppe$SO(3)$auf dem Hilbertraum. Die unterschiedlichen Arten, wie die Drehungen auf den Hilbert-Raum wirken können, entsprechen unterschiedlichen Darstellungen der$SO(3)$Gruppe. Aus der Lie-Theorie kennen wir das Auffinden von Repräsentationen$SO(3)$läuft darauf hinaus, Darstellungen für die Lie-Algebra zu finden$\mathfrak{so}(3)$. Diese Lie-Algebra enthält die infinitesimalen Generatoren der Transformationen in der$SO(3)$Gruppe.

Hier entsteht eine Subtilität. Wir betrachten jetzt die verschiedenen Möglichkeiten, wie sich ein Quantenzustand (Vektor des Hilbert-Raums) unter Drehungen umwandeln kann, aber die Physik steckt wirklich in den quadrierten Amplituden der Zustände. Das ist wirklich die Menge, auf die wir mit Rotationen reagieren wollen. Effektiv bedeutet dies, dass wir nach projektiven (oder bis zu einer Phase) Darstellungen von suchen$SO(3)$. Zufällig sind dies genau die Darstellungen für$SU(2)$. Es kommt auch vor, dass die Lie-Algebra$\mathfrak{su}(2)$aus der Gruppe$SU(2)$ist isomorph zu$\mathfrak{so}(3)$. Deshalb konstruieren sie in vielen Lehrbüchern einfach Darstellungen für die Lie-Algebra und der Spin erscheint magisch. Der wahre Grund ist, dass wir wirklich nach projektiven Darstellungen von suchen$SO(3)$die die Spindarstellungen enthält. Das ist auch der Grund, warum Spin auch in der nicht-relativistischen QM auftaucht, da die Galileische Invarianzgruppe die Rotationsgruppe beinhaltet. Spin ist kein relativistisches Phänomen!

Da diese beiden Gruppen dieselbe Lie-Algebra haben, sind die Kommutierungsbeziehungen für ihre Infinitesimal-Generatoren in jedem Fall dieselben, was das ermöglicht, was in Ihrem Lehrbuch getan wird.

Zu deiner zweiten Frage, es ist ein bisschen kompliziert. Da der Hilbert-Raum für zusammengesetzte Systeme durch das Tensorprodukt beider Teilräume gegeben ist, müssen wir nun das Tensorprodukt von Darstellungen betrachten. Dies ist per se keine Repräsentation und es sollte ohnehin nicht möglich sein, auf diesen Raum mit einem Spin-Operator einzuwirken. Wir möchten jedoch, dass das zusammengesetzte System auch projektive Darstellungen der Rotationsgruppe ist$SO(3)$. Das, worum wir wirklich bitten, ist das$\mathfrak{su}(2)$kann in eine Bi-Algebra umgewandelt werden. Da es sich natürlich um Bi-Algebra handelt, gibt es eine Operation (eigentlich einen Homomorphismus), die als Koprodukt bezeichnet wird.$\Delta$, das abbildet:

$\Delta:\mathfrak{su}(2) \longrightarrow \mathfrak{su}(2)\otimes\mathfrak{su}(2),$

was uns erlaubt, Tensorprodukte von Repräsentationen als eine Repräsentation zu betrachten. Da diese Abbildung ein Homomorphismus ist, erhält sie die algebraische Struktur und damit die Vertauschungsbeziehungen. Dies ist der genaue Grund für die Eindeutigkeit der Kommutierungsbeziehungen für beliebige Spinoperatoren und folglich die gleichen Eigenwertgleichungen. Der Ladder-Operator-Ansatz stützt sich nur auf die algebraische Struktur der Spin-Operatoren und ist als solcher gleichermaßen gültig, wenn er für zusammengesetzte Systeme verwendet wird.

Der Grund, warum wir die Operatoren auf das eine und separat auf das andere Element anwenden, ist nicht nur eine Definition oder physikalische Intuition. Dies liegt daran, dass dieses Nebenprodukt auf primitive Elemente einwirkt und nicht verdrillt ist$\forall X \in \mathfrak{su}(2)$:

$\Delta(X)=X\otimes 1 + 1 \otimes X,$

führt zu dir$S = S_1 + S_2$. Es besteht eine tiefe Verbindung zwischen dieser Form des Koppelprodukts und der Statistik der betreffenden Teilchen. Die obige einfache Form bezieht sich auf die Symmetrie unter den Permutationen identischer Teilchen. In 3+1-Dimensionen kann jedes zusammengesetzte System in Form von Bosonen und Fermionen beschrieben werden, wobei den beiden Standardstatistiken gehorcht wird. Daher erwarten wir in den meisten Fällen diese Form für das Kuppelprodukt. In begrenzten Systemen in 2 oder 1 + 1 Dimensionen sind jedoch exotischere Statistiken möglich. In diesen exotischen Fällen liegt das Nebenprodukt nicht immer in dieser Form vor (z. B.: Anyone, Parabosons/Parafermionen) und sich allein auf die Intuition zu verlassen, kann bei der Betrachtung zusammengesetzter Systeme in die Irre führen.

Interessant ist noch eine abschließende Bemerkung zur unterschiedlichen Basis eines zusammengesetzten Spinraums. In der Tat eine Grundlage des zusammengesetzten Raums$H_1\otimes H_2$kann nun entweder durch Angabe von Eigenvektoren auf beiden Tensorprodukt-Unterräumen (dies würde auf die Angabe des Spins jedes Teilchens im zusammengesetzten System hinauslaufen) oder, wenn man das Ganze als Darstellung betrachtet, durch Angabe der Gesamteigenvektoren (dies entspricht der Angabe der Summe) angegeben werden Spin des Verbundsystems). Das Matrixelement zwischen diesen beiden Grundlagen wird als Clebsch-Gordan-Koeffizient bezeichnet und wird häufig verwendet, wenn es um zusammengesetzte Systeme geht.

Sie lesen Griffiths, also werde ich versuchen, in seinem Vokabular zu bleiben – aber um Ihre Frage zu beantworten, muss ich vielleicht etwas Formalismus einführen, den Griffiths nicht tut.

Im Allgemeinen ist dies die Geschichte. Mathematisch konstruieren wir eine$N$Partikelsystem aus nicht wechselwirkenden Partikeln, wobei jedoch das direkte Produkt jedes Hilbert-Raums verwendet wird$\mathcal{H}_i$als$i$geht von 1 bis$N$(ein Hilbertraum für jedes Teilchen). Jeder dieser Räume ist völlig unabhängig voneinander und erfüllt die bekannte Vertauschungsrelation.

$$\begin{align} [S_{k}^{(i)},S_{l}^{(j)}]=i\hbar\epsilon_{klm}\delta_{ij} \end{align}$$ bei dem die $i$multiplizieren $\hbar$ist die imaginäre Einheit. Kurz gesagt, jedes Teilchen hat seinen eigenen Hilbert-Raum, von denen jeder die üblichen Drehimpuls-Kommutationsbeziehungen und definierten Leiteroperatoren erfüllt.