Allgemeines Verfahren für Clebsch-Gordan-Erweiterungen

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten tauchen in der Darstellungstheorie der [Lie]-Gruppe der Rotationen auf$SO(3)$[und seine grundlegende Abdeckung$SU(2)$]. Wenn das Tensorprodukt zweier irreduzibler Darstellungen dieser Gruppe [die selbst eine reduzierbare Darstellung ist ] als direkte Summe irreduzibler Darstellungen ausgedrückt wird, sind die normalisierten Koeffizienten der Entwicklung die Clebsch-Gordan-Koeffizienten. Sie drücken die Multiplizität jeder irreduziblen Darstellung in der Zerlegung aus.

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten sind selbst orthonormal, mit Orthonormalitätsbeziehung

$\sum_{|m_1|\leq j_1,|m_2| \leq j_2} C(j_1,j_2,m_1,m_2|j,m) C(j_1,j_2,m_1,m_2|j',m')= \delta_{j,j'} \delta_{m,m'}$ $\sum_{j=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} \sum_{|m|\leq j} C(j_1,j_2,m_1,m_2|j,m) C(j_1,j_2,m_1',m_2'|j,m)= \delta_{m_1,m_1'} \delta_{m_2,m_2'}$

und wie oben dargelegt erscheinen, wenn reduzierbare Darstellungen in Summen irreduzibler Darstellungen zerlegt werden. In Bezug auf Drehimpulszustände

$|j_1,m_1 \rangle \bigotimes|j_2,m_2\rangle=\sum_{j,m} C(j_1,j_2,m_1,m_2|j,m)|j,m\rangle$

Wo$C(j_1,j_2,m_1,m_2|j,m)=\langle j,m|j_1,j_2,m_1,m_2\rangle$

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten treten auch in der Erweiterung des Produkts zweier Kugelflächenfunktionen in Bezug auf die Kugelflächenfunktionen selbst auf. Die Herleitung der Formel ist etwas umständlich und das Ergebnis sieht so aus

$Y_{l_1}^{m_1}(\theta,\varphi)Y_{l_2}^{m_2}(\theta,\varphi)=\sum_{l,m} \ \sqrt{\dfrac{(2l_1+1)(2l_2+1)}{4 \pi(2l+1)}} \\ \times C(l_1,l_2,m_1,m_2|l,m)C(l_1,l_2,0,0|l,m)Y_{l}^m(\theta,\varphi)$

Sie sind auch mit anderen komplizierteren Strukturen wie den Wigner-3-j-Symbolen oder den Racah-Koeffizienten verwandt .

Außerdem darf ich hinzufügen, dass es eine geschlossene Formel für sie gibt$3$Dimensionen (abgeleitet von Racah) und dass diese Formel für beliebige Dimensionen nicht bekannt ist.