Äquivalente Darstellungen der Clifford-Algebra

Question

Äquivalente Darstellungen der Clifford-Algebra

Physik
Lügen-Algebra
Quantenmechanik
mathematisch-physik
Quantenfeldtheorie
Gruppendarstellungen

Eduard Hughes

Ich überprüfe hier David Tongs ausgezeichnete QFT-Vorlesungsunterlagen und bin ein wenig verwirrt über etwas, das er auf Seite 94 schreibt.

Wir haben die standardmäßige chirale Darstellung der Clifford-Algebra betrachtet, und er verallgemeinert jetzt auf eine andere Darstellung. Er schreibt, dass dies beinhalten wird

γ^{μ} \to U γ^{μ} U^{- 1} Und ψ \to U ψ

$\gamma^{\mu}\rightarrow U\gamma^{\mu}U^{-1} \ \textrm{and} \ \psi \rightarrow U\psi$

Was bedeutet die zweite Transformation? Ich sehe nicht, wie es irgendetwas mit einer Darstellung der Clifford-Algebra zu tun hat (was meines Wissens eine Zuordnung einer Matrix zu jedem Element der Algebra ist). Meint er, dass wir in der resultierenden projektiven Darstellung der Lorentz-Gruppe transformieren sollten?

ψ \to S [Λ] U ψ

$\psi\rightarrow S[\Lambda]U\psi$

oder belle ich den falschen Baum an?

Das alles erinnert sehr an Bildwechsel in der QM, aber ich habe in diesem Zusammenhang nie über Repräsentationstheorie gesprochen! Gibt es eine strenge Verbindung?

Vielen Dank!

Lubos Motl

Lieber Edward, es ist extrem schwer, etwas Beef in deiner Frage zu sehen. Korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege, aber was Sie zu verwirren scheint, ist die lineare Algebra des ersten Semesters der Erstsemester.

ψ \to U ψ

$\psi\to U\psi$ ist nur eine Änderung der Basis im Raum der Vektoren

ψ

$\psi$ . Immerhin steht die Transformationsvorschrift für die Operatoren auf dem gleichen Platz

γ^{μ} \to U γ^{μ} U^{- 1}

$\gamma^\mu\to U\gamma^\mu U^{-1}$ ist abgeleitet von

ψ \to U ψ

$\psi\to U\psi$ , also ist es sehr schwer, wie Sie die Regel für die Gammas verstehen können, aber nicht für die Psis. Und warum sprechen Sie über projektive Wiederholungen, viel kompliziertere Konzepte als einfache Basisänderungen?

Lubos Motl

Vielleicht liegt das Problem darin, dass Sie die Matrix verwirren

U

$U$ in Ihren Transformationsformeln mit der Wirkung eines Lorentz oder eines anderen Elements

Λ

$\Lambda$ . Es sind völlig unterschiedliche Transformationen. Der

U

$U$ in den Transformationsgesetzen, die Sie angedeutet haben, ist nur eine Änderung der Basis, eine Änderung der Darstellung, und dies

U

$U$ hängt von keinem ab

Λ

$\Lambda$ in der Lorentz-Gruppe oder so ähnlich. Im Gegenteil, es ist eine feste Matrix, wie eine Permutationsmatrix mit

\pm 1

$\pm 1$ oder

\pm i

$\pm i$ Einträge oder diskrete Fourier-Transformation usw. und wird verwendet, um die Basis/Repräsentation für alle zu ändern

Λ

$\Lambda$ .

Eduard Hughes

Ah okay - ich sehe mein Problem. Ich stelle mir eine Darstellung natürlich als eine lineare Aktion einer Gruppe auf einem Vektorraum vor, die automatisch alle äquivalenten Darstellungen identifiziert. Der Wechsel zwischen äquivalenten Darstellungen bewirkt lediglich einen Basiswechsel im Vektorraum. In der neuen Basis natürlich

ψ

$\psi$ wird

U ψ

$U\psi$ Und

γ^{μ}

$\gamma^{\mu}$ ist geschrieben

U γ^{μ} U^{- 1}

$U\gamma^{\mu}U^{-1}$ , durch lineare Standardalgebra. Ich bin gestolpert, weil ich versuchte, über wirklich unterschiedliche Repräsentationen im selben Raum nachzudenken, was nicht nur auf eine Änderung der Basis im Allgemeinen hinauslaufen würde.

Eduard Hughes

Und vielen Dank für Ihre Hilfe - manchmal überdenke ich etwas Einfaches und muss auf das einfache Argument hingewiesen werden!

Lubos Motl

Richtig, gut für dich, Edward, und frohe Weihnachten. Übrigens ist die Änderung der Impuls-/Positionsdarstellung in QM auch ein Beispiel für eine Änderung der Basis, und diese äquivalenten Wiederholungen können auch als „dasselbe“ angesehen werden, wenn Sie Ihrer abstrakten, basisunabhängigen Perspektive folgen.

Eduard Hughes

Aha - ja klar, jetzt sehe ich den Zusammenhang mit QM. Auch dir Frohe Weihnachten!

Antworten (1)

Äquivalente Darstellungen der Clifford-Algebra

Lieber Edward, es ist extrem schwer, etwas Beef in deiner Frage zu sehen. Korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege, aber was Sie zu verwirren scheint, ist die lineare Algebra des ersten Semesters der Erstsemester. $\psi\to U\psi$ ist nur eine Änderung der Basis im Raum der Vektoren $\psi$ . Immerhin steht die Transformationsvorschrift für die Operatoren auf dem gleichen Platz $\gamma^\mu\to U\gamma^\mu U^{-1}$ ist abgeleitet von $\psi\to U\psi$ , also ist es sehr schwer, wie Sie die Regel für die Gammas verstehen können, aber nicht für die Psis. Und warum sprechen Sie über projektive Wiederholungen, viel kompliziertere Konzepte als einfache Basisänderungen?
Vielleicht liegt das Problem darin, dass Sie die Matrix verwirren $U$ in Ihren Transformationsformeln mit der Wirkung eines Lorentz oder eines anderen Elements $\Lambda$ . Es sind völlig unterschiedliche Transformationen. Der $U$ in den Transformationsgesetzen, die Sie angedeutet haben, ist nur eine Änderung der Basis, eine Änderung der Darstellung, und dies $U$ hängt von keinem ab $\Lambda$ in der Lorentz-Gruppe oder so ähnlich. Im Gegenteil, es ist eine feste Matrix, wie eine Permutationsmatrix mit $\pm 1$ oder $\pm i$ Einträge oder diskrete Fourier-Transformation usw. und wird verwendet, um die Basis/Repräsentation für alle zu ändern $\Lambda$ .
Ah okay - ich sehe mein Problem. Ich stelle mir eine Darstellung natürlich als eine lineare Aktion einer Gruppe auf einem Vektorraum vor, die automatisch alle äquivalenten Darstellungen identifiziert. Der Wechsel zwischen äquivalenten Darstellungen bewirkt lediglich einen Basiswechsel im Vektorraum. In der neuen Basis natürlich $\psi$ wird $U\psi$ Und $\gamma^{\mu}$ ist geschrieben $U\gamma^{\mu}U^{-1}$ , durch lineare Standardalgebra. Ich bin gestolpert, weil ich versuchte, über wirklich unterschiedliche Repräsentationen im selben Raum nachzudenken, was nicht nur auf eine Änderung der Basis im Allgemeinen hinauslaufen würde.
Und vielen Dank für Ihre Hilfe - manchmal überdenke ich etwas Einfaches und muss auf das einfache Argument hingewiesen werden!
Richtig, gut für dich, Edward, und frohe Weihnachten. Übrigens ist die Änderung der Impuls-/Positionsdarstellung in QM auch ein Beispiel für eine Änderung der Basis, und diese äquivalenten Wiederholungen können auch als „dasselbe“ angesehen werden, wenn Sie Ihrer abstrakten, basisunabhängigen Perspektive folgen.
Aha - ja klar, jetzt sehe ich den Zusammenhang mit QM. Auch dir Frohe Weihnachten!

Kostja · Answer 1

Ich war auch wirklich verwirrt von so etwas (es war eine Aussage, dass $Y_{lm}$ war 'eine Repräsentation' einer Gruppe von Rotationen). Das Problem ist, dass in Physiklehrbüchern die Unterscheidung zwischen einer Gruppe und einer Aktion dieser Gruppe meist nicht genug betont wird.

In Ihrem Fall betrachten wir zwei Darstellungen (nennen wir sie $A$ Und $B$ ). Für ein Element $g_\Lambda$ der Lorentzgruppe würden die entsprechenden linearen Operatoren auf einen Vektorraum von Dirac-Spinoren wirken:

A (G_{Λ}) \cdot ψ = S [Λ]_{β}^{a} ψ^{β}, B (G_{Λ}) \cdot ψ = S^{'} [Λ]_{β}^{a} ψ^{β}

$A(g_\Lambda)\cdot\psi = S[\Lambda]^\alpha_\beta \psi^\beta,\quad B(g_\Lambda)\cdot\psi = S'[\Lambda]^\alpha_\beta \psi^\beta$ (Ich lasse die Koordinatenabhängigkeit fallen und schreibe keine Indizes mehr.)

Jetzt sagen wir, dass die beiden Darstellungen $A$ Und $B$ sind (unitär) äquivalent, wenn es eine unitäre Transformation gibt $U$ wodurch Sie den Wechsel dieser Darstellungen 'kompensieren' können. Nehmen wir also zwei Spinoren $\psi$ Und $S[\Lambda]\psi$ und transformiere sie wie:

ψ \to U ψ, S [Λ] ψ \to U S [Λ] ψ

$\psi\to U\psi,\quad S[\Lambda]\psi\to US[\Lambda]\psi$ Aber wir haben auch:

A \to B \Rightarrow S [Λ] \to S^{'} [Λ]

$A\to B \quad\Rightarrow\quad S[\Lambda]\to S'[\Lambda]$ Aus Konsistenzgründen müssen wir also haben:

U S [Λ] ψ = S^{'} [Λ] U ψ \Rightarrow S^{'} [Λ] = U S [Λ] U^{- 1}

$US[\Lambda]\psi = S'[\Lambda]U\psi \quad\Rightarrow\quad S'[\Lambda] = US[\Lambda]U^{-1}$ Endlich Material sammeln:

ψ \to U ψ

$\psi\to U\psi$

S [Λ] \to U S [Λ] U^{- 1}

$S[\Lambda]\to US[\Lambda]U^{-1}$

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