Skalare Feldtransformation und Generatoren

Allgemeine Bemerkungen.

Im Allgemeinen können Sie keine Darstellung einer bestimmten Gruppe "ableiten".$G$auf die Objekte, die Sie in Betracht ziehen, aber es gibt einige wirkliche Standarddefinitionen bestimmter Gruppendarstellungen, denen spezielle Namen wie „Skalar“, „Vektor“ und so weiter gegeben werden.

Allerdings ist die Darstellung einer Lie-Gruppe gegeben$G$, dies induziert eine Darstellung ihrer Lie-Algebra$\mathfrak g$, und die Bestimmung einer expliziten Formel für diese Lie-Algebra-Darstellung ist genau das, was wir tun, wenn wir die sogenannten "Infinitesimal-Generatoren" der entsprechenden Gruppendarstellung finden.

Ein Beispiel.$\mathrm{SO}(2)$

Lassen$C^\infty(\mathbb R^2)$bezeichnen den Vektorraum glatter Funktionen in der Ebene$\mathbb R^2$. Die skalare Darstellung$\rho$von$\mathrm{SO}(2)$Einwirken auf$C^\infty(\mathbb R^2)$ist definiert als

$$\begin{align} (\rho_0(R)\phi)(\mathbf x) = \phi(R^{-1}\mathbf x). \end{align}$$ für jede $\phi\in C^\infty(\mathbb R^2)$und für jeden $R\in\mathrm{SO}(2)$. Was zum Teufel ist hier los? Beachten Sie, dass dies auch wie folgt geschrieben werden kann: $$\begin{align} (\rho_0(R)\phi)(R\mathbf x) = \phi(\mathbf x) \end{align}$$ Diese Definition kapselt also die intuitive Idee, dass das transformierte Feld $\rho(R)\phi$am transformierten Punkt ausgewertet $R\mathbf x$stimmt mit dem nicht transformierten Feld überein $\phi$an der nicht transformierten Stelle ausgewertet $\mathbf x$. In der Physik ist es üblich, "gestrichene" Notationen für das transformierte Feld und den transformierten Punkt zu sehen; $$\begin{align} \rho_0(R)\phi = \phi', \qquad R\mathbf x = \mathbf x' \end{align}$$ in diesem Fall kann die Definition der Skalardarstellung geschrieben werden als $$\begin{align} \phi'(\mathbf x') = \phi(\mathbf x) \end{align}$$ Das kommt Ihnen wahrscheinlich bekannt vor. Im Grunde genommen besteht die "Invarianz", die passiert, darin, dass sich der Wert des Felds nicht ändert, vorausgesetzt, das transformierte Feld wird am transformierten Punkt ausgewertet.

Unendlich kleine Generatoren.

Um die infinitesimalen Generatoren einer gegebenen Darstellung zu finden, versuchen wir wirklich nur, eine bestimmte Darstellung der Lie-Algebra der Gruppe zu finden. Diese Lie-Gruppendarstellung$\rho$induziert natürlich eine Lie-Algebra-Darstellung$\bar \rho$folgendermaßen:

$$\begin{align} \bar \rho(X) = \frac{d}{dt}\rho(e^{tX})\Big|_{t=0} \end{align}$$ Also für die $\mathrm{SO}(2)$Beispielsweise kennen wir die Lie-Algebra $\mathfrak{so}(2)$wird durch das einzelne Element erzeugt $$\begin{align} J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}, \end{align}$$ und wir können bestimmen, wie dieses Element in der Darstellung dargestellt wird, die durch die oben definierte skalare Darstellung wie folgt induziert wird: $$\begin{align} (\bar\rho_0(J) \phi)(\mathbf x) &= \frac{d}{dt}\phi(e^{-tJ}\mathbf x)\Big|_{t=0} \\ &= \frac{d}{dt}\phi(x-ty, y+tx)\Big|_{t=0} \\ &= -y\partial_x\phi(x,y) + x\partial_y\phi(x,y) \\ &= (-y\partial_x + x\partial_y)\phi(\mathbf x) \end{align}$$ Mit anderen Worten, in der skalaren Darstellung wird der Rotationsgenerator in der Ebene durch einen Differentialoperator dargestellt; $$\begin{align} \bar\phi_0(J) = -y\partial_x + x\partial_y. \end{align}$$ Dieselbe Prozedur kann erweitert werden, um auch infinitesimale Generatoren anderer Darstellungen zu finden, wie die Vektordarstellung $\rho_1$von $\mathrm{SO}(2)$die definiert ist, um auf Vektorfelder einzuwirken $\mathbf v$im Flugzeug wie folgt: $$\begin{align} (\rho_1(R)\mathbf v)(\mathbf x) = R\mathbf v(R^{-1}\mathbf x) \end{align}$$

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