Was ist die geometrische (oder darstellungsunabhängige) Definition der Zentralladung der Lie-Algebra gg\mathfrak{g}?

Es gibt eine übliche Methode (Weinberg QFT Vol.1 P83) , um die zentrale Ladung einzuführen , die ich nicht verstehe. Gegeben sei eine unitäre projektive Darstellung U ( G ) der Lie-Gruppe G .

(1) U ( G 1 ) U ( G 2 ) = e ich ϕ ( G 1 , G 2 ) U ( G 1 G 2 )

Verwendung lokaler Koordinaten { X A } nahes Identitätselement, G 1. G 2 = G ( X 1 ) . G ( X 2 ) = G ( X 3 ( X 1 , X 2 ) )

(2) X 3 A ( X 1 , X 2 ) = X 1 A + X 2 A + γ A B C X 1 B X 2 C + ⋯
(3) ϕ ( G 1 , G 2 ) ≡ ϕ ( X 1 , X 2 ) = γ B C X 1 B X 2 C + ⋯
(4) U ( G ( X ) ) = 1 + ich X A T A + 1 2 X A X B T A B + ⋯
mit T A Hermitesch u T A B = T B A .

Ersatz ( 2 , 3 , 4 ) hinein ( 1 ) ,

(5) − T C T B = ich γ C B 1 + ich γ A C B T A + T C B

Durch die Definition,

F A B C ≡ γ A C B − γ A B C F B C ≡ γ C B − γ B C
(6) [ T B , T C ] = ich F A B C T A + ich F B C 1
Sie rufen F B C als Zentralladung.

Meine Fragen:

1. Diese Ableitung stützt sich stark auf die Koordinaten und die Darstellung, die mir ungewohnt sind. Meines Wissens nach eine Lügengruppe gegeben G , T A sollte der Tangentenvektor am Identitätselement sein, das heißt T A ∈ T e G = G . Der Kommutator der Lie-Algebra sollte immer noch in der Lie-Algebra sein. Warum kann ich F B C 1 auftreten in ( 6 ) seit 1 ist kein Element in G .

2. Es scheint, dass sie über eine bestimmte Darstellung sprechen ( 1 ) , weil eine abstrakte Lie-Gruppe gegeben ist G , e ich ϕ ( G 1 , G 2 ) kann nicht im Gruppenprodukt vorkommen. Erst nachdem Sie eine projektive Darstellung gefunden haben ( 1 ) , dh ϕ ( G 1 , G 2 ) ungleich Null, können Sie auf diese Weise die zentrale Ladung definieren. Das Lehrbuch sagt jedoch auch, dass eine einfach verbundene Lie-Gruppe eine projektive Darstellung haben kann, wenn die zentrale Ladung der Lie-Algebra nicht trivial ist. Gibt es hier einen Zirkelschluss?

Oder vielleicht ist die zentrale Ladung für eine bestimmte Repräsentation definiert. Dann stellt sich die Frage nach der hinreichenden und notwendigen Bedingung für eine Lie-Algebra G eine Darstellung mit nichttrivialer zentraler Ladung haben?

3. Wie lautet also die geometrische Definition der zentralen Ladung? Es sollte eine Definition der zentralen Ladung geben, die nicht von Repräsentation und Koordination abhängt.

↑ Wer sind Sie? Welches Lehrbuch? Welche Seite?
@Qmechanic Weinberg Vol.1 S. 83
Haben Sie auch die Darstellung von Hamermesh überprüft? Aus algebraischer Sicht hat eine Lie-Algebra jedes Mal eine nicht-triviale zentrale Erweiterung, wenn ihre zweite Chevalley-Eilenberg-Kohomologiegruppe als Menge nicht leer ist. Es stellt sich dann heraus, dass diese Erweiterung die Lie-Algebra des direkten Produkts der Lie-Gruppe und der Kohomologiegruppe ist.
Es lohnt sich auch, die Arbeit von Parthasarathy zu überprüfen. Er machte da weiter, wo Bargmann aufgehört hatte.
Diese Fragen und Antworten von mir könnten für Sie von Interesse sein.
@DanielC Danke. Könnten Sie mir eine Referenz nennen. Sehr schätzen.
Ich habe die gesamte mir bekannte Literatur (außer der Arbeit von George Mackey) zum Thema projektive Darstellungen und Lie-Gruppen und Erweiterungen der Lie-Algebra gegeben.

Antworten (1)

Die sehr gut geschriebene Zusammenfassung des Themas von ACuriousMind, auf die er im Kommentarbereich verlinkt hat, sollte normalerweise Ihre Frage(n) beantworten. Sie müssen einfach alles zusammenfügen, das heißt, selbst nachdenken. Springen Sie also nicht zu einem der folgenden Texte.

Sie haben mich um konkrete Literatur zu diesem Thema gebeten, die ACuriousMind wahrscheinlich auch bekannt ist - abgesehen von der von Ihnen zitierten Quelle, nämlich dem 2. Kapitel von Weinberg I.

Lassen Sie mich sehen.

  • Ich würde mit dem berühmten Artikel von Valja Bargmann On Unitary Ray Representations of Continuous Groups offiziell unter http://www.jstor.org/stable/1969831 beginnen

  • Dann sollte ich bereit sein, etwas zusätzliches Lesen von einem Diff zu machen. geom. / Lie-Gruppen-Text wie Helgason, S. - Differentialgeometrie, Lie-Gruppen und symmetrische Räume (GSM 34, AMS, 1978), um die kurze generische Monographie angehen zu können Parthasarathy, K. - Multipliers on Locally Compact Groups (LNM 93, Springer, 1969) und die angewandte Monographie der eingeschränkten Poincaré-Gruppe Simms, DJ – Lie Groups and Quantum Mechanics (LNM 52, Springer, 1968, ---+).

  • In neuerer Literatur haben wir die Monographie von Azcarraga, J., Izquierdo, J. - Lie Groups, Lie Algebras, Cohomology and Some Applications in Physics (CUP, 1995), die die Summe aller in den beiden anderen zitierten Literatur sein könnte Absätze oben und zwei unten und die berühmte Geometrie der Quantentheorie von Varadarajan (Kapitel 7, Springer, 1968).

  • Eine im Vergleich zu Simms weniger technische Herangehensweise an die Poincaré-Gruppe bietet B. Thaller in seinem Buch The Dirac Equation (Springer, 1992), Abschnitt 2.4, der auf Seite 62 beginnt.

  • Die leichteste Version des gesamten Themas der projektiven Darstellungen und Erweiterungen der Lie-Gruppe/Lie-Algebra bietet Morton Hamermesh in seinem Buch Group Theory and Its Applications to Physical Problems (Dover, 1962, Kapitel 12).

  • Nicht zuletzt begann alles mit der Arbeit von Chevalley und Eilenberg, frei verfügbar unter http://www.ams.org/journals/tran/1948-063-01/S0002-9947-1948-0024908-8/S0002 -9947-1948-0024908-8.pdf

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