Verbindung zwischen dynamischer Algebra und Symmetriegruppe

In einem vollständigen allgemeinen Rahmen können Sie, wie Sie wahrscheinlich wissen, ein hamiltonisches System als ein dynamisches System definieren, dessen Vektorfeld lautet:

$$[X_{H}(x)]_{i}= \{x_{i},H\}$$ Wo $$x=(q_{1},...,q_{n},p_{1},...,p_{n})=(q,p)$$ ein Vektor des Phasenraums ist $\Gamma$(das ist praktisch immer ein Hilbertraum), $\{ ; \}$ist eine Poisson-Klammer, die die üblichen Eigenschaften erfüllt und $H=H(x)$ist der Hamiltonoperator des Systems, definiert auf dem Phasenraum. Ein wirklich wichtiges Objekt, das man definieren kann, ist der sogenannte Poisson-Tensor, definiert als: $$J_{jk} = \{x_{j},x_{k}\}$$ Beachten Sie, dass aus dieser Definition offensichtlich ist, dass $J$hat dieselbe Schiefsymmetrie-Eigenschaft wie die Poisson-Klammern: Dies ist grundlegend, um eine Formulierung eines beliebigen Hamilton-Systems in Bezug auf neu zu definieren $J$. An dieser Stelle kann man, ohne viele Details einzugeben, das oben Geschriebene entwickeln, indem man die Poisson-Klammern in Bezug auf den Poisson-Tensor neu definiert, und auf diese Weise kann man eine vollständige allgemeine Form der Hamilton-Gleichung jedes beliebigen Hamilton-Systems schreiben: $$\dot{x} =J(x)\nabla_{x}H(x)$$ Wo $J$ist der Poisson-Tensor und die Notation $\nabla_{x}$bedeutet, dass der Gradient auf einen Vektor des Phasenraums wirkt $x$. Sie können JEDE Änderung der Variablen vornehmen $x \rightarrow y=f(x)$das Sie wollen, aber Sie werden NIE die hamiltonschen Eigenschaften Ihres Systems verlieren (dh die Eigenschaften der Poisson-Klammer). Dies ist wirklich wichtig und bedeutet, dass, wenn ein System gemäß den obigen Definitionen hamiltonsch ist, es UNABHÄNGIG von der zu seiner Beschreibung gewählten Koordinate hamiltonsch bleibt.

Das Konzept des Poisson-Tensors ist auch wichtig, um die Menge der Casimir-Invarianten (dh die Symmetriegruppe) eines gegebenen Hamiltonschen Systems zu charakterisieren: Eine Casimir-Invariante$C(x)$ist eine im Phasenraum definierte Funktion, so dass:

$$J(x)\nabla C(x)=0$$ mit anderen Worten, ist eine Funktion, die den Gradienten hat, der im Kern des Poisson-Tensors liegt. Diese Funktionen beschreiben die Invarianz Ihres Systems. Der Hauptpunkt (von dem ich hoffe, dass er Ihre Frage beantworten kann) ist einfach anhand der Definition einer Casimir-Invariante zu verstehen und besteht darin, dass JEDES Hamilton-System, das durch denselben Poisson-Tensor beschrieben wird, dieselben Casimir-Invarianten hat (dh dieselben Symmetrie)! Ist nicht richtig, wie Sie Ihre Frage stellen, weil jedes Hamiltonsche System eine wohldefinierte Algebra von Funktionen hat $A(\Gamma)$dessen bilineares Produkt eine Poisson-Klammer ist, die die üblichen Eigenschaften erfüllt, die Sie kennen: Wenn es nicht möglich ist, eine Poisson-Klammer zu definieren, können Sie kein Hamilton-System haben. Es ist nicht sinnvoll, wonach Sie fragen, weil die Definition der klassischen Hamiltonschen Algebra wirklich allgemein und, ich wiederhole, auf jeden Fall gut definiert ist. Mit anderen Worten, die auf dem Phasenraum definierte Hamilton-Algebra zählt nicht, wenn Sie über Invarianz und Symmetrien eines Hamilton-Systems sprechen, aber wie ich Ihnen oben geschrieben habe, ist das Hauptinstrument, um diese Tatsache zu charakterisieren, der Poisson-Tensor des Systems: der gleiche Poisson-Tensor -> die gleichen Casimir(Symmetrien)