Ist SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)\times U(1) = U(2)?

Question

Ist SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)\times U(1) = U(2)?

Physik
Topologie
Lügen-Algebra
Gruppentheorie
mathematisch-physik
Gruppendarstellungen

phy_math

In den vielen Lehrbüchern des Standardmodells stoße ich auf den Zusammenhang

\begin{aligned} S U (2)_{L} \times U (1)_{L} = U (2)_{L} . \end{aligned}

$\begin{align} SU(2)_L \times U(1)_L = U(2)_L. \end{align}$ Hier der Index

L

$L$ bedeutet die Linkshändigkeit (dh die Chiralität der Fermionen). Gilt obige Beziehung im allgemeinen Fall? Das heißt, ist

\begin{aligned} S U (2) \times U (1) = U (2) ? \end{aligned}

$\begin{align} SU(2) \times U(1) = U(2)\ ? \end{align}$

gj255

Soweit ich weiß, sind die Indizes dieser Gruppen lediglich Bezeichnungen, die uns an die Objekte erinnern sollen, auf die sie einwirken. Also schreiben wir

S U (3)_{C}

$SU(3)_C$ oder

S U (3)_{F}

$SU(3)_F$ je nachdem, ob wir die Gruppe in Betracht ziehen

S U (3)

$SU(3)$ auf das Triplett der Farbzustände eines Quarks oder das Flavour-Triplett (up, down, strange) einzuwirken. Es ist in beiden Fällen genau dieselbe Gruppe. Daher ist das Entfernen der Etiketten völlig legitim. Zumindest denke ich. Ich würde auch sagen, dass ich ziemlich sicher bin, dass der Isomorphismus tatsächlich ist

S U (2) \times U (1) = U (2) \times Z_{2}

$SU(2) \times U(1) = U(2) \times Z_2$ Vielleicht könnte jemand erklären, warum Bücher oft fallen

Z_{2}

$Z_2$ ?

QMechaniker

Verwandte math.SE-Frage: math.stackexchange.com/q/1111766/11127

John Baez

@ gj255 - das stimmt nicht

S U (2) \times U (1)

$\mathrm{SU}(2) \times \mathrm{U}(1)$ ist isomorph zu

U (2) \times Z_{2}

$\mathrm{U}(2) \times \mathbb{Z}_2$ . Der einfachste Weg, dies zu sehen, ist, das zu notieren

S U (2) \times U (1)

$\mathrm{SU}(2) \times \mathrm{U}(1)$ verbunden ist, während

U (2) \times Z_{2}

$\mathrm{U}(2) \times \mathbb{Z}_2$ hat zwei Zusammenhangskomponenten.

Antworten (1)

Ist SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)\times U(1) = U(2)?

Soweit ich weiß, sind die Indizes dieser Gruppen lediglich Bezeichnungen, die uns an die Objekte erinnern sollen, auf die sie einwirken. Also schreiben wir $SU(3)_C$ oder $SU(3)_F$ je nachdem, ob wir die Gruppe in Betracht ziehen $SU(3)$ auf das Triplett der Farbzustände eines Quarks oder das Flavour-Triplett (up, down, strange) einzuwirken. Es ist in beiden Fällen genau dieselbe Gruppe. Daher ist das Entfernen der Etiketten völlig legitim. Zumindest denke ich. Ich würde auch sagen, dass ich ziemlich sicher bin, dass der Isomorphismus tatsächlich ist $S U (2) \times U (1) = U (2) \times Z_{2}$ $SU(2) \times U(1) = U(2) \times Z_2$ Vielleicht könnte jemand erklären, warum Bücher oft fallen $Z_2$ ?
Verwandte math.SE-Frage: math.stackexchange.com/q/1111766/11127
@ gj255 - das stimmt nicht $\mathrm{SU}(2) \times \mathrm{U}(1)$ ist isomorph zu $\mathrm{U}(2) \times \mathbb{Z}_2$ . Der einfachste Weg, dies zu sehen, ist, das zu notieren $\mathrm{SU}(2) \times \mathrm{U}(1)$ verbunden ist, während $\mathrm{U}(2) \times \mathbb{Z}_2$ hat zwei Zusammenhangskomponenten.

QMechaniker · Answer 1

Der relevante Lie-Gruppen-Isomorphismus lautet

$\begin{matrix} (1a) & \begin{aligned} U (2) ≅ & [U (1) \times S U (2)] / Z_{2}, \\ Z (S U (2)) ≅ & Z_{2} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} U(2)~\cong~&[U(1)\times SU(2)]/\mathbb{Z}_2, \cr Z(SU(2))~\cong~&\mathbb{Z}_2.\end{align}\tag{1a}$

Im Detail ist der Isomorphismus der Lie-Gruppe (1a) gegeben durch
$U (2) ∋ G \mapsto$ $U(2)~\ni~ g\quad\mapsto\quad$ $(\sqrt{det G}, \frac{G}{\sqrt{det G}}) \sim (- \sqrt{det G}, - \frac{G}{\sqrt{det G}})$ $\left(\sqrt{\det g}, ~\frac{g}{\sqrt{\det g}}\right) ~\sim~ \left(-\sqrt{\det g}, ~-\frac{g}{\sqrt{\det g}}\right)$ $\begin{matrix} (1b) & \in [U (1) \times S U (2)] / Z_{2} . \end{matrix}$ $~\in ~[U(1)\times SU(2)]/\mathbb{Z}_2.\tag{1b}$ Hier das $\sim$ Symbol bezeichnet a $\mathbb{Z}_2$ -Äquivalenzrelation. Der $\mathbb{Z}_2$ -action löst die Mehrdeutigkeit in der Definition der zweiwertigen Quadratwurzel.
Es scheint natürlich zu erwähnen, dass der Isomorphismus der Lie-Gruppe (1a) auf einfache Weise auf generische (unbestimmte) einheitliche ( Super- ) Gruppen verallgemeinert werden kann

$\begin{matrix} (2a) & \begin{aligned} U (P, Q | M) ≅ & [U (1) \times S U (P, Q | M)] / Z_{| N - M |}, \\ Z (S U (P, Q | M)) ≅ & Z_{| N - M |}, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} U(p,q|m)~\cong~&[U(1)\times SU(p,q|m)]/\mathbb{Z}_{|n-m|}, \cr Z( SU(p,q|m))~\cong~&\mathbb{Z}_{|n-m|},\end{align}\tag{2a}$

Wo
$\begin{matrix} (2b) & \begin{aligned} P, Q, M \in & N_{0}, \\ N \equiv P + Q \neq & M, \\ N + M \geq & 1, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} p,q,m~\in~& \mathbb{N}_0, \cr n~\equiv~p+q~\neq~&m, \cr n+m~\geq ~& 1,\end{align}\tag{2b}$ sind drei ganze Zahlen. Beachten Sie, dass die Nummer $n$ von bosonischen Dimensionen wird als von der Zahl verschieden angenommen $m$ von fermionischen Dimensionen. Im Detail ist der Isomorphismus der Lie-Gruppe (2a) gegeben durch $U (P, Q | M) ∋ G \mapsto$ $U(p,q|m)~\ni~ g\quad\mapsto\quad$ $(\sqrt[| N - M |]{S D e T G}, \frac{G}{\sqrt[| N - M |]{S D e T G}}) \sim (ω^{k} \sqrt[| N - M |]{S D e T G}, \frac{G}{ω^{k} \sqrt[| N - M |]{S D e T G}})$ $\left(\sqrt[|n-m|]{{\rm sdet} g}, ~\frac{g}{\sqrt[|n-m|]{{\rm sdet} g}}\right) ~\sim~ \left(\omega^k~\sqrt[|n-m|]{{\rm sdet} g}, ~\frac{g}{\omega^k~\sqrt[|n-m|]{{\rm sdet} g}}\right)$ $\begin{matrix} (2c) & \in [U (1) \times S U (P, Q | M)] / Z_{| N - M |}, \end{matrix}$ $~\in ~[U(1)\times SU(p,q|m)]/\mathbb{Z}_{|n-m|},\tag{2c}$ Wo $\begin{matrix} (2d) & ω := \exp (\frac{2 π ich}{| N - M |}) \end{matrix}$ $\omega~:=~\exp\left(\frac{2\pi i}{|n\!-\!m|}\right)\tag{2d}$ ist ein $|n\!-\!m|$ 'te Wurzel der Einheit, und $k\in\mathbb{Z}$ .
Interessanterweise in dem Fall mit der gleichen Anzahl von bosonischen und fermionischen Dimensionen $n=m$ , das Zentrum
$\begin{matrix} (3a) & Z (S U (P, Q | M)) ≅ U (1) \end{matrix}$ $Z( SU(p,q|m))~\cong~U(1) \tag{3a}$ wird kontinuierlich! Dh die $U(1)$ -Zentrum von $U(p,q|m)$ ist eingezogen $SU(p,q|m)$ , und Formel (2a) gilt nicht mehr!

Hinweise für später: Definieren Sie außermittige(!) Diagonalelemente $D(\lambda):={\rm diag} (\underbrace{\lambda,~\ldots~, \lambda}_{n\text{ bosonic entries}}, \underbrace{\lambda^{-1},~\ldots~, \lambda^{-1}}_{m\text{ fermionic entries}} )$ ; Definiere das semidirekte Produkt durch $(\mu, g) \ltimes (\nu, h):= (\mu\nu, D(\nu)^{-1}gD(\nu) h)$ ;
Hinweise für später: $U (P, Q | M) ≅ [U (1) \times S U (P, Q | M)] / Z_{| P + Q - M |} Wenn N \equiv P + Q \neq M;$ $U(p,q|m)~\cong~[U(1)\times SU(p,q|m)]/\mathbb{Z}_{|p+q-m|}\quad\text{if}\quad n\equiv p+q\neq m;$ $U (P, Q | M) ≅ [U (1) ⋉ S U (P, Q | M)] / Z_{P + Q + M};$ $U(p,q|m)~\cong~[U(1)\ltimes SU(p,q|m)]/\mathbb{Z}_{p+q+m};$ $G L (N | M; F) ≅ [F^{\times} \times S L (N | M; F)] / Z_{| N - M |} Wenn N \neq M;$ $GL(n|m;\mathbb{F})~\cong~[\mathbb{F}^{\times} \times SL(n|m;\mathbb{F})]/\mathbb{Z}_{|n-m|}\quad\text{if}\quad n\neq m;$ $G L (N | M; F) ≅ [F^{\times} ⋉ S L (N | M; F)] / Z_{N + M};$ $GL(n|m;\mathbb{F})~\cong~[\mathbb{F}^{\times} \ltimes SL(n|m;\mathbb{F})]/\mathbb{Z}_{n+m};$
Hinweise für später: $U (P, Q | M) ∋ G \mapsto$ $U(p,q|m)~\ni~ g\quad\mapsto\quad$ $(\sqrt[N + M]{S D e T G}, D {(\sqrt[N + M]{S D e T G})}^{- 1} G) \sim (ω^{k} \sqrt[N + M]{S D e T G}, D {(ω^{k} \sqrt[N + M]{S D e T G})}^{- 1} G)$ $\left(\sqrt[n+m]{{\rm sdet} g}, ~D\left(\sqrt[n+m]{{\rm sdet} g}\right)^{-1}g\right) \quad\sim\quad\left(\omega^k~\sqrt[n+m]{{\rm sdet} g}, ~D\left(\omega^k~\sqrt[n+m]{{\rm sdet} g}\right)^{-1}g\right)$ $\in [U (1) ⋉ S U (P, Q | M)] / Z_{N + M};$ $~\in ~[U(1)\ltimes SU(p,q|m)]/\mathbb{Z}_{n+m};$

Ist SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)\times U(1) = U(2)?

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Eindeutigkeit des Ausdrucks eines Lie-Gruppenelements

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