Globale konforme Gruppe im euklidischen 2D-Raum

Question

Globale konforme Gruppe im euklidischen 2D-Raum

Physik
Topologie
Lügen-Algebra
Gruppentheorie
mathematisch-physik
konforme-Feld-Theorie

Oz

Das ist eine ziemlich naive Frage, aber ich habe mich nur gefragt.

Ich weiß, dass die lokale konforme Algebra des 2d euklidischen Raums die direkte Summe ist

L_{0} \oplus \bar{L_{0}},

$\begin{equation} \cal{L}_0\oplus\overline{\cal{L}_0}, \end{equation}$ Wo

L_{0}

$\cal{L}_0$ Und

\bar{L_{0}}

$\overline{\cal{L}_0}$ sind zwei unabhängige Witt-Algebren. Die jeweilige konforme Gruppe ist

Z \otimes \bar{Z}

$Z\otimes\bar Z$ , Wo

Z

$Z$ besteht aus allen holomorphen und

\bar{Z}

$\bar Z$ aller antiholomorphen Koordinatentransformationen.

Die globale konforme Algebra wird von den Generatoren erzeugt $\{L_{\pm 1}, L_0\}\cup\{\overline{L}_{\pm 1}, \overline{L}_0\}$ und ist somit die direkte Summe

sl (2, R) \oplus \bar{sl (2, R)} .

$\begin{equation} \text{sl}(2,\mathbb{R})\oplus\overline{\text{sl}(2,\mathbb{R})}. \end{equation}$ Ich habe gelesen, dass die globale konforme Gruppe die Gruppe ist

SL (2, C) / Z_{2}

$\text{SL}(2,\mathbb{C})/\mathbb{Z_2}$ , aber sollte es nicht die Gruppe sein

SL (2, R) / Z_{2} \times \bar{SL (2, R) / Z_{2}} ?

$\begin{equation} \text{SL}(2,\mathbb{R})/\mathbb{Z_2}\hspace{0.2cm}\times\hspace{0.2cm}\overline{\text{SL}(2,\mathbb{R})/\mathbb{Z_2}}\qquad ? \end{equation}$

Antworten (2)

Globale konforme Gruppe im euklidischen 2D-Raum

QMechaniker · Answer 1

Dies wird zB in Lit. erläutert. 1:

Die konformen Verdichtungen der $1\!+\!1D$ Minkowski (M) Flugzeug und die $2\!+\!0D$ Euklidische (E) Ebene sind $^1$
$\begin{matrix} (1 Mio.) & \bar{R^{1, 1}} ≅ S^{1} \times S^{1} \end{matrix}$ $\overline{\mathbb{R}^{1,1}}~\cong~\mathbb{S}^1\times \mathbb{S}^1 \tag{1M}$ Und $\begin{matrix} (1E) & \bar{R^{2, 0}} ≅ S^{2}, \end{matrix}$ $\overline{\mathbb{R}^{2,0}}~\cong~\mathbb{S}^2, \tag{1E}$ bzw.
Die (globalen) konformen Gruppen sind
$\begin{matrix} (2M) & C Ö N F (1, 1) ≅ Ö (2, 2; R) / {\pm 1_{4 \times 4}} \end{matrix}$ ${\rm Conf}(1,1)~\cong~O(2,2;\mathbb{R})/\{\pm {\bf 1}_{4\times 4}\}\tag{2M}$ Und $\begin{matrix} (2E) & C Ö N F (2, 0) ≅ Ö (3, 1; R) / {\pm 1_{4 \times 4}}, \end{matrix}$ ${\rm Conf}(2,0)~\cong~O(3,1;\mathbb{R})/\{\pm {\bf 1}_{4\times 4}\}, \tag{2E}$ mit 4 bzw. 2 verbundenen Komponenten.
Die entsprechenden verbundenen Komponenten sind mit der Identität verbunden
$\begin{matrix} (3M) & \begin{aligned} {C Ö N F}_{0} (1, 1) ≅ & S Ö^{+} (2, 2; R) / {\pm 1_{4 \times 4}} \\ ≅ & P S L (2, R) \times P S L (2, R) \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}{\rm Conf}_0(1,1)~\cong~&SO^+(2,2;\mathbb{R})/\{\pm {\bf 1}_{4\times 4}\}\cr ~\cong~& PSL(2,\mathbb{R})\times PSL(2,\mathbb{R}) \end{align}\tag{3M}$ Und $\begin{matrix} (3E) & \begin{aligned} {C Ö N F}_{0} (2, 0) ≅ & S Ö^{+} (3, 1; R) \\ ≅ & P S L (2, C), \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} {\rm Conf}_0(2,0)~\cong~&SO^+(3,1;\mathbb{R})\cr ~\cong~& PSL(2,\mathbb{C}), \end{align}\tag{3E}$ bzw. Hier $PSL(2,\mathbb{F})\equiv SL(2,\mathbb{F})/\{\pm {\bf 1}_{2\times 2}\}$ . Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

Verweise:

M. Schottenloher, Math Intro to CFT, Lecture Notes in Physics 759, 2008; Unterabschnitte 1.4.2-3, Abschnitte 2.3-5, 5.1-2.

--

$^1$ Genauer gesagt die konforme Verdichtung der $1\!+\!1D$ Minkowski-Flugzeug ist

\begin{matrix} (4M) & \begin{aligned} \bar{R^{1, 1}} \\ ≅ (S^{1} \times S^{1}) / Z_{2} \\ ≅ {(X^{0}, X^{1}) \in R^{2} ∣ (X^{0}, X^{1}) \sim (X^{0} + 2, X^{1}) \sim (X^{0}, X^{1} + 2) \sim (X^{0} + 1, X^{1} + 1)} \\ \overset{X^{\pm} = \frac{1}{2} (X^{0} \pm X^{1})}{≅} {(X^{+}, X^{-}) \in R^{2} ∣ (X^{+}, X^{-}) \sim (X^{+} + 1, X^{-}) \sim (X^{+}, X^{-} + 1)} \\ ≅ S^{1} \times S^{1}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}&\overline{\mathbb{R}^{1,1}}\cr &\cong(\mathbb{S}^1\times \mathbb{S}^1)/\mathbb{Z}_2 \cr &\cong\left\{(x^0,x^1)\in\mathbb{R}^2 \mid (x^0,x^1)\sim(x^0\!+\!2,x^1)\sim(x^0,x^1\!+\!2)\sim(x^0\!+\!1,x^1\!+\!1)\right\}\cr &\stackrel{x^{\pm}=\frac{1}{2}(x^0\pm x^1)}{\cong}\left\{(x^+,x^-)\in\mathbb{R}^2 \mid (x^+,x^-)\sim(x^+\!+\!1,x^-)\sim(x^+,x^-\!+\!1)\right\}\cr &\cong\mathbb{S}^1\times \mathbb{S}^1 ,\end{align}\tag{4M}$ mit Minkowski-Metrik

\begin{matrix} (5M) & \begin{aligned} G = & D X^{0} ⊙ D X^{0} - D X^{1} ⊙ D X^{1} \\ \overset{X^{\pm} = \frac{1}{2} (X^{0} \pm X^{1})}{=} & 4 D X^{+} ⊙ D X^{-} \end{aligned} . \end{matrix}

$\begin{align}\mathbb{g}~~~~~=~~~~~&\mathrm{d}x^0\odot\mathrm{d}x^0-\mathrm{d}x^1\odot\mathrm{d}x^1 \cr~\stackrel{x^{\pm}=\frac{1}{2}(x^0\pm x^1)}{=}&~4\mathrm{d}x^+\odot\mathrm{d}x^- \end{align}.\tag{5M}$

Sylvain Ribault · Answer 2

Die komplexe globale konforme Algebra wird tatsächlich generiert (over $\mathbb{C}$ ) von $L_0,L_{\pm 1},\bar L_0, \bar L_{\pm 1}$ . Aber die wirkliche globale konforme Algebra ist es $sl(2,\mathbb{C})$ , mit den Generatoren (over $\mathbb{R}$ )

L_{N} + {\bar{L}}_{N}, ich (L_{N} - {\bar{L}}_{N})

$L_n+\bar L_n \quad ,\quad i(L_n-\bar L_n)$ Zum Beispiel,

i (L_{0} - {\bar{L}}_{0})

$i(L_0-\bar L_0)$ erzeugt Drehungen

z \to e^{i θ} z

$z\to e^{i\theta} z$ , die auch wirken

\bar{z}

$\bar z$ als

z \to e^{- i θ} \bar{z}

$z\to e^{-i\theta}\bar z$ . Allgemeiner ist die globale konforme Gruppe

S L (2, C) / Z_{2}

$SL(2,\mathbb{C})/\mathbb{Z}_2$ , die als fungiert

z \to \frac{a z + b}{c z + d}

$z\to \frac{az+b}{cz+d}$ mit

a, b, c, d \in C

$a,b,c,d\in\mathbb{C}$ .

Globale konforme Gruppe im euklidischen 2D-Raum

Oz

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QMechaniker

Sylvain Ribault

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