Topologische/geometrische Begründung dafür, dass CFT2CFT2\text{CFT}_2 etwas Besonderes ist

Dies ist im Wesentlichen der Starrheitssatz von Liouville für konforme Abbildungen in$\color{red}{n\geq 3}$Maße. Interessanterweise ist die Ursache lokale Starrheit [eher als globale topologische Hindernisse]. Für einen Beweis siehe Lit. 1 & 2.

Kombiniert mit der Tatsache, dass jedes Mapping in$\color{red}{n=1}$Dimension automatisch konform ist, ist es vielleicht nicht ganz überraschend, dass der Grenzfall$\color{red}{n=2}$ist besonders. Tatsächlich gibt es unendlich viele (Dimensionen von) lokalen konformen Verformungen für$\color{red}{1\leq n\leq 2}$.

Der Hauptpunkt ist das folgende Lemma.

Lemma. In einer Koordinatenumgebung, in der die Metrik$g_{\mu\nu}$konstant ist, die Komponenten$\varepsilon^{\mu}$jedes konformen Killing-Vektorfeldes (CKVF) ist höchstens ein quadratisches Polynom in den Koordinaten$x^{\nu}$[dh es gibt nur endlich viele (Dimensionen von) lokalen konformen Deformationen] wenn$\color{red}{n\geq 3}$.

Beweis: Conformal Killing Equation (CKE):

$$\omega g_{\mu\nu}~=~\varepsilon_{\mu,\nu}+\varepsilon_{\nu,\mu} .\tag{1}$$

$$n \omega~\stackrel{(1)}{=}~ 2\varepsilon^{\mu}{}_{,\mu}.\tag{2}$$

$$(\color{red}{2-n})\partial_{\mu}\omega ~\stackrel{(1)+(2)}{=}~ 2\Box \varepsilon_{\mu}.\tag{3}$$

$$(\color{red}{2-n})\partial_{\mu}\partial_{\nu}\omega ~\stackrel{(3)}{=}~ 2\Box\partial_{\mu} \varepsilon_{\nu} .\tag{4}$$

$$(\color{red}{n-1})\Box \omega~\stackrel{(2)+(4)}{=}~0 \quad \stackrel{\color{red}{n\neq 1}}{\Rightarrow} \quad \Box \omega~=~0.\tag{5}$$

$$~(\color{red}{2-n})\partial_{\mu}\partial_{\nu}\omega~\stackrel{(1)+(4)}{=}~g_{\mu\nu} \Box \omega~\stackrel{(5)}{=}~0\quad \stackrel{\color{red}{n\neq 2}}{\Rightarrow} \quad \partial_{\mu}\partial_{\nu}\omega~=~0.\tag{6}$$

Gl. (6) zeigt das

$$\omega~=~a_{\mu}x^{\mu}+b\tag{7}$$

ist eine affine Funktion$^1$von$x^{\mu}$.

$$\varepsilon_{\mu,\nu\lambda}+\varepsilon_{\nu,\mu\lambda}~\stackrel{(1)}{=}~ g_{\mu\nu}\partial_{\lambda}\omega \tag{8}$$

$$2\varepsilon_{\lambda,\mu\nu}~\stackrel{(8)}{=}~g_{\lambda\mu}\partial_{\nu}\omega +g_{\lambda\nu}\partial_{\mu}\omega -g_{\mu\nu}\partial_{\lambda}\omega ~\stackrel{(7)}{=}~\text{constant}.\tag{9}$$ $\Box$

Verweise:

1. P. Ginsparg, Applied Conformal Field Theory, arXiv:hep-th/9108028 ; S.5.

2. J. Slovak, Natürlicher Operator auf konformen Mannigfaltigkeiten, Habilitationsschrift 1993; S.46. Eine PS-Datei ist hier von der Homepage des Autors verfügbar. (Huttipp: Vit Tucek .)

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$^1$Die Parameter$a_{\mu}$Und$b$in Gl. (7) entsprechen$n$spezielle konforme Transformationen und$1$Dilatation bzw.

$$\varepsilon_{\mu}~=~\frac{\omega}{2}x_{\mu}-\frac{x^2}{4}\partial_{\mu}\omega \quad \stackrel{(7)}{\Rightarrow} \quad \varepsilon_{\mu,\nu}~=~\frac{\omega}{2}g_{\mu\nu}+\frac{x_{\mu}}{2}\partial_{\nu}\omega-\frac{x_{\nu}}{2}\partial_{\mu}\omega .\tag{10}$$

Gl. (10) erfüllt die CKE (1), die eine inhomogene lineare PDE 1. Ordnung in ist$\varepsilon_{\mu}$. Welche anderen Lösungen gibt es? Nach Subtrahieren der Lösung (10) von der CKE (1) erhalten wir die entsprechende homogene lineare PDE 1. Ordnung, die die Killing-Gleichung (KE) ist.

$$\varepsilon_{\mu,\nu}+\varepsilon_{\nu,\mu}~=~0\tag{11}$$

mit

$$\omega~=~0.\tag{12}$$

Gl. (9) & (12) zeigen das nun

$$\varepsilon_{\mu}~\stackrel{(9)+(12)}{=}~a_{\mu\nu}x^{\nu}+b_{\mu}\tag{13}$$

sind affine Funktionen. Im Vergleich mit KE (11) sehen wir das

$$a_{\mu\nu}~\stackrel{(11)+(13)}{=}~-a_{\nu\mu} \tag{14}$$

ist antisymmetrisch. Der Lösung (13) entsprechen$n(n-1)/2$Drehungen u$n$Übersetzungen. Insgesamt erzeugen wir nichts als die$(n+1)(n+2)/2$dimensionale (globale) konforme Algebra. Die Hauptaussage ist, dass lokale konforme Verformungen starr sind$\color{red}{n\geq 3}$. Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.