Gute Frage. Ich werde versuchen, es aus ein paar Perspektiven zu beantworten, beginnend mit der einfachsten (aber handgewellten) und zu den komplizierteren (aber strengen).

Ein einfacher analoger Raum

Sie wissen wahrscheinlich bereits, dass Sie die Kugel kartieren können$S^2$mit Kugelkoordinaten $(\theta, \phi)$– im Grunde Breiten- und Längengrad. Aber das sind schlechte Koordinaten der Kugel; Sie erhalten Singularitäten am Nord- und Südpol. Nun, es stellt sich heraus$\theta$Und$\phi$sind eigentlich gute Koordinaten für einen Zylinder:$\theta \in [0, \pi]$ist nur die Höhe im Zylinder, und$\phi \in [0, 2\pi)$ist der Winkel um den Zylinder. Aber dann müssen Sie diesen Zylinder auf die Kugel abbilden. Und dazu müssen Sie im Grunde die Ober- und Unterseite des Zylinders auf Punkte (den Nord- und Südpol) drücken.

Wenn wir jetzt einen Schritt zurücktreten, können wir sehen, dass dies Ihrer Situation ähnlich ist. Stellen Sie sich vor, wir fragen uns, warum$S^1 \times S^1$ist nicht dasselbe wie$S^2$. Nun, Sie können eine Karte erstellen$S^1 \times S^1$auf zu$S^2$folgendermaßen.$S^1 \times S^1$ist ein Torus. Drücken Sie die Wände des Torus aufeinander, bis Sie einen Zylinder haben. Drücken Sie dann die Ober- und Unterseite des Zylinders nach unten zu Punkten.

Aber Sie sollten das Gefühl haben, hier etwas Unumkehrbares getan zu haben. All diese Quetsch- und Kneifvorgänge verändern tatsächlich die Struktur des Raums, mit dem Sie es zu tun haben.

(Wie Selene in den Kommentaren betont, ist das, was wir hier getan haben, als Aufhängung in der Topologie bekannt, wobei dies eine der klassischen Möglichkeiten ist, einen neuen topologischen Raum aus einem einfacheren zu bilden. Und diese Idee des Zusammendrückens/Kneifens/ Squashing ist als Quotientenbildung bekannt . )

Intuitive Argumentation

Ihre Intuition, dass es "Einschränkungen" gibt$SO(3)$ist richtig. Genauer gesagt, Sie können tatsächlich erreichen$SO(3)$aus$S^1 \times S^1 \times S^1$, aber nur durch "Identifizieren" von Punktmengen in letzterem. Mit "identifizieren" meinen wir, zwei Punkte zum selben Punkt zu machen.

Der erste Schritt besteht darin, einen Ihrer Kreise einzunehmen$S^1$und identifizieren Sie einander gegenüberliegende Punkte, um Ihnen nur ein Intervall zu geben $I$. Ich erkläre diesen Willen vielleicht nicht, aber es ist eine einfache Operation, die Sie sich leicht vorstellen können. Nehmen Sie einfach einen Kreis in der Ebene und schrumpfen Sie dann seine Seiten nach unten, so dass die$x$Koordinate geht auf Null (staucht ihre Seiten ein).

Jetzt haben Sie im Grunde den Raum der Euler-Winkel . Diese Quetschoperation macht die mittlere$\beta$reicht nur ein$[0, \pi]$, im Gegensatz zu den anderen beiden Winkeln, die wirklich Kreise mit Koordinaten sind$[0, 2\pi)$. Aber wir wissen, dass Euler-Winkel schlechte Koordinaten für sind$SO(3)$. Insbesondere haben wir Gimbal Lock . Um also zum eigentlichen Raum zu gelangen$SO(3)$, müssen Sie sich die Koordinatensingularitäten ansehen, die an den Enden Ihres Intervalls liegen$I$. Jedes Ende sieht aus wie$S^1 \times S^1$. Aber sie sind wirklich gerecht$S^1$, also müssen Sie diese auch zusammenklappen.

Auch hier sind alle diese Identifikationen irreversibel, also verändert ihr wirklich die Topologie eures Raums. Grundsätzlich kann man abbilden$(S^1)^3$auf zu$SO(3)$, aber nicht in einer netten Eins-zu-Eins-Weise; Sie haben den Raum wirklich verändert.

Rein mathematische Perspektive

Aus formaler Sicht können Sie ziemlich einfach beweisen, dass es sich um unterschiedliche Räume handelt, indem Sie entweder ihre Gruppeneigenschaften (wie von ACuriousMind hervorgehoben) oder ihre topologischen Eigenschaften betrachten.

Gruppentheorie

Das direkte Produkt von Gruppen wird ziemlich einfach definiert, ähnlich wie das kartesische Produkt der beiden Mengen, aber dann definieren Sie das Gruppenprodukt als die ursprünglichen Gruppenprodukte, die für sich allein wirken. Da die Kreisgruppe$U(1)$(was du eigentlich gemeint hast$S^1$) ist kommutativ, die Gruppe$U(1) \times U(1)$ist auch kommutativ, also das Ganze$U(1) \times U(1) \times U(1)$ist kommutativ. Aber das kennst du wahrscheinlich auch$SO(3)$ist nicht kommutativ.

Topologie

Sie können auch sehen, dass diese Punkte unterschiedlich sind, wenn Sie sich ihre grundlegenden Gruppen ansehen . Wir haben$\pi_1(S^1) \approx \mathbb{Z}$, und aus der Produkteigenschaft fundamentaler Gruppen, dies bedeutet$\pi_1(S^1 \times S^1 \times S^1) \approx \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \approx \mathbb{Z}^3$. Auch da der reale projektive Raum $\mathbf{RP}^3$ist topologisch dasselbe wie$SO(3)$, wir haben $\pi_1(SO(3)) \approx \pi_1(\mathbf{RP}^3) \approx \mathbb{Z}_2$, das ist die zyklische Gruppe mit nur zwei Elementen. Da die Fundamentalgruppe eine topologische Invariante ist, beweist dies, dass die beiden Räume topologisch verschieden sind.

Jede Kreisgruppe$S_1$ist eine Eindrehung$\mathbb R^2$. Da Drehungen in der xy-, xz- und yz-Ebene SO(3) erzeugen, könnte man denken, dass wenn man eine einzelne Kopie für jede dieser Ebenendrehungen erhält, dies zu SO(3) führt. In SO(3) ist jedoch die Reihenfolge derjenigen wichtig, die Rotationen erzeugen, während in$S_1^3$Sie definieren nicht die genaue Reihenfolge der Rotation.

Sie sagen einfach: "In xy, xz und yz drehen"

während Sie in SO (3) zum Beispiel sagen: "In xy drehen, dann in der neuen xz-Ebene, dann in der neuen yz-Ebene"

Eine Änderung der Reihenfolge ändert das Ergebnis.

Eine Gruppe, die von einigen ihrer Untergruppen erzeugt wird, selbst wenn sie triviale Schnittpunkte hat (was in Ihrem Beispiel nicht der Fall ist), lässt keine sehr allgemeinen Rückschlüsse auf ihre Produktstruktur zu, wenn Sie ihre Vertauschungsbeziehungen nicht berücksichtigen.

Das einfachste Beispiel ist die Gruppe der Symmetrien eines gleichseitigen Dreiecks: diese wird durch die Untergruppe erzeugt$S$von Reflexionen um eine feste Symmetrieachse und die Untergruppe$R$von Umdrehungen. Es ist jedoch nicht isomorph zu$S\times R$, das Produkt zweier zyklischer Gruppen, wie Sie leicht überprüfen können, da eine nichttriviale Spiegelung und eine nichttriviale Rotation nicht pendeln.

Es ist ein Theorem, dass eine Gruppe, die durch Pendeln von Untergruppen mit trivialer Schnittmenge erzeugt wird, ein direktes Produkt ist. Wenn die Untergruppen nicht pendeln, kann dies bis zu einem gewissen Grad auf halbdirekte Produkte verallgemeinert werden.