Was genau meinen wir in der Physik mit einem „topologischen Objekt“?

Ich denke, die breiteste Definition eines topologischen Objekts wäre jedes Objekt, dessen relevante Eigenschaften nicht von irgendeiner Metrik abhängen. Stattdessen kann es von topologischen Eigenschaften wie Dimensionalität, Grenzen, Kompaktheit, Verbundenheit (verbundene oder disjunkte Komponenten), Verbundenheit (einfach verbunden vs. mehrfach verbunden), Orientierbarkeit (z. B. Möbiusband vs. Kugel) und so weiter abhängen. Das ist eine ziemlich abstrakte Definition und würde je nach Kontext definitiv unterschiedliche Interpretationen implizieren. Der Begriff topologisches Objekt kann sich entweder auf einen mathematischen Begriff beziehen, der auf einer fundamentalen Ebene in die Theorie eingeht (z. B. der topologische Theta-Term), oder auf ein physikalisches Objekt, das der "Ausgang" einer Theorie ist.

Im Kontext der Feldtheorie (an der Sie meiner Meinung nach interessiert sind) sind topologische Objekte endliche (Energiedichte-) Lösungen für nichtlineare (klassische) Feldgleichungen, deren Stabilität durch eine konservierte topologische Ladung oder Invariante garantiert wird. Sie sind erweiterte Lösungen, in dem Sinne, dass sie in einem endlichen Raumgebiet lokalisiert sind und sich ansonsten wie Teilchen verhalten.

In diesem Sinne sind topologische Objekte keine bloße mathematische Konstruktion. Sie treten natürlich in einigen Theorien auf, zum Beispiel nichtlineare und vakuumentartete Theorien, und spielen eine wichtige Rolle in Bereichen wie Feldtheorie, Physik der kondensierten Materie und Astrophysik/Kosmologie.

Der Unterschied zwischen einer topologischen Lösung (Objekt) und einer nicht-topologischen Lösung betrifft den Mechanismus, der jeder Lösung Stabilität verleiht. Beispielsweise gibt es Lösungen für nichtlineare Feldgleichungen (wie die KdV-Gleichung), die ebenfalls stabile erweiterte Lösungen sind, jedoch nicht-topologisch. Ihre Stabilität ergibt sich aus dem Noether-Theorem und hängt nicht mit einer topologischen Eigenschaft des Feldes zusammen.

Jetzt kommen wir zu dem Punkt, an dem wir die Beziehung zwischen topologischen Invarianten und Körpern verstehen sollten. Mit anderen Worten, wie kann die Topologie der Felder (kontinuierliche Deformationen) auf ihre Stabilität schließen?

Um die Antwort auf die obige Frage zu verstehen, betrachten Sie die einfachste topologische Lösung in der relativistischen Feldtheorie, einen Knick in der$\phi^4$Theorie ein$1+1$Freizeit. Die folgende Abbildung zeigt das Potenzial$V(\varphi)$, die statische Feldkonfiguration$\varphi(x)$und die Energiedichte$\epsilon(x)$einer topologischen Lösung dieser Theorie

Wenn diese Lösung instabil wäre, würde sie ins Vakuum zerfallen, das heißt, die Feldkonfiguration würde sich kontinuierlich zu einer geraden Linie verformen (Topologie zeigt sich) oder oder oder$+v$oder an$-v$. Aber da bewegt sich jedes unendlich kleine Stück des Feldes ab$-v$Zu$+v$man muss durch eine endliche Energiebarriere gehen (die Schwelle im Potenzial) und die Energiekosten dafür für die gesamte Feldkonfiguration sind unendlich. Keine nicht-singuläre Transformation kann diese topologische Lösung ins Vakuum verformen, sodass sie stabil ist.

Wie können wir physikalische Argumente in sogenannte topologische Invarianten übersetzen? Topologische Lösungen in der Feldtheorie werden normalerweise nach den Homotopieklassen der Vakuummannigfaltigkeit klassifiziert (der Satz von Felderwartungswerten, die das skalare Potential verschwinden lassen). Bei Knicken interessiert man sich$π_0(\mathcal M)$, die Menge der Pfadkomponenten von$\mathcal M$. Dieses Objekt sagt einfach, ob der Vakuumverteiler angeschlossen ist oder nicht, oder mit anderen Worten, ob das Vakuum aus disjunkten Teilen besteht. Beachten Sie bei unserem Beispiel, dass genau dies für die Stabilität der Lösung relevant sein wird. Der Vakuumverteiler hat zwei disjunkte Teile,$\pm v$, und die Tatsache, dass das Skalarfeld diese beiden Punkte asymptotisch interpoliert, verhindert, dass es in die triviale Lösung zerfällt.

Andere topologische Lösungen haben eine ähnliche Beschreibung. Bei Wirbeln (Flussröhren oder kosmischen Fäden) interessiert uns die Fundamentalgruppe$\pi_1(\mathcal M)$was klassifiziert$\mathcal M$dementsprechend, wie geschlossene Pfade kontinuierlich auf einen Punkt zusammengeschrumpft werden können oder nicht. Für Monopole (oder Igel) ist das relevante topologische Merkmal, wie geschlossene Flächen auf einen Punkt geschrumpft werden können, sodass die Homotopiegruppe, die diese Lösungen charakterisiert, die zweite Homotopiegruppe ist$\pi_2(\mathcal M)$. Die Tatsache, dass es für jede Art von Lösung eine entsprechende Homotopiegruppe gibt, die sie klassifiziert, hängt mit der Raumzeitdimension zusammen und wie das Skalarfeld (Higgs) eine Karte zwischen der räumlichen Unendlichkeit und dem Vakuumverteiler liefert.

In anderen Bereichen kann es einige Unterschiede geben, wenn auf ein "topologisches Objekt" Bezug genommen wird. Zum Beispiel höre ich Leute mit kondensierter Materie diesen Begriff sagen, wenn sie sich auf ein Material selbst beziehen, wie zum Beispiel einen topologischen Isolator. Die Topologie tritt aber auch hier in ähnlicher Weise wie oben beschrieben ein. Man untersucht, wie bestimmte Karten (von der ersten Brillouin-Zone bis zu einigen Energieverteilern) kontinuierlich deformiert werden.

Ein topologischer Defekt ist eine Lösung Ihrer Bewegungsgleichung (dh ein Eigenzustand Ihres Hamiltonschen Beispiels), die unter der Störungstheorie stabil ist. Die genaue Definition erfordert jedoch eine bestimmte Bedingung, und soweit ich weiß, gibt es keine globale mathematische Definition (siehe die Übersicht von Mermin 1979, der versucht, einige zu geben). Beispielsweise ist eine Domänenwand eine Konfiguration des Elektronenspins, die bei Anlegen eines kleinen Magnetfelds stabil ist, oder eine kleine Verformung des Gitters, wenn Sie Ihre Elektronen auf ein Gitter legen. Die Schwierigkeit besteht normalerweise darin, zu definieren, was klein bedeutet.

Beachten Sie auch, dass ein topologisches Objekt (wie es in Quantenfeldtheorien definiert ist) normalerweise ein klassisches Objekt ist. Ich mag die Präsentation von Rubakov in der klassischen Theorie des Eichfelds, die deutlich zeigt, was ein Nullenergiemodus in Bezug auf Störungen ist. Was ihre tiefe physikalische Bedeutung betrifft, nun, sie sind die Lösung Ihrer Bewegungsgleichung (sagen Sie die Schrödinger-Gleichung, wenn Sie möchten), also sind sie in dieser Hinsicht übliche Modi, aber sie leben zwischen verschiedenen Vakuums, dh sie verbinden die verschiedenen Entarteten vacua (auch Grundzustand genannt). Deshalb benötigen sie eine Grundzustandsentartung

Ein einfaches Beispiel (zumindest für mich, der sich mit Supraleitung beschäftigt) ist das Ginzburg-Landau-Modell. Im ungeladenen Zustand zeigt es die Phasenverschiebungs-Solitonen als Beispiel für ein topologisches Objekt (siehe auch Coleman-Buch Aspekt der Symmetrie für eine schöne Einführung + zum Thema), siehe zB eine Antwort von mir: physical.stackexchange.com/a/112206 /16689 . Wenn das Kondensat geladen ist (dh Sie haben eine kovariante Ableitung), gibt es auch Wirbellösungen, die stabil sind (siehe das oben zitierte Buch von Rubakov).

Die allgemeine Bedeutung ist: ein Objekt, das von globalen Eigenschaften des Systems abhängt und nicht von der Metrik oder anderen lokalen Eigenschaften. Daher werden diese Objekte über topologische Konzepte wie Homotopiegruppe, Fundamentalgruppe usw. beschrieben.