Topologie der Raumzeit in der 2+1-Dimension

Tolle Frage. Ich denke, das sind die Art von Topologien, mit denen sich Physiker gerne befassen, sicherlich nicht wahr, dass dies alle Räume sind, die aufgeschrieben werden können.

Wenn Sie beispielsweise globale Hyperbolizität fordern, erhalten Sie so etwas wie das, was Sie beschreiben.

Lassen Sie im Allgemeinen$X$eine glatte Mannigfaltigkeit sein, und$\{U_i\}_{i \in I}$ein Atlas sein, lassen Sie$\mathcal T$sei die Garbe von symmetrischen positiven Rang-2-Tensoren über$X$. Wenn Sie bieten können

• Anfangsbedingungen für Einstein-Gleichungen auf einem Teilraum von$U_i$, Und
• Abschnitte$g_i \in \mathcal T(U_i)$die die Einstein-Gleichungen mit diesen Anfangsbedingungen so lösen, dass
• $g_i$glatt an einen Abschnitt kleben$g \in \mathcal T(X)$

Dann steht es Ihnen frei, das Paar anzurufen$(X, g)$eine Raumzeit.

Bedeutet dies, dass alle Raumzeit-Mannigfaltigkeiten (flach), die wir in der 2+1-Dimension zulassen könnten, notwendigerweise von dieser Topologie sind (es scheint eine große Einschränkung zu sein)?

Carlip spricht von kompakten Krümmern. Lässt man das Kompaktheitsgebot weg, so ist seine Aussage nicht mehr wahr, ja nicht einmal sinnvoll, weil sie sich auf eine Grenze bezieht.

Als konkretes Beispiel ist es möglich, dass eine flache Raumzeit in 2+1-Dimensionen die Topologie eines euklidischen Dreiraums hat. Es wäre einfach nicht kompakt.

Um zu verstehen, wovon Carlip spricht, betrachten Sie das Beispiel von GR in 2+1-Dimensionen auf einer 3-Kugel, die kompakt ist. Auf der Kugel können Sie keine Zeitorientierung definieren.

Ist es auch notwendig, dass die Grenze einer Raumzeit (für diejenigen, die eine haben würden) raumartig ist?

Ja, ich denke, es gibt Gegenbeispiele, wenn die Grenze zeitlich ist. Betrachten Sie beispielsweise einen soliden Donut mit der Topologie$B^2\times S^1$, Wo$B^2$ist eine geschlossene Scheibe. Lassen Sie die Zeitorientierung um den Krapfen herum zeigen, dh das Krapfenloch umkreisen. Die Grenze ist zeitartig, und die Topologie hat nicht die Form$[0,1]\times\Sigma$.