Wie erkennt man, dass FFF FFF dual ein Oberflächenbegriff ist?

Um die Beweise von Nakahara und Nogeira zu ergänzen, war der rätselhafteste Teil, als ich diese Berechnung durchführte, der Ursprung von$\frac{2}{3}$vor$A\wedge A\wedge A$, aber es ist leicht herauszufinden:

$$\begin{align*} Tr[F\wedge F] =&\ Tr\left[dA\wedge dA+dA\wedge A\wedge A +A\wedge A\wedge dA+A\wedge A\wedge A\wedge A\right] \\[0.5em] =&\ Tr\left[dA\wedge dA+2dA\wedge A\wedge A\right] \\ =&\ Tr\left[dA\wedge dA+\frac23(dA\wedge A\wedge A -A\wedge dA\wedge A+A\wedge A\wedge dA)\right] \\ =&\ Tr\left[d(A\wedge dA)+\frac23d(A\wedge A\wedge A)\right] \\ =&\ d\ Tr\left[A\wedge dA+\frac23A\wedge A\wedge A\right] \end{align*}$$

wo der springende Punkt ist, dass$Tr[dA\wedge A\wedge A]=-Tr[A\wedge dA\wedge A]=Tr[A\wedge A\wedge dA]$, wie leicht anhand der Zyklizität der Spur und der Antisymmetrie des Keilprodukts überprüft werden kann (erinnern Sie sich daran$A$matrixbewertet sind, nicht$\mathbb{R}$-bewertete 1-Formen).

Dies zeigt, dass die Pontryagin-Dichte$Tr[F\wedge F]$exakt ist und dass seine erzeugende Form ein Chern-Simons-Term ist.

In Bezug auf die Komponenten$A=A_\mu dx^{\mu}$, wir haben

$$\\\ \frac{\theta}{2\pi}\mathrm{tr}\left[F\wedge F\right]=\frac{2\theta}{\pi}\mathrm{tr}\left[\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}(\partial_{\mu} A_{\nu}+A_{\mu}A_{\nu})(\partial_{\rho} A_{\sigma}+A_{\rho}A_{\sigma})\right] \\\\ $$ Und dann $$\frac{\theta}{2\pi}\mathrm{tr}\left[F\wedge F\right]=\frac{2\theta}{\pi}\mathrm{tr}\left[\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_{\mu}(A_\nu\partial_\rho A_\sigma+\frac{2}{3}A_{\nu}A_\rho A_\sigma)\right]+\frac{2\theta}{\pi}\mathrm{tr}\left[A_{\mu}A_{\nu}A_\rho A_\sigma\right]\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$$

durch zyklische Permutationen auf$\nu$,$\rho$,$\sigma$und die Tatsache, dass$\partial_\mu \partial_\nu$ist symmetrisch. Jetzt verschwindet der letzte Term, da eine zyklische Permutation einer geraden Anzahl von Elementen immer ungerade ist (in diesem Fall vier Elemente).