Wie funktioniert dieses Gaußsche Integral über das Hilfsfeld in der 2D-topologischen Eichtheorie?

Hinweise:

1. Raumzeit ist 2D. Lassen$\nu:=\star 1$eine Top-/Volumen-/Flächenform sein, die eine geschlossene, aber nicht exakte 2-Form ist. (Es sollte mit der Maßnahme identifiziert werden$d\mu$in der Zeitung.)

2. Dann gibt es eine Lie-Algebra-wertige Skalarfunktion$f$, so dass$F=f \nu$.

3. Die Lagrange-2-Form wird (bis auf konstante Faktoren)

   $$\mathbb{L}~=~{\rm Tr}(F\star F)~=~\nu{\rm Tr}( f^2). \tag{A}$$

4. Zeigen Sie, dass das Lie-Algebra-wertige Skalarfeld herausintegriert wird$\phi$/ vervollständige das Quadrat auf der rechten Seite. von Gl. (2.2) ergibt die gleiche Lagrange-2-Form (A).

Die Volumenform auf der Riemannschen Fläche$\Sigma_g$bezeichnet ist$\mathrm{d}\mu$. Bis zu$C^\infty$-Normalisierung, es ist die einzigartige 2-Form auf der Oberfläche. Da es einzigartig ist, dürfen wir schreiben$F = f \mathrm{d}\mu$für einige$\mathfrak{g}$-bewertete Funktion$f$.

Das formale Pfadintegral ist vorbei$\phi$ist in der Tat einfach ein Gaußsches Integral: Wir können die Wirkung der BF-Theorie auf die rechte Seite schreiben als

$$S_\text{BF}[A,\phi] = \int \mathrm{Tr}(\mathrm{i}\phi f + \phi^2)\mathrm{d}\mu = \int \left(\mathrm{Tr}\left(\left(\phi + \frac{\mathrm{i}}{2}f\right)^2\right) + \mathrm{Tr}\left(\frac{1}{4}f^2\right)\right)\mathrm{d}\mu$$ indem Sie das Quadrat vervollständigen. Nun, durch die formale Analogie zwischen dem Pfadintegral und gewöhnlichen Integralen, $\int \mathrm{e}^{-S_\text{BF}[A,\phi]}\mathcal{D}\phi = c \int \mathrm{e}^{-\frac{1}{4}\int\mathrm{Tr}(f^2)\mathrm{d}\mu}\mathcal{D}\phi$, Wo $c = \int \mathrm{e}^{\int\mathrm{Tr}((\phi+\mathrm{i}f/2)^2)}\mathcal{D}\phi$ist der konstante Wert des Gaußschen Integrals, der unabhängig von ist $f$.