Was ist "Lokalisierung" von Instantonen?

Sehr geehrte inovaovao, im Allgemeinen ist Lokalisierung die Tatsache, dass bestimmte Integrale über einige Variablen$\mu$kann als gleich niederdimensionale Integrale oder sogar die Summe über Beiträge aus einer diskreten – zB endlichen – Punktmenge nachgewiesen werden$\mu$-Platz.

Ein einfaches konzeptionelles Beispiel, das keine fortschrittliche Seiberg-Witten-ähnliche Maschinerie erfordert – aber das ist das „Master-Setup“ für alles, was im Folgenden erklärt wird – ist der klassische Grenzwert eines Pfadintegrals: das ansonsten unendlich dimensionale Pfadintegral de facto lokalisiert auf den klassischen Trajektorien. Obwohl das Pfadintegral über Geschichten integriert, die keine klassischen Lösungen sind, lokalisiert das Integral auf Geschichten, die Lösungen sind. Lassen Sie mich betonen, dass wir hier nicht die Spielregeln von Feynmans Herangehensweise an die Quantenmechanik ändern: Wir zeigen, dass die resultierenden Formeln vollständig äquivalent zu anderen sind, bei denen das Integral einfacher oder niederdimensionaler wird.

Einige der Punkte, an denen das Pfadintegral lokalisiert wird, sind nur lokale (und nicht globale) Extrema der Aktion – die Instantons.

Im Seiberg-Witten-Fall muss man Beiträge von Instantonen berechnen - topologisch nichttriviale Lösungen der klassischen Bewegungsgleichungen (stationäre Punkte der Aktion, die lokale Minima sind, aber nicht die globalen). Die Instanton-Lösungen selbst werden von vielen Parametern aufgespannt: z$k$- Instanton-Lösungen von$SU(N)$Eichtheorie ist die Anzahl der Parameter, wie sie über die ADHM-Konstruktion gesehen werden, wesentlich$4kn$. Es erinnert sich an die Einbettung der Instantons in$SU(N)$, ihre Größe und ihre Positionen.

Die Instanton-Beiträge sind also immer noch Integrale über die$4kN$-dimensionaler Modulraum der Instantonen. Das ist ein Fortschritt relativ zu dem unendlichdimensionalen Pfadintegral, mit dem wir hätten beginnen können. Aber die Vereinfachung kann weitergehen. Sogar dieses Integral über den Modulraum von Instantonen kann auf ein niederdimensionales Integral und oft eine Summe über einzelne Punkte des Instanton-Modulraums reduziert werden.

Die typischen beitragenden Instantons sind normalerweise "punktartig" und in gewissem Sinne singulär (in anderen Kontexten können die relevanten Orte, an denen sich die Integrale befinden, durch ungewöhnlich komplexe Werte einiger Parameter gekennzeichnet sein), und es muss eine spezielle Behandlung zur Regulierung vorgenommen werden diese potenziell schlecht definierten Ausdrücke, aber es kann getan werden. Es wurde in vielen Artikeln verfolgt, die von Nikita Nekrasov mitverfasst wurden, wie z

http://arxiv.org/abs/hep-th/9711108
http://arxiv.org/abs/hep-th/9801061
http://arxiv.org/abs/hep-th/9803265
http://arxiv .org/abs/hep-th/9712241
...
http://arxiv.org/abs/hep-th/0206161

und viele andere. Die erforderlichen Formeln, mit denen Sie beweisen können, dass die Integrale lokalisieren, sind mathematisch nicht trivial. Schließlich sind Nikita Nekrasov und seine Mitarbeiter ziemlich mächtige Mathematiker. Aber in gewissem Sinne sind diese Formeln immer Verallgemeinerungen der Tatsache, dass Integrale in der komplexen Ebene in Bezug auf die Residuen der Pole umgeschrieben werden können.