Zwei Ausdrücke für die topologische Instanton-Zahl

Es ist der Satz von Stokes. Betrachten Sie ein Feld$F = dA + A \wedge A$so dass$A$ist reines Messgerät im Unendlichen, das heißt,$\lim_{x\to\infty} A(x) = \omega\, d \omega^{-1}$für einige$\omega : S^3 \to SU(2) \sim S^3$Wo$\omega$ist eine Funktion auf der 3-Sphäre, da die Grenze von der Richtung nach unendlich abhängen kann.

In Differentialformen ist der erste Ausdruck$\newcommand{tr}{\operatorname{tr}}\tr A \wedge A \wedge A.$Da im Unendlichen,$F = dA + A \wedge A$verschwindet, können wir hinzufügen$0$in Form von$-3\tr F \wedge A$zu diesem Ausdruck. ¹

Wir haben

$$d \tr (F\wedge A) = d \tr (dA \wedge A + A \wedge A \wedge A) = \tr dA \wedge dA + 3\tr dA \wedge A \wedge A.$$ Wenden Sie nun den Satz von Stokes an, in dem wir die Unendlichkeit als eine 3-Sphären-begrenzende Raumzeit betrachten. Der letzte Teil folgt aus der zyklischen Eigenschaft der Spur. So erhalten wir $$\int_{S^3} \tr A \wedge A \wedge A = \int_{S^3} \tr A\wedge A \wedge A - 3 F\wedge A = \int_M \tr \big[3 dA\wedge A \wedge A - 3 dA \wedge dA - 9 dA\wedge A\wedge A\big].$$ Bis auf den Begriff $A^{\wedge 4} = A\wedge A \wedge A \wedge A$, nehmen wir die Spur von $-3 F\wedge F$. Aber $A^{\wedge 4}$ist spurlos (verwenden Sie die zyklische Eigenschaft der Spur). Somit $$\int_{S^3} A\wedge A \wedge A = -3 \int_M F\wedge F.$$

Jetzt$F\wedge F = 2 F^{\mu\nu} F^*_{\mu\nu}$weil das$F^*_{\mu\nu}$Tensor wird normalerweise mit a definiert$\frac{1}{2}$Faktor, also stellt dies den Relativen her$-\frac{3}{2}$in den beiden Ausdrücken für$Q$.

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¹ Dies scheint aus dem Nichts gezogen zu sein, weil es so ist . Ich füge es hinzu, weil ich weiß, was ich bekommen möchte. Normalerweise geht man von Anfang an in die entgegengesetzte Richtung $F \wedge F = d(dA \wedge A + \frac{2}{3}A\wedge A \wedge A)$. Der Term, den wir hinzugefügt haben, ist der Teil davon, der im Unendlichen verschwindet. Das Wiedereinsetzen ist etwas weniger natürlich.