Geometrische Interpretation der BRST-Symmetrie

Die BRST-Quantisierung (und die BRST-Symmetrie im Allgemeinen) scheint zumindest in diesem Punkt meines Verständnisses ziemlich willkürlich und leicht wundersam zu sein. Allerdings ist die kohomologische Natur der BRST-Ladung Q und die Tatsache, dass eine BRST-Transformation die Form einer "erweiterten" Eichtransformation annimmt (die rein geometrischer Natur ist), scheint stark darauf hinzuweisen, dass es eine einfache geometrische Interpretation dieser Symmetrie gibt.

Ich bin also veranlasst, meine Frage zu stellen: Was passiert geometrisch bei einer BRST-Transformation? Welche geometrische Rolle spielen die Geisterfelder? Jeder Einblick wäre hilfreich.

[Anmerkung: Ich frage hauptsächlich im Kontext von Yang-Mills Eichtheorien, aber Antworten im Kontext der Stringtheorie sind willkommen.]

Fragen Sie nach der "geometrischen" Bedeutung im Hamilton- oder im Lagrange-Formalismus? In beiden Formalismen kann man viel über BRST sagen, je nachdem, was Sie bereits wissen, aber ich bin mir nicht sicher, nach welcher Art von Antwort Sie suchen, wenn Sie nach der "geometrischen" Bedeutung fragen, also würde es helfen, die Geometrie zu klären an welchen Raum Sie hier denken.
Ich beziehe mich hauptsächlich auf den Lagrange-Formalismus. Der Raum, an den ich denke, ist eine Mannigfaltigkeit M ausgestattet mit einem Prinzipbündel der Messgerätegruppe G das mit Geisterfeldern und einem Nakanishi-Lautrup-Feld zur Messgerätefixierung erweitert wurde.
Ah, ich meinte nicht die Raumzeit-Mannigfaltigkeit M - wenn es eine "geometrische" Interpretation von BRST gibt, dann im Feldraum, der aus hamiltonscher Sicht der Phasenraum gewesen wäre, und im Lagrangeschen Formalismus wird eine geometrische Interpretation wahrscheinlich nur entstehen, wenn man "geometrisch" kann " verstehe die Anti-Klammer im BRST-Anti-Feld-Formalismus, was für mich nicht ersichtlich ist.
Ohne die Fadeev-Popov-Geister ist eine Eichsymmetrie immer noch ein sehr geometrisches Objekt, das ohne Bezugnahme auf den Feldraum geometrisch verstanden werden kann (nämlich eine Eichtransformation entspricht der Änderung des gewählten Abschnitts über dem Hauptbündel, was rein geometrischer Natur ist ). Es scheint durchaus möglich, dass die BRST-Transformationen eine ähnliche Interpretation haben könnten.
Nur ein zufälliger Gedanke - unendlich kleine Eichtransformationen in der klassischen Theorie werden unter Verwendung der unendlich kleinen Parameter als Koordinaten in der Lie-Algebra definiert. Vielleicht könnte die BRST-Symmetrie verstanden werden, indem man erkennt, dass die in der Transformation auftretenden Grassmann-Parameter geometrisch eine Art Bündelstruktur hervorrufen, die die Möglichkeit von Supermannigfaltigkeitsfasern zulässt.
@SpencerTamagni Daran habe ich auch gedacht. Ich habe mich gefragt, ob so etwas allgemein von Theoretikern bekannt ist (obwohl es überraschend schwer ist, in der Literatur danach zu suchen).
Ja, mir ist auch keine vorhandene Literatur zu diesem Thema bekannt. Ich bin mir nicht sicher, ob eine explizite Konstruktion eines solchen Superraums etwas so Nützliches ergeben würde, aber ich habe die Idee nicht sehr detailliert untersucht.

Antworten (2)

Kommentare zur Frage von OP (v1):

  1. Im Superfeld-Formalismus gibt es in der Literatur eine lange Tradition, Konstruktionen zu betrachten, die BRST- (& Anti-BRST-) Transformationen geometrisch als Übersetzungen von Grassmann-ungerade interpretieren θ und θ ¯ Koordinaten in verschiedenen physikalischen Systemen, siehe z. 3 und Verweise darin. Die frühesten Artikel scheinen Refs zu sein. 1 & 2. (Wir weisen darauf hin, dass die BRST-Supersymmetrie nicht mit der Poincare-Supersymmetrie verwechselt werden sollte .)

  2. Wenn wir nicht Grassmann-ungerade vorstellen dürfen θ und θ ¯ Koordinaten, dann scheint es, dass OPs Suche nach einer "geometrischen Interpretation" nur eine Frage der Bereitstellung expliziter, manifester koordinatenunabhängiger, differentiell-geometrischer Bündelkonstruktionen für die BRST-Formulierung verschiedener Eichtheorien wird. Dies hängt von der Eichtheorie ab . B. Yang-Mills-Theorie , BF-Theorie , Stringtheorie , etc.

Verweise:

  1. S. Ferrara, O. Piquet & M. Schweda, Nucl. Phys. B119 (1977) 493 .

  2. K. Fujikawa, Prog.Chem. Theor. Phys. 59 (1978) 2045 .

  3. CM Rumpf. B. Spence. & JL Vázquez-Bello, Nucl. Phys. B348 (1991) 108 .

Konstruieren Sie ein Hauptbündel mit Basis M und Strukturgruppe G. Definieren Sie Projektionsabbildung und Trivialisierung des Bündels auf übliche Weise. Bezeichnen Sie dieses Bündel als P 1 . Konstruieren Sie ein weiteres triviales Faserbündel P 2 = P 1 × G mit basis P 1 und Strukturgruppe G mit Trivialisierung von P 2 bestehend aus P 1 und eine Identitätskarte von P 2 zu P 1 × G . Konstruieren P 3 wie P 2 × G wie im zweiten Schritt mit lokaler Verharmlosung bestehend aus P 2 und eine Identitätskarte von P 3 zu P 2 × G .

BRS-Transformationen werden mit eingeschalteter infinitesimaler Eichtransformation identifiziert P 3 mit Parametern, die sich auf Geisterfelder beziehen, wobei diese Geisterfelder mit einem Teil bestimmter Eins-Formen auf Basisraum identifiziert werden P 2 . Einzelheiten finden Sie unter Ref. 1 und 2.

Es gibt einen anderen Ansatz der Gruppenmannigfaltigkeit, bei dem Sie die Algebra abschätzen können G + Q um eine BRS-Transformation von Messgerätfeldern zu erhalten, wo G + Q hat die Struktur einer Gruppenmannigfaltigkeit. Kurz gesagt, die BRST-Transformation ist eine Art diffeomorphe Invarianz dieser Gruppenmannigfaltigkeit. Konsultieren Sie Ref. 3 für Einzelheiten.

1- Geometrische Struktur von Faddeev-Popov-Feldern und Invarianzeigenschaften von Eichtheorien: Quiros, Urries, Hoyos, Mazon und Rodriguez.

2- Geometrische Eichtheorie von Geister- und Goldstone-Feldern und von Geistersymmetrien: Ne'eman und Thierry-Miec.

3- Supergravitation und Superstrings (eine geometrische Perspektive): Castellani, Auria, Fre (3-bändiges Set mit dem ersten Band, das die notwendige Gruppen-Manifold-Maschinerie enthält).

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