Was sind Orbifolds und warum sind sie für die Physik nützlich und interessant?

Orbifolds sind Räume des Typs$O = M/G$wo$M$ist eine Mannigfaltigkeit und$G$ist eine unfrei agierende Gruppe$M$. Das heißt, es gibt Fixpunkte (oder allgemeiner Untermannigfaltigkeiten dieser Aktion); dh Punkte$x \in M$so dass$G.x = x$für alle$G$. Diese Fixpunkte werden Singularpunkte genannt, sie haben die Eigenschaft, dass geometrische Objekte (z. B. die Metrik) in ihnen divergieren.

Das einfachste Beispiel für ein Orbifold ist$S^1/\mathbb{Z}_2$, wo$\mathbb{Z}_2$ist eine Reflexionsgruppe in Bezug auf eine Achse. Kegel stellen ein weiteres Beispiel für Orbifolds dar, bei denen die Spitzen die singulären Punkte sind.

Diese Räume sind in der Physik sehr interessant, da Konfigurations- und Phasenräume von Eichsystemen nach Entfernung der Eichredundanz Orbifolds sind. Bitte beachten Sie die folgenden wegweisenden Arbeiten von: Emmrich und Römer.

Auch wenn die einzelnen Punkte einer Orbifold isoliert sind, wie im Fall von Zapfen. Die Quantenmechanik (im Gegensatz zur klassischen Mechanik) reagiert sehr empfindlich auf die Existenz dieser Fixpunkte und Wellenfunktionen neigen dazu, sich in der Nähe der singulären Punkte zu konzentrieren.

Lassen Sie mich auf Ihre Frage 2 konzentrieren: Es wurde vorgeschlagen, dass die Symmetrietransformationsbeschränkungen im Orbifolds - Ansatz sich als nützlich erwiesen haben, um verschiedene Klassen von symmetriegeschützten trivialen (SPT) Zuständen oder symmetriegeschützten topologischen (SPT) Zuständen zu klassifizieren oder zu unterscheiden . Daher können Orbifolds in der Physik der kondensierten Materie nützlich sein, um (triviale oder intrinsische) topologische Ordnungen zu untersuchen .

SPT-Zustände haben lückenhafte Massenphasen und lückenlose Grenzkantenzustände, die durch eine globale Symmetrie geschützt sind$G_s$. Man kann sich vorstellen, das umzusetzen$G_s$Symmetrie auf den lückenlosen Randzuständen, dh implementieren die$G_s$Symmetrie auf einer Art konformer Feldtheorie (CFT).

In diesem Artikel: Symmetry-protected topological phases and orbifolds: Generalized Laughlin's argument-1305.0700 gibt es einige intuitive Schritte in diese Richtung, die Orbifolds verwenden, um SPT-Zustände zu klassifizieren.

In diesem Artikel: Ein symmetriegeschützter Vielteilchen-Aharonov-Bohm-Effekt-1310.8291 , eine explizite diskrete Gitter-Hamiltonian-Konstruktion von SPT-Kantenzuständen (mit$\mathbb{Z}_N$Symmetrie, um genau zu sein) wird abgeleitet, um eine Brücke zu einer Kontinuums-CFT oder einer chiralen Bosonentheorie einer Chern-Simons-Massentheorie zu schlagen. Man kann somit numerische Techniken verwenden, um konforme Türme von Primärfeldern und ihren Abkömmlingen von CFT zu extrahieren. Es hat sich herausgestellt, dass die analytischen und numerischen Ergebnisse für eine (verdrillte/unverdrillte) Feldtheorieberechnung (verdrillte Fälle ist hier eine allgemeinere Form als eine übliche toroidale Verdichtung) der Skalierungsdimension übereinstimmen$\Delta$, sowohl für die Twisted/Untwisted-Theorie (hier bedeutet das mit/ohne Einfügen externer Eichfelder, also etwa eines magnetischen Flusses).

Das Wesentliche hier oben ist, dass das Auferlegen der (globalen) Symmetrie auf Vielteilchenzustände in gewissem Sinne mit dem Orbifolds-Geschäft zusammenhängt.