Warum sind die auf offenen Mengen definierten Quantenobservablen eine Prägarbe und keine Garbe?

In der lokalen Quantenfeldtheorie oder AQFT kann man über jede offene Menge mathematisch beschreiben$U$einer Raumzeit$M$die Quantenzustände oder Observablen der Theorie. Diese Struktur wird üblicherweise als Vorgarbe oder Kopregarbe bezeichnet.

Warum sind die Zustände (oder Observablen) über den offenen Mengen keine Garben -Struktur?

Diese Frage wird durch folgende Überlegungen motiviert:

Das Netz lokaler Observablen , das grob als Kopregarbe von (C-Stern-Algebren) auf Stücken der Raumzeit beschrieben werden kann, so dass Algebren,$A(U)$, die kausal getrennten Regionen zugeordnet sind, pendeln innerhalb der Algebra, die jeder gemeinsamen Nachbarschaft zugeordnet sind.

Bis zu diesem Punkt haben wir per Definition eine Kopregarbe.

Um eine Garbe zu haben, müssen wir die folgenden zwei Bedingungen überprüfen:

1. (Ort) Wenn ($U_{i}$) ist eine offene Überdeckung einer offenen Menge$U$, und wenn$s,t ∈ A(U)$sind solche$s|U_{i} = t|U_{i}$für jeden Satz$U_{i}$der Abdeckung, dann$s = t$

2. (Kleben) Wenn ($U_{i}$) ist eine offene Überdeckung einer offenen Menge$U$, und wenn für jeden$i$ein Abschnitt$s_{i} ∈ A(U_{i})$ist so gegeben, dass für jedes Paar$U_{i},U_{j}$der Abdeckung legt die Beschränkungen fest$s_{i}$und$s_{j}$vereinbaren Sie die Überschneidungen:$s_{i}|U_{i}∩U_{j} = s_{j}|U_{i}∩U_{j}$, dann gibt es einen Abschnitt$s ∈ A(U)$so dass$s|U_{i} = s_{i}$für jeden$i$.

Die Klebebedingung garantiert das Vorhandensein eines Abschnitts$s$was die Lokalitätsbedingung zeigt, dass es einzigartig ist.

Offensichtlich versagen im Allgemeinen eine dieser Bedingungen oder beide.

Mich würde ein physikalisches Bild interessieren, warum die Garbenbedingungen nicht erfüllt sind.

Für mich besagt die Lokalitätsbedingung intuitiv, dass, wenn die Observablen in jeder Region zusammenfallen, die eine offene Abdeckung bilden, die Observablen (und die qft) in der offenen Abdeckung gleich sind. Die Klebebedingung legt andererseits fest, dass man die Theorie konstruieren kann, indem man nur lokale Teile der Theorie klebt. Gibt es dann eine nicht-lokale Einschränkung, die uns vielleicht daran hindert, die Theorie nur aus lokalen Stücken zu konstruieren?

Sind diese Intuitionen richtig?