Werden Identitätstypen in einer Unendlich-Topos-Formulierung von Bewegungsgleichungen physikalisch interpretiert?

In Anlehnung an Urs Schreibers Aufsatz/Buch über die Grundlagen der Feldtheorie Differentielle Kohomologie in einem kohäsiven Unendlichkeits-Topos frage ich mich: Werden dort Identitätstypen "nur" für die Berechnungen verwendet oder werden sie selbst irgendwann interpretiert, um eine physikalische Größe darzustellen? Kann ich mir die "Wegräume" hier konkreter vorstellen? (edit: Referenzanfrage in den Kommentaren: Identitätstyp im nLab.)

Sie sind das, was nativ in der Logik implementiert ist, und ich frage mich, ob diese dann im geometrischen Rahmen mit einigen konkreteren intuitiven Begriffen verbunden werden. Und ich meine auf einer Ebene, die über die Tatsache hinausgeht, dass Homotopien wohl bereits visuell und daher physisch sind. Ich meine es ähnlich wie die Aussage, dass der Hamilton-Operator die Energiefunktion ist, gibt mehr Physikern Einblick, als nur zu sagen, dass es sich um eine Funktion im Phasenraum handelt, die Pfade erzeugt.

Anders gesagt: Was davon wird aus all den Logiken, die HoTT von vornherein bereitstellt, zu etwas Physischem/Etwas in der Welt?

@Trimok: Ich habe einen Link hinzugefügt. Es (der Typ, wie beim Programmieren) ist der Satz der Gleichheit zweier Dinge. Aus rechnerischer Sicht ist es die Sammlung von Rechtfertigungen für diesen Vorschlag. Bei HoTT ist es auch geometrisch – es ist ein Wegraum“ ICH → M ". Ich habe versucht, Identitätstypen als Unter-"Mengen" von Hom-Mengen in einer Frage auf dem Mathe-Board zu verstehen, und diese Antwort könnte hilfreich sein. Wenn Sie dies lesen, lassen Sie uns diese Liste von Kommentaren hier löschen.
Haben Sie keine Informationen im Kapitel 5 (Bewerbungen) (ab Seite 577 ) der arxiv - Arbeit von Urs Schreiber ?
@Trimok: Ich verliere die Identitäten um S. 200 aus den Augen, wenn er Typen einführt, aber die Verbindung zur kategorialeren Sprache betont. Physik scheint auf Seite 387 aufzutauchen. Was ich zu Beginn erwartet hätte, ist, dass Felder Begriffe eines Produkttyps sind und die Identitätstypen über diesen die Eichäquivalenzen sind . Auf Seite S. 397 hat er eine Tabelle mit Äquivalenzen zwischen physikalisch "vernünftigen" Dingen und Begriffen von (zusammenhängendem) HoTT, aber dort sehe ich nur Äquivalenzen (sie könnten nur Identites durch Univalenz oder so sein). Aber die Wahrheit ist, dass ich nicht einmal genau weiß, was ich denken soll, wenn ich einen sehe B .
Ist B im Zusammenhang mit dem Begriff der Klassifikationsräume , zum Beispiel Klassifikationsraum für U(n) ?
@Trimok: Ja, vermutlich. Aber es steckt noch mehr dahinter, da ich auch typaffine Leute gesehen habe, die das Kapital geworfen haben B herum, die sich herausstellte, nicht einmal zu wissen, was für ein tangentialer Raum T M Ist. Ich wüsste nicht einmal, wie ich es interpretieren sollte, wenn es von dieser Seite wäre. Ich denke, der geometrische Aspekt davon könnte nur über die Homotopie-Typentheorie überbrückt werden, aber wie oben gesagt, ich weiß nicht, wie viel von der Neuheit dieser Theorie tatsächlich in Schreibers Arbeit eintritt - auf den ersten Blick scheint der Text gut zu funktionieren topoi, ich bin mir nicht sicher, wie das neue Zeug es tatsächlich beeinflusst, und deshalb frage ich.
@Trimok: Die Verbindung mit Bündeln ist nicht überraschend, wie unter der Curry-Howard-Korrespondenz , für ein logisches Prädikat E (z.B E ( X ) := " X ist eben") hast du das den Satz ∀ ( X ∈ X ) . E ( X ) wird als abhängiger Typ geschrieben Π ( X : X ) . E ( X ) , wo jeder E ( X ) ist ein Typ. Und und ein Beweis S des Angebots bzw S : Π ( X : X ) . E ( X ) , weist jedem zu X 0 : X ein Beweis S ( X 0 ) von E ( X 0 ) . In der geometrischen Deutung S ist ein Abschnitt der Fibration, wo die E 's sind die Fasern vorbei X 'S.
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Obwohl ich es noch nicht weit genug in Urs' Artikel geschafft habe, um darauf zu antworten (und ich wahrscheinlich auch in den kommenden Monaten nicht viel Zeit haben werde, um weiter zu gehen), sollten Sie vielleicht zu dem Café-Beitrag der n-Kategorie von David Corfield übergehen Urs Papier und weisen Sie auf Ihre Frage hin. Es gibt wahrscheinlich ein paar Leute im Kommentarbereich dort, die Ihnen helfen können.

Antworten (1)

Hier eine verspätete Antwort. (Auf diese Frage stoße ich erst jetzt zufällig. Das wurde direkt nach der Geburt unserer Tochter gepostet, was mich etwas abgelenkt hat...)

Die schnelle Antwort auf die Frage ist die folgende etwas bemerkenswerte Aussage

Insbesondere wenn die Homotopie-Typentheorie mit dem zusätzlichen Axiom der differentiellen Kohäsion ausgestattet wird, dann kann man Identitätstypen „differenzieren“. Ihre infinitesimale Version sind die aus der Eichtheorie bekannten BRST-Komplexe . Oder besser gesagt: ein "Geist" in einem BRST-Komplex ist eine Tangente an einen Begriff in einem Identitätstyp, ein Geist-von-Geistern ist eine Tangente an einen Begriff in einem Identitätstyp-eines-Identitätstyps und so weiter .

Man könnte es so ausdrücken: Die Homotopie-Typentheorie ist eine neue Grundlage der Mathematik, in die das Eichprinzip eingebaut ist. Das Eichprinzip in dem Sinne, dass es falsch ist, jemals zu fragen, ob zwei Körperkonfigurationen gleich sind, wir müssen fragen, ob es eine Eichäquivalenz gibt, die sie verbindet. Und wenn es mehr als eine solche gibt, dann ist es falsch, zwei zu fragen, ob zwei Eichtransformationen gleich sind, stattdessen müssen wir fragen, ob es eine Eichtransformation zwischen ihnen gibt, und so weiter.

Wenn Sie also fragen, wie Identitätstypen „etwas in der Welt“ widerspiegeln, müssen Sie nur nach Fällen suchen, in denen Messtransformationen eine weltliche Inkarnation haben. Beispiele gibt es natürlich zuhauf. Betrachten Sie die Theorie der Instantonen und denken Sie daran, dass die Standard-QCD-Theorie besagt, dass das Vakuum, in dem wir leben, ein Instantonmeer mit etwa einem Instanton pro Femtometer ist. Dies bedeutet, dass die physische Realität, die wir bewohnen, wenn Sie alles entfernen und nur das einfache Vakuum betrachten, bereits dicht gefüllt ist mit, wenn Sie so wollen, physischer Inkarnation von Identitätstypen.

Im Allgemeinen geht es bei der Grundlage der Physik in der höheren Geometrie/höheren Topos-Theorie/Homotopie-Typ-Theorie darum: nicht nur Störungseffekte korrekt zu berücksichtigen, sondern die gesamte nicht-Störungsstruktur der Eichtheorie zu berücksichtigen die „großen“ Eichtransformationen, all die Quantenanomalien, all die globalen Effekte. Die geometrische Homotopietheorie (höhere Modulstapel) ist die mathematische Sprache dafür, und die erfreuliche Einsicht von Vladimir Voevodsky und anderen ist, dass dies wiederum eine tiefgreifende syntaktische/logische Formulierung in der Homotopietyptheorie hat.

Beachten Sie, dass niemand darum gebeten hat, dies ist ein Geschenk, das uns die Natur gegeben hat: Sie hätten vermutet, dass, wenn wir immer tiefer in die mathematische Struktur der modernen lokalen Eich-Quantenfeldtheorie eintauchen, diese dann immer komplizierter, immer ausgefeilter wird : Modulstapel, differentielle Kohomologie, Anomalien usw. Aber im Lichte der Homotopie-Typentheorie stellt man fest, dass, wenn man der Sache wirklich auf den Grund geht, dann plötzlich bei den Grundlagen der Eichquantenfeldtheorie die Dinge konzeptionell einfacher werden, im Sinne von "einfacher Schönheit" in physikalischen Gesetzen. Beispielsweise gibt es in der Typtheorie der kohäsiven Homotopie eine elegante Möglichkeit, direkt von der verdrehten Differential-K-Theorie zu sprechen, die das Herzstück der Freed-Witten-Anomalie-Aufhebung in der 2d-QFT bildet. Es fließt nur in wenigen Schritten aus den grundlegenden Axiomen heraus, anstatt die lange verschlungene Konstruktion zu sein, als die es in Forschungsartikeln erschienen ist (hier beziehe ich mich auf Dinge, die sich auf Abschnitt 4.1.2 beziehen ).

Ich könnte weitermachen, aber vielleicht sollte ich hier aufhören. Wenn Ihnen mein Buch zu lang erscheint, versuchen Sie es mit den folgenden zwei Texten, die schnell den Weg von den bloßen Grundlagen der kohäsiven Homotopie-Typentheorie zur lokalen Lagrange-Eichfeldtheorie weisen sollen:

Danke für die Antwort, ich arbeite daran, es zu verstehen. Ich nehme an, Sie möchten meine Folgefrage sehen , die konkreter ist.
Warum brauchen wir Typen ? = " zu beginnen? Schließlich kann die schwache Kategorientheorie darauf verzichten. Können Sie mir erklären, warum wir in HoTT mit einem Identitätstyp beginnen und dann auferlegen ( A = B ) ≃ ( A ≃ B ) ? Nehmen wir an, wir beginnen mit einer abhängig typisierten Theorie (mit ∏ , ∑ insbesondere) und definiere dann " ≃ " wie im HoTT-Buch gemacht. Wenn das Äquivalenzprinzip gilt T M mit diesem Axiom umgesetzt werden soll, warum ziehen wir überhaupt eine Theorie mit Identität in Betracht. Es scheint, dass alles, was wir wirklich wollen, sowieso "nur" Äquivalenz ist. Übrigens. Ich lauere im nForum - gibt es einen Fragenbereich?
Oder lassen Sie mich sagen: Ich verstehe die Notwendigkeit von Pfadräumen, aber brauchen wir "eigentliche Gleichheit", bevor wir Äquivalenz definieren und dadurch den gewünschten Begriff der Gleichheit erhalten?
Ja, die Definition von "≃" beinhaltet "=". Eine Funktion ist genau dann eine Äquivalenz, wenn alle ihre Homotopiefasern kontrahierbar sind, und um „Homotopiefaser“ und „ist kontrahierbar“ zu sagen, verwendet man „=“. In den Modellen wird dies folgendermaßen verstanden: "=" sieht die Morphismen innerhalb eines Objekts einer Unendlichkeitskategorie, aber "≃" sieht die Morphismen der Unendlichkeitskategorie selbst. Jetzt gibt es den Objektklassifizierer, der ein kleines Abbild der gesamten Kategorie in sich selbst ist. In diesem speziellen Objekt spiegeln sich also beide Arten von Morphismen wider, und das Axiom der Univalenz besagt, dass sie übereinstimmen. Also stimmen Innen und Außen überein.
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