Felder sind Abschnitte eines Bündels, die einem SO(1,3)SO(1,3)\mathrm{SO}(1,3)-Bündel oder einem Eichgruppenbündel zugeordnet sind?

Question

Felder sind Abschnitte eines Bündels, die einem SO(1,3)SO(1,3)\mathrm{SO}(1,3)-Bündel oder einem Eichgruppenbündel zugeordnet sind?

Gold

In der Quantenfeldtheorie werden Teilchen einheitlichen Darstellungen der Poincare-Gruppe zugeordnet und Felder gemäß den irreduziblen Darstellungen der Lorentz-Gruppe klassifiziert.

Im Fall von Körpern ist jede irreduzible Darstellung der Lorentzgruppe gekennzeichnet durch $(j_1,j_2)\in \frac{1}{2}\mathbb{Z}^+$ . Dies führt zu folgender Situation:

Da ein Feld Wert auf einem Darstellungsraum einer irreduziblen Darstellung der Lorentz-Gruppe annehmen muss, scheint es natürlich, dass Felder Abschnitte des zugehörigen Bündels zum Hauptrahmenbündel sein müssen $P_{SO_e^+(1,3)}M$ über der Raumzeit durch die Darstellung gekennzeichnet $(j_1,j_2)$ fraglich. Das bedeutet für jeden $(j_1,j_2)$ wir würden das zugehörige Bündel zu dem Rahmenbündel konstruieren, das sich auf diese Darstellung bezieht, und die Felder wären Abschnitte dieses Bündels.
Andererseits gibt es Eichinvarianz. Wenn wir Eichinvarianz haben, haben wir eine kovariante Ableitung, um Felder mit dem Eichfeld zu koppeln. Nehmen wir der Einfachheit halber QED als Beispiel. Die geladenen Felder, die mit dem EM-Feld interagieren, müssen sich unter Eichtransformationen auf eine bestimmte Weise umwandeln. Mit anderen Worten: die Gauge-Gruppe $U(1)$ wirkt auf sie ein. Für ein geladenes Skalarfeld $\phi$ zum Beispiel müssen wir das haben
$ϕ (X) \mapsto e^{- ich a (X)} ϕ (X) .$ $\phi(x)\mapsto e^{-i\alpha(x)}\phi(x).$

In diesem Fall scheinen die Felder Abschnitte eines Bündels zu sein, das einem Prinzipal zugeordnet ist $U(1)$ bündeln. Es ist nicht klar, was dieses Hauptpaket ist (das triviale Paket ist immer verfügbar, aber es scheint nicht physisch motiviert zu sein).

Außerdem wirkt eine Eichkovariantenableitung auf solche Felder. Auch dies kann nur der Fall sein, wenn diese Felder Abschnitte eines Bündels sind, das einem Prinzipal zugeordnet ist $U(1)$ Bundle mit einem Anschluss.
Hinzu kommt das Potenzial selbst $A$ . Obwohl es als Feld im Sinne von (1) oben beginnt, ist es am Ende ein eichabhängiger Repräsentant einer Verbindung 1-Form auf dem in (2) beschriebenen Hauptbündel. Wenn das stimmt, dann sollte es ein Abschnitt des Bündels sein $E\otimes T^\ast M$ mit $E$ das triviale Bündel $M\times \mathfrak{u}(1)$ .

Nun meine Frage: Wie bringen wir diese drei Dinge unter einen Hut? Erstens müssen die Felder Abschnitte eines Bündels sein, das dem Hauptbündel orthonormaler Rahmen zugeordnet ist, aber mit der Eichtheorie müssen sie letztendlich Abschnitte eines Bündels sein, das einem Hauptbündel zugeordnet ist, wobei nicht einmal klar ist, um welches Hauptbündel es sich handelt. Letztendlich ist das Spurfeld eine Verbindungs-Eins-Form, also ein Abschnitt eines völlig anderen Bündels.

Grob gesagt besteht das Problem darin, dass (1) vorschlägt, dass Felder Abschnitte eines Bündels sind, (2) vorschlägt, dass sie zu einem anderen gehören, und dass sie nicht gleichzeitig Abschnitte von beiden sein können.

Wie können all diese Dinge gleichzeitig wahr sein?

Benutzer184116

+1 Zwei Fragen: Die erste ist nur neugierig, tut mir leid :) Sind Sie eine Person, die sich selbst studiert (ich bin ich selbst, also ist dies eine interessante Frage für mich) und haben Sie Road To Reality von Penrose gelesen, da er diesen Bereich etwas abdeckt

Gold

@ Countto10, ja, ich studiere das alleine. Ich habe letztes Jahr einen QFT-Kurs belegt, aber jetzt studiere ich QFT alleine. Ich habe das Buch von Penrose vor vielen Jahren gesehen, aber ich denke, in diesem Buch behandelt er Themen nicht ausführlich und zeigt die Details.

AccidentalFourierTransform

Felder sind Abschnitte des Tensorprodukts dieser Bündel, richtig? oder habe ich was falsch verstanden?

Gold

Ihr Punkt ist also: Wir betrachten die

S O (1, 3)

$SO(1,3)$ Gruppe, die

(j_{1}, j_{2})

$(j_1,j_2)$ Darstellung und bilden das zugehörige Vektorbündel. Andererseits durch Eichinvarianz mit Eichgruppe

G

$G$ , wir wählen einen Auftraggeber aus

G

$G$ -bundle, eine Darstellung, baut das zugehörige Vektorbündel auf. Wir nehmen dann das Tensorprodukt dieser beiden Bündel, dann beide

S O (1, 3)

$SO(1,3)$ Und

G

$G$ wirken auf jede Faser gemäß dem Tensorprodukt der Darstellungen? Aber immer noch ist nicht klar, welches Prinzip

G

$G$ -Bundle zu nehmen, kann ich das triviale nicht als körperlich motivierte Wahl sehen.

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Felder sind Abschnitte eines Bündels, die einem SO(1,3)SO(1,3)\mathrm{SO}(1,3)-Bündel oder einem Eichgruppenbündel zugeordnet sind?

+1 Zwei Fragen: Die erste ist nur neugierig, tut mir leid :) Sind Sie eine Person, die sich selbst studiert (ich bin ich selbst, also ist dies eine interessante Frage für mich) und haben Sie Road To Reality von Penrose gelesen, da er diesen Bereich etwas abdeckt
@ Countto10, ja, ich studiere das alleine. Ich habe letztes Jahr einen QFT-Kurs belegt, aber jetzt studiere ich QFT alleine. Ich habe das Buch von Penrose vor vielen Jahren gesehen, aber ich denke, in diesem Buch behandelt er Themen nicht ausführlich und zeigt die Details.
Felder sind Abschnitte des Tensorprodukts dieser Bündel, richtig? oder habe ich was falsch verstanden?
Ihr Punkt ist also: Wir betrachten die $SO(1,3)$ Gruppe, die $(j_1,j_2)$ Darstellung und bilden das zugehörige Vektorbündel. Andererseits durch Eichinvarianz mit Eichgruppe $G$ , wir wählen einen Auftraggeber aus $G$ -bundle, eine Darstellung, baut das zugehörige Vektorbündel auf. Wir nehmen dann das Tensorprodukt dieser beiden Bündel, dann beide $SO(1,3)$ Und $G$ wirken auf jede Faser gemäß dem Tensorprodukt der Darstellungen? Aber immer noch ist nicht klar, welches Prinzip $G$ -Bundle zu nehmen, kann ich das triviale nicht als körperlich motivierte Wahl sehen.

David Bar Mosche · Answer 1

Die Felder sind Abschnitte eines zugehörigen Bündels $E \xrightarrow{\pi_E} M$ über einen Verteiler $M$ mit einer Strukturgruppe $G$ , das ist zum Beispiel $\operatorname{SU}(3)$ im Fall von QCD.

Die Gruppe aller Eichtransformationen $\operatorname{Gau}(E)$ ist eine Gruppe von Bündelautomorphismen, dh sie ändert die Struktur des Bündels nicht. Diese Transformationen arbeiten faserweise und projizieren in den Identitätsdiffeomorphismus des Basisraums. Für ein Vektorfeld (ohne Eichmaß) hat diese Transformation beispielsweise die Form:

v_{μ}^{^{'} A} (X) = π (G (X))_{B}^{A} v_{μ}^{B} (X)

$V_{\mu}^{'A}(x) = \pi(g(x))^A_B V_{\mu}^B(x)$

Wo $\pi$ ist die Strukturgruppendarstellung an $E$ . Diese Transformation ist punktweise und wirkt sich nicht auf die Raum-Zeit-Indizes aus. Dies wird als interner Automorphismus bezeichnet.

Diese Transformationen erschöpfen jedoch nicht die Bündelautomorphismen. Für eine Klasse von Bündeln, die als natürliche Bündel bezeichnet werden, bewahren allgemeinere Transformationen die Struktur des Bündels:

v_{μ}^{^{'} A} (X^{'}) = \frac{\partial_{μ} X^{'}}{\partial_{v} X} π (G (X))_{B}^{A} v_{v}^{B} (X)

$V_{\mu}^{'A}(x') = \frac{\partial_{\mu}x'}{\partial_{\nu}x}\pi(g(x))^A_B V_{\nu}^B(x)$ Diese Transformation umfasst sowohl einen nichttrivialen Diffeomorphismus als auch eine Eichtransformation und projiziert auf einen nichttrivialen Diffeomorphismus auf der Basismannigfaltigkeit:

x \to x^{'}

$x \rightarrow x'$ .

Das Obige zeigt, dass die Gruppe aller Bündelautomorphismen $Aut(E)$ zerfällt nach folgender exakter Reihenfolge:

0 \to Gau (E) \to Aut (E) \to diff (M) \to 0

$0 \rightarrow \operatorname{Gau}(E) \rightarrow \operatorname{Aut}(E) \rightarrow \operatorname{diff}(M)\rightarrow 0$ Bitte beachten Sie den einleitenden Teil der folgenden Arbeit von: Stachel und Iftime.

Die Lorentz-Gruppe $\operatorname{SO}(3,1)$ in diesem Bild ist nur eine Untergruppe von $\operatorname{diff}(M)$ . Falls M ein Minkowski-Raum ist, dann ist die Lorentz-Gruppe eine Untergruppe der Poincaré-Gruppe, die die Automorphismus-Gruppe des Minkowski-Raums ist.

Jedes Bündel von Tensorfeldern und -formen auf der Basismannigfaltigkeit hat die obige Struktur eines natürlichen Bündels, da Diffeomorphismen kanonisch zu den Fasern gehoben werden können. Es gibt jedoch wichtige Bundles, bei denen es keinen solchen kanonischen Lift gibt. Das wichtigste Beispiel ist das Spinorbündel, bei dem wir keinen kanonischen Weg haben, einen Diffeomorphismus (allgemeine Koordinatentransformation) zu definieren. Wir müssen Vielbeins einführen, dh Abschnitte eines Rahmenbündels.

Das Spinorbündel gehört zu einer Familie namens Eich-natürliche Bündel, bei denen die vollständige Diffeomorphismusgruppe nicht in einen Bündelautomorphismus gehoben werden kann, jedoch eine Untergruppe, nämlich die Isometriegruppe, mittels des sogenannten Kosmann-Lifts gehoben werden kann . Insbesondere definiert dieser Lift ein Lie-Derivat (dh einen lokalen Diffeomorphismus) eines Spinors entlang eines Tötungsvektors. Bitte beachten Sie die folgende Rezension von Fatibene, Ferraris, Francaviglia und Godina. Einige Ausarbeitungen des Kosmann-Lifts werden in dieser PSE- Frage gegeben .

Im Fall des Minkowski-Raums mit der Minkowski-Metrik ermöglicht der Kosmann-Lift das Anheben der Wirkung der Lorentz-Gruppe auf Spinorfelder, da eine Lorentz-Transformation eine Isometrie ist.

Felder sind Abschnitte eines Bündels, die einem SO(1,3)SO(1,3)\mathrm{SO}(1,3)-Bündel oder einem Eichgruppenbündel zugeordnet sind?

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