Der Aharonov-Bohm-Effekt ( http://en.wikipedia.org/wiki/Aharonov%E2%80%93Bohm_effect#Significance ) lässt sich gut im Sinne der Holonomie beschreiben und erklären Verbindung des elektromagnetischen Feldes.
Was physikalisch passiert, ist, dass die Wellenfunktion nach parallelem Transport entlang einer Schleife eine Phasendifferenz annimmt, die physikalisch unsichtbar ist, aber zu beobachtbaren Interferenzen führen kann.
Nun, eine "Phase" in a Die Eichtheorie kann auf zwei verschiedene Arten verallgemeinert werden, wenn wir zu nicht-abelschen Eichtheorien übergehen:
1) Es könnte eine Phase bleiben, die zu keinem physikalischen Unterschied führt (außer Interferenz);
2) Es könnte allgemeiner werden Verwandlung, wo ist die Eichgruppe (wie oder ) und zum Beispiel die Farbe eines Quarks nach einer Schleife ändern.
Was sagt die Quantenfeldtheorie voraus? Was würde passieren, wenn wir (trotz der offensichtlichen experimentellen Schwierigkeiten) ein starkes (oder schwaches) Äquivalent des Aharonov-Bohm-Effekts festlegen würden?
Wenn 1) wahr ist: Würde das nicht bedeuten, dass der bedeutungsvolle (gekrümmte) Teil der Holonomie tatsächlich abelsch ist? Wenn 2) wahr ist: Würde es (für Quarks) nicht die Erhaltung der Farbladung verletzen?
Jeder Hinweis wäre gut, solange er auf den Punkt kommt.
Der Aharonov-Bohm-Effekt für nicht-Abelsche Eichfelder ist subtil, selbst die Definition von Fluss und Ladung ist komplizierter als in abelschen Fällen. Sowohl Ladung als auch Fluss können nicht abelsch sein. Ein Fluss ist als eine Konjugationsklasse der Eichgruppe G definiert, und eine Ladung ist eine (nicht reduzierbare) Darstellung (Untergruppe von) der Eichgruppe.
Jedoch (in 2D) kann ein allgemeines Teilchen sowohl Fluss als auch Ladung tragen. Für eine gegebene Eichgruppe gibt es eine feste Anzahl von Elementarteilchen, sie werden nach sogenannten Supersektionssektoren klassifiziert.
Angenommen, ein geladenes Teilchen C trägt einen nicht trivialen Fluss, der nicht mit einem anderen Fluss F kommutiert, wenn sich C um F bewegt, werden sowohl C als auch F durch eine Gruppenwirkung transformiert. Aus diesem Grund gibt es in diesem Fall keinen AB-Effekt (oder keine Interferenz), da wir durch Messen seines Flusses feststellen können, auf welche Weise das Teilchen C zum Bildschirm kommt (verschiedene Wege führen zu unterschiedlichem Fluss). Ein nicht trivialer AB-Effekt kann nur beobachtet werden, wenn der von C getragene Fluss mit F kommutiert.
Als Referenz siehe die Vorlesungsunterlagen von Preskill über topologische Quantenberechnungen, die für Anfänger (wie mich) geeignet sind:
http://www.theory.caltech.edu/~preskill/ph219/topological.pdf
Nicht-triviale Holonomien wurden für die Quantenberechnung vorgeschlagen, siehe diesen Artikel http://arxiv.org/abs/quant-ph/0007110
Die Grundidee ist folgende: Angenommen, Sie haben ein System im Grundzustand eines Hamiltonoperators vorbereitet , Wo ist ein Satz von Parametern. Wenn Sie diese Parameter langsam ändern, bleibt der Zustand im Grundzustand des sich ändernden Hamilton-Operators (Adiabatischer Satz). Durch Ausführen einer Schleife im Parameterraum kehrt das System in seinen ursprünglichen Zustand zurück, jedoch für eine Phase, die durch einen dynamischen und einen geometrischen Beitrag (die Holonomie) gegeben ist. Daher können Sie das System steuern, indem Sie einige klassische Parameter (Magnetfelder usw.) steuern. Die Nicht-Trivialität der Holonomie erlaubt es dann, nicht-triviale Operationen zu implementieren.
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