Intuition für spurparallelen Transport (Wilson-Schleifen)

Dies ist die Definition des Eichfeldes. Angenommen, Sie haben eine SU(2)-Symmetrie, betrachten Sie zur Bestimmtheit den Isospin. Die Begriffe "Proton" und "Neutron" definieren also zwei Achsen im Isospin-Raum, und Sie möchten vielleicht sagen, dass es willkürlich ist, welche zwei linearen Kombinationen von Proton und Neutron die richtigen Basisvektoren sind. So dass jemand an einem Punkt eine Basis von "Proton" und "Neutron" definiert und jemand anderes an demselben Punkt eine andere Basis definiert und Sie nicht sagen können, welche richtig ist (stellen Sie vor, das Proton wäre nicht geladen, und die Massen sind genau gleich).

Sie haben also die Freiheit, Proton und Neutron durch eine andere SU(2)-Rotation an jedem Punkt neu zu definieren. Dies ist die Eichfreiheit, die Sie mit einem anderen Gruppenelement G(x) multiplizieren können. Um nun ein Proton an einem Punkt x mit einem Proton an einem Punkt y zu vergleichen, müssen Sie das Proton entlang einer Kurve von x nach y transportieren.

Die Gauge-Verbindung sagt Ihnen, mit welcher Matrix Sie multiplizieren, wenn Sie sich in eine unendlich kleine Richtung bewegen$\delta x_\alpha$. Die SU(2)-Matrix, mit der Sie rotieren, ist

Dies ist infinitesimal nah an der Identität, also ist der A-Teil in der Lie-Algebra von SU(2). Das "i" ist in der Physik konventionell, um die A-Matrix hermitisch im Gegensatz zu antihermitisch zu machen, ebenso wie die sauberere Konvention und die in der Mathematik verwendete. Das bedeutet, dass A eine Linearkombination von Pauli-Matrizen ist. Dies gibt Ihnen eine konkrete Darstellung des Eichfelds (unter Unterdrückung der i, j-Indizes):

Sie sind davon ausgegangen, dass der Paralleltransport im linear ist$\delta x$'s, damit der Begriff mit dem Begriff der Raumzeit als Differentialmannigfaltigkeit kompatibel ist - wenn Sie die Verschiebung verdoppeln, verdoppeln Sie den infinitesimalen Rotationswinkel. Sie nehmen an, dass es durch physikalische Kontinuität unendlich klein ist.

Daraus ist ersichtlich, dass der parallele Transport entlang einer Kurve das Produkt von A entlang jedes der infinitesimalen Segmente ist, aus denen die Kurve besteht:

Wobei das pfadgeordnete Exponential als Grenze des Produkts auf der linken Seite definiert ist. Dies ist die nichtabelsche Verallgemeinerung der Phase, die ein geladenes Teilchen in einem elektromagnetischen Feld entlang eines Pfades annimmt.

Das Eichfeld ist dann eine Karte zwischen Kurven und SU(N)-Matrizen mit der Eigenschaft, dass sich die Matrizen multiplizieren, wenn Sie Pfade Ende an Ende verbinden. Die einer infinitesimalen geschlossenen Schleife zugeordnete Matrix wird als Krümmung bezeichnet und ist proportional zu dem in der Schleife eingeschlossenen Flächenelement. Dies ist identisch mit der Allgemeinen Relativitätstheorie. Die ganze Übung ist eine Verallgemeinerung der Verbindung der Allgemeinen Relativitätstheorie auf Fälle, in denen die Gruppen keine Rotationen sind. Die Spezialisierung auf den Rotationsfall ergibt GR.

Es ist mathematisch einfach zu beschreiben.

Zuerst werde ich mich daran erinnern, was die Gleichung für die Aharonov-Bohm-Phase bedeutet, und dann werde ich (ohne Beweis) ihre Beziehung zum parallelen Transport für beschreiben$G$-Bundles, die ich definiere.

Das Eichpotential$A$ist eine Verbindung nach einem Prinzip$G$-Bundle, wo$G$ist die Eichgruppe. Rektor$G$-bündelt über einen Verteiler$M$werden nach der zweiten Kohomologie klassifiziert$H^2(M,G)$. Für eine Kurve$\gamma$In$M$, können wir jedes Hauptbündel auf zurückziehen$\gamma$, und da$\gamma$ist eindimensional,$H^2(\gamma,G)=0$, also ist der Rückzug des Prinzipalbündels trivial. Dementsprechend auch der Pullback der Verbindung$A$ist nur eine 1-Form auf$\gamma$(Sobald wir eine Trivialisierung auswählen). Damit ist der Ausdruck gemeint$exp(i \int_\gamma A)$macht Sinn. Um es nicht von der Wahl der Trivialisierung abhängig zu machen (durch die eine Änderung der Trivialisierung eine Konjugation dieser Größe bewirkt, die ein Element von ist$G$) müssen wir eine Klassenfunktion nehmen$\chi :G\rightarrow \mathbb{C}$(das heißt, eine, die nur von den Konjugationsklassen in abhängt$G$) und überlegen$\chi (exp(i\int_\gamma A))$. Dies hängt nur davon ab$A$,$\gamma$, Und$\chi$. Eine Klassenfunktion$\chi$ist dasselbe wie eine Spur in einer komplexen Darstellung$R$von$G$(solche Objekte sind bijektiv) und so kann man das ganz normal umschreiben:

$Tr_R exp(i\int_\gamma A)$.

Dies ist die Aharonov-Bohm-Phase.

Wir können dies in Bezug auf den parallelen Transport wie folgt umformulieren. Die Faser über einem Basispunkt$x \in M$ist eine Menge, auf der$G$handelt treu und transitiv. Das heißt, jede bestimmte Wahl des Basispunkts$\tilde x$in der Faser kann an die Identität gesendet werden$G$und definiert so einen Isomorphismus zwischen der Faser und der regulären Darstellung von$G$auf sich. Sobald eine Wahl des Basispunktes in der Faser getroffen ist, kann, ebenso wie beim parallelen Transport von Vektorbündeln, eine beliebige Kurve ab$x$In$M$hebt sich eindeutig um eine Kurve im Gesamtraum des Bündels, die bei beginnt$\tilde x$. Für eine Schleife$\gamma$, dies hebt sich zu einer Kurve ab, die bei beginnt$\tilde x$und irgendwo anders in der Faser enden. Mit anderen Worten, der Lift definiert eine Karte von$G$Darstellungen$G\rightarrow G$. Dies ist das Analogon des parallelen Transports für Auftraggeber$G$-Bündel. Mit einer Auswahl an Basispunkten können wir diesen Kartensatz identifizieren$G$, also gibt uns jede Schleife ein Element von$G$abhängig von einer Trivialisierung des Bündels at$x$. Änderung der Trivialisierung entspricht Konjugation in$G$, also können wir eine Darstellung auswählen und die Aharonov-Bohm-Phase in diesem abstrakten Bild erneut berechnen.

Die Sätze von de Rham (oder vielleicht eine einfache Erweiterung davon, verwenden Sie einfach einige Partitionen der Einheit, damit es ausreicht, sie für einen kontrahierbaren Raum zu zeigen) stellen sicher, dass jede solche parallele Transportkarte aus einer Verbindungsform entsteht$A$wie im ersten Absatz. Das heißt, die Karte$G \rightarrow G$von$G$-Darstellungen ist gerecht$exp(i\int_\gamma A)$(abhängig von einer Trivialisierung).

Eine gute Referenz für dieses Material findet sich in Nakaharas Buch Geometry and Topology in Physics.