Wess-Zumino Gauge in der nicht-Abelschen supersymmetrischen Theorie

Question

Wess-Zumino Gauge in der nicht-Abelschen supersymmetrischen Theorie

Messgerät
Physik
Eichtheorie
Supersymmetrie
Eichinvarianz
Quantenfeldtheorie

Benutzer43283

Ich habe eine Frage zu nicht-Abelschen supersymmetrischen Eichtheorien.

Betrachten Sie die supersymmetrische nicht-Abelsche Theorie, die auf chiralen Superfeldern realisiert wird $\Phi_i$ in einer Vertretung $R$ mit Matrixgeneratoren $T_{i}^{aj}$ . Lassen Sie uns die Supergauge-Transformation definieren als

Φ_{ich} \to (e^{2 ich G_{A} Ω^{A} T^{A}})_{ich}^{J} Φ_{J} .

$\Phi_i \rightarrow (e^{2\imath g_a \Omega^a T^a})_{i}{}^{j} \, \Phi_j.$ Der supergauge-invariante Term in Lagrangian ist

L = [Φ^{* ich} (e^{v})_{ich}^{J} Φ_{J}]_{D} .

$\mathcal{L} = \Bigl[\Phi^{*i}\,(e^V)_i{}^j \, \Phi_j\Bigr]_D.$ Damit dies eichinvariant ist, muss die nicht-Abelsche Eichtransformation für das Vektorfeld sein

e^{v} \to e^{ich Ω^{†}} e^{v} e^{- ich Ω} .

$e^V \rightarrow e^{\imath \Omega^\dagger}\,e^V\,e^{-\imath \Omega}.$ Unter Verwendung der Baker-Hausdorff-Formel erhalten wir

v^{A} \to v^{A} + ich (Ω^{A *} - Ω^{A}) + G_{A} F^{A B C} v^{B} (Ω^{C *} + Ω^{C}) + . . .

$V^a \rightarrow V^a + \imath(\Omega^{a*}-\Omega^a)+g_a \, f^{abc}\,V^b(\Omega^{c*}+\Omega^c)+...$ Normalerweise argumentieren sie in diesem Moment, dass der zweite Term auf der rechten Seite nicht davon abhängt

V^{a}

$V^a$ , kann man jederzeit eine Supergauge-Transformation zur Wess-Zumino-Eichweite durchführen , indem man wählt

Ω^{a *} - Ω^{a}

$\Omega^{a*}-\Omega^a$ passend.

Das ist der Moment, den ich nicht bekomme. Was bedeutet das? Genau genommen ist letzterer Ausdruck eine komplizierte nichtlineare Gleichung auf Komponenten von $V^a$ Superfeld.

Ich schätze, sie meinen, dass der zweite Term auf der rechten Seite nicht davon abhängt $V^a$ , lässt sich im Rahmen der Störungstheorie in die Kopplungskonstante(n) $g_a$ . Ist es richtig? Wenn ja, wie kann man dies bei allen Bestellungen streng nachweisen?

Benutzer43283

Ich bin diesem Argument in vielen Vorlesungen begegnet, wie zum Beispiel: arxiv.org/abs/hep-ph/9709356 ; Wess Bagger „Supersymmetrie und Supergravitation“; arxiv.org/abs/hep-th/0311066 . Ich bin dankbar für Kurse oder Bücher, in denen der Beweis explizit erbracht wird oder möglicherweise einige Beweisschritte durchgeführt werden

Antworten (3)

Wess-Zumino Gauge in der nicht-Abelschen supersymmetrischen Theorie

Ich bin diesem Argument in vielen Vorlesungen begegnet, wie zum Beispiel: arxiv.org/abs/hep-ph/9709356 ; Wess Bagger „Supersymmetrie und Supergravitation“; arxiv.org/abs/hep-th/0311066 . Ich bin dankbar für Kurse oder Bücher, in denen der Beweis explizit erbracht wird oder möglicherweise einige Beweisschritte durchgeführt werden

QMechaniker · Answer 1

I) Die Eichtransformation des realen Eichfeldes $V$ liest

\begin{matrix} (1) & e^{\tilde{v}} = e^{X} e^{v} e^{Y}, X := ich Ω^{†}, Y := - ich Ω . \end{matrix}

$e^{\widetilde{V}} ~=~e^Xe^Ve^Y, \qquad X~:=~i\Omega^{\dagger}, \qquad Y~:=~-i\Omega. \tag{1}$

Als nächstes verwenden wir die folgenden BCH-Formeln

\begin{matrix} (2) & e^{X} e^{v} \overset{B C H}{=} e^{v + B (A D v) X + Ö (X^{2})}, e^{v} e^{Y} \overset{B C H}{=} e^{v + B (- A D v) Y + Ö (Y^{2})} . \end{matrix}

$e^Xe^V~\stackrel{\rm BCH}{=}~e^{V+B({\rm ad} V)X+{\cal O}(X^2)}, \qquad e^Ve^Y~\stackrel{\rm BCH}{=}~e^{V+B(-{\rm ad} V)Y+{\cal O}(Y^2)}.\tag{2}$

Behalten Sie nur lineare Bestellungen bei $\Omega$ , wir bekommen

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} \tilde{v} & \overset{(1) + (2)}{=} B (A D v) X + v + B (- A D v) Y \\ \overset{(4)}{=} v + \frac{1}{2} [v, Y - X] + B_{+} (A D v) (X + Y), \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}\widetilde{V}~&\stackrel{(1)+(2)}{=}~B({\rm ad} V)X+V+B(-{\rm ad} V)Y\cr &~~~\stackrel{(4)}{=}~V+\frac{1}{2}[V,Y-X]+B_+({\rm ad} V)(X+Y),\end{align}\tag{3}$

Wo

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} B (X) & := \frac{X}{e^{X} - 1} = \sum_{M = 0}^{\infty} \frac{B_{M}}{M!} X^{M} = B_{+} (X) - \frac{X}{2} \\ = 1 - \frac{X}{2} + \frac{X^{2}}{12} - \frac{X^{4}}{720} + \frac{X^{6}}{30240} + Ö (X^{8}) \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} B(x)&~:=~\frac{x}{e^x-1}~=~\sum_{m=0}^{\infty}\frac{B_m}{m!}x^m~=~B_+(x)-\frac{x}{2}\cr &~=~1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{12}-\frac{x^4}{720}+\frac{x^6}{30240}+{\cal O}(x^8)\end{align} \tag{4}$

Und

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} B_{+} (X) & := \frac{B (X) + B (- X)}{2} = \frac{X / 2}{Tanh \frac{X}{2}} \\ = 1 + \frac{X^{2}}{12} - \frac{X^{4}}{720} + \frac{X^{6}}{30240} + Ö (X^{8}) \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} B_+(x) &~:=~\frac{B(x)+B(-x)}{2}~=~\frac{x/2}{\tanh\frac{x}{2}} \cr &~=~1+\frac{x^2}{12}-\frac{x^4}{720}+\frac{x^6}{30240}+{\cal O}(x^8) \end{align} \tag{5}$

erzeugen Funktionen von Bernoulli-Zahlen .

II) Wir möchten $\widetilde{V}$ Spurweite WZ sein

\begin{matrix} (6) & \tilde{v} = Ö (θ^{2}) . \end{matrix}

$\widetilde{V}~=~{\cal O}(\theta^2) .\tag{6}$

Für gegeben $V$ , $\widetilde{V}$ , Und $X-Y$ , die Gl. (3+6) ist eine Affinität $^1$ Gleichung ein $X+Y=i\Omega^{\dagger}-i\Omega$ . Dies hat formal eine Lösung, wenn der Operator

\begin{matrix} (7) & B_{+} (A D v) = 1 + \dots \end{matrix}

$B_+({\rm ad} V)~=~{\bf 1} + \ldots \tag{7}$

ist invertierbar, was zumindest perturbativ wahr ist. Um den Beweis abzuschließen, sollte man die Gleichung in ihren Superfeldkomponenten aufschreiben, um zu überprüfen, ob der obige affine Verschiebungsmechanismus wirklich auf der Komponentenebene realisiert ist. Erinnern Sie sich zB an das Gauge-Feld $\widetilde{V}$ kann nicht vollständig weggeeicht (= auf Null gesetzt) werden, da $\Omega$ ist ein chirales Superfeld mit nicht genug $\theta$ 's, um alle Komponenten zu erreichen $\widetilde{V}$ , sozusagen.

Verweise:

SP Martin, A Supersymmetry Primer, arXiv:hep-ph/9709356 ; S.43.

--

$^1$ Eine affine Gleichung ist eine lineare Gleichung mit einem inhomogenen Term/Quellterm.

Andrea89 · Answer 2

Die Wess-Zumino-Eichweite ist eine besondere Wahl der Eichung, bei der das Vektor-Superfeld eine bestimmte Form und weniger Komponenten als das generische Vektor-Superfeld hat. Wenn ich also frei bin, eine Eichtransformation durchzuführen, kann ich die Komponenten des chiralen Superfelds auswählen $\Omega$ in einer Weise, dass die Summe der $\theta$ (oder irgend ein anderer " $\theta$ Komponente", die ich eliminieren möchte, um die WZ-Eichweite zu erreichen) des chiralen und vektoriellen Superfelds gleich Null.

Eigentlich stellt sich die Frage, warum wir die Komponenten des chiralen Superfelds auswählen können $\Omega$ derart...
Wegen der Eichinvarianz. Es ist wie in QED, wenn die Funktion $f(x)$ ist willkürlich und ändert weder die Aktion noch andere physikalische Variablen. Der $\Omega$ ist willkürlich.

Benutzer154779 · Answer 3

Ich denke, die Eichtransformation hat in ihrer Definition den Superraum $y_\mu$ , was gleich ist mit $x_\mu + i \theta \sigma_\mu \bar \theta$ . Somit erscheinen in seiner Taylor-Entwicklung nur 3 Terme: $Ω(y) = Ω(x) + i \theta \sigma_\mu \bar \theta \partial_\mu Ω(x) + \frac{1}{4} \theta \theta \bar \theta \bar \theta \Box{Ω(x)}$ .

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