Die Bedeutung der Eichfixierung bei der kovarianten Quantisierung des elektromagnetischen Feldes

Ich habe Probleme, mich mit der Idee hinter der kovarianten Quantisierung für das elektromagnetische Feld zu befassen, die normalerweise in Lehrbüchern durchgeführt wird (ich verfolge derzeit die Notizen von Mandl & Shaw und David Tong in meinem QFT-Kurs). Der Ausgangspunkt für die Quantisierung des elektromagnetischen Felds besteht darin, über Eichfreiheit zu sprechen und wie sie für die Behandlung von Elektromagnetismus nützlich sein kann, und dann wählen Sie bequem die Lorentz-Bedingung als Hilfsbedingung, dass Sie das 4-Potential wollen A μ befriedigen; Nach der Quantisierung wird diese Bedingung jedoch zu einer Einschränkung des Raums akzeptabler physikalischer Zustände und nicht der Feldoperatoren selbst: "physikalische Zustände". | Ψ ⟩ sind das solche ∂ μ A μ + | Ψ ⟩ = 0 (Gupta-Bleuler-Bedingung). Meine Frage ist jetzt zweigeteilt:

  1. Gibt es ein Quantisierungsverfahren, das nicht auf die Festsetzung der Eichmaße angewiesen ist? Ich bin immer noch nicht sehr zufrieden mit der Vorstellung, dass Sie eine Eichung reparieren müssen, um eine Theorie, die Sie von Anfang an explizit als Eichinvariante formuliert haben, konsistent zu quantifizieren, und mir scheint, dass dies mit hohen Kosten verbunden ist - - Die Lehrenfixierung manifestiert sich als Einschränkung physikalischer Zustände!
  2. (Etwas verwandt mit der 1. Frage) Wie legt die Gupta-Bleuler-Bedingung genau die Eichung fest, da sie keine Bedingung für die Operatoren, sondern für die physikalischen Zustände ist? Soll ich diese beiden Dinge als völlig gleichwertig betrachten?

Antworten (2)

Zuerst müssen Sie das Messgerät seit dem 4-Potenzial fixieren A μ hätte statt der 2 Polarisation des Photons 4 Freiheitsgrade.

Im Allgemeinen gibt es 3 verschiedene Möglichkeiten, eine Theorie zu quantisieren, die erstklassige Einschränkungen aufweist (was für das elektromagnetische Feld der Fall ist). Wer ist nicht an erstklassige Zwänge gewöhnt, sie sind diese Zwänge C a die Eichtransformationen als erzeugt δ z A = { z A , ϵ a ( z ) C a ( z ) } Wo z A sind die Koordinaten im Phasenraum und ϵ a sind die Messparameter.

Jetzt sind die Methoden:

  1. Reduzierte Phase-Space-Methode;
  2. Dirac-Gupta-Bleuer-Verfahren;
  3. BRST-Methode.

Reduzierter Phasenraum:

Das erste Verfahren fixiert einen einzelnen Repräsentanten in der Messkreisbahn durch eine Messfixierbedingung F a ( z ) = 0 mit D e T { C a , F β } | C = F = 0 ≠ 0 (Dies führt zu einem neuen Satz von Einschränkungen, die jetzt zur Klasse II gehören, und es kann eine Dirac-Klammer als neue Poisson-Klammer definiert werden, um auf kanonische Weise zu quantisieren).

Dirac-Gupta-Bleuer

Die zweite Methode besteht darin, den gesamten Phasenraum zu quantisieren und alle nichtphysikalischen Variablen zu belassen. Da wir alles quantisiert haben, müssen wir jetzt fordern, dass unsere Einschränkungen beim Einwirken auf physikalische Zustände Null ergeben:

C ^ a ( z ^ ) | ψ P H ⟩ = 0
Dies ist die bevorzugte Methode, um das elektromagnetische Feld zu quantisieren, auf diese Weise können alle nicht-physikalischen Freiheitsgrade nach der Quantisierung entfernt werden.

BRST-Lagrange

Diese Methode ist die kompliziertere, aber meiner Meinung nach die faszinierendste. Die Idee hier ist, neue Freiheitsgrade hinzuzufügen, die Geister genannt werden (mit Grassman-Parität entgegengesetzt zu den Beschränkungen) und ihre Impulse (mit der gleichen Parität wie die Geister) (um dieses Verfahren zu verstehen, müssen Sie sein vertraut mit einigen Grundbegriffen der Supersymmetrie).

Nun kann nachgewiesen werden, dass eine BRST-Gebühr existiert Q mit einigen Eigenschaften, insbesondere ist es nilpotent ( Q 2 = 0 ), die die BRST-Transformation erzeugt.

In diesem Kontext ist ein physikalischer Zustand definiert, wenn er BRST-invariant ist, dh

Q ^ | ψ P H ⟩ = 0
Aber dank der Nullpotenz von Q , kann man die Kohomologieklasse des physikalischen Zustands betrachten, was bedeutet, dass zwei Zustände äquivalent sind, wenn sie sich durch einen genauen Term unterscheiden, dh
( | ϕ P H ⟩ ∼ | ψ P H ⟩ ) ⟺ ( | ϕ P H ⟩ = | ψ P H ⟩ + Q ^ | χ ⟩ )
für eine Willkür | χ ⟩ .

Dies scheint nur ein überkompliziertes Verfahren zu sein, aber wenn man das funktionale Integral mit all diesen neuen Begriffen betrachtet, hat man die Freiheit, der Aktion einen neuen Begriff hinzuzufügen, der ein exakter Begriff ist, um viele Vereinfachungen vorzunehmen und zu dem zu gelangen richtige Ergebnis auf raffiniertere Weise.

Ich hinterlasse hier eine Referenz (Lehrbuch), die die Quantisierung von Eichtheorien behandelt: Marc Henneaux und Claudio Teitelboim "Quantisierung von Eichsystemen".

  1. Warum eichen wir das Pfadintegral überhaupt? Wenn wir die Theorie der Gittereichung machten , brauchten wir keine Eich-Fixierung. Aber im Kontinuumsfall (das Hessische von) hat die Aktion für eine Eichtheorie Nullrichtungen, die zu unendlichen Faktoren führen, wenn das Pfadintegral über Eichbahnen durchgeführt wird. Um dies zu vermeiden, messen wir fest.

  2. Die Gupta-Bleuler-Bedingung ist per se keine eichfixierende Bedingung, sondern eine Bedingung zur Bestimmung physikalischer Zustände. Generell gibt es auch Bedingungen an ein Observable Ö ^ . Dies ist vielleicht am einfachsten in der BRST-Formulierung zu sehen . Ein körperlicher Zustand | Ψ ⟩ und ein Beobachtbares Ö ^ sollten beide BRST-invariant sein

    Q ^ | Ψ ⟩   =   0 Und [ Q ^ , Ö ^ ]   =   0 ^ .

Ich werde versuchen, die BRST-Formulierung zu überprüfen, ich hatte noch nie davon gehört. Also in Bezug auf Ihren ersten Punkt, sagen Sie, dass eine Motivation für die Korrektur des Messgeräts darin besteht, physikalische Zustände nicht mehr als einmal zu „überzählen“, wenn Sie das Pfadintegral durchführen? Und es gibt also keinen formalen Grund für Sie, dies bei der kanonischen Quantisierung zu tun, außer wenn Sie sich an die Formulierung des Pfadintegrals wenden?
Die Bedeutung der Eichfixierung bei der kovarianten Quantisierung des elektromagnetischen Feldes
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