Warum kann ein echter Skalar nicht an das elektromagnetische Feld koppeln?

Die Tatsache, dass die Theorie nicht eichinvariant ist, impliziert, dass alle Freiheitsgrade von$A_\mu$muss physikalische Bedeutung haben: Dies ist nicht die Theorie der Photonen, wo nur transversale Freiheitsgrade Sinn machen. Auf diese Weise müssen Sie einige nicht triviale Probleme wie die mit zeitlichen Modi verbundene negative Norm angehen. Dies könnte durch Hinzufügen einer Masse vermieden werden$A_\mu$und Spin geben$1$(anstelle von Helizität) zu den zugehörigen Partikeln. Dies ist jedoch noch einmal nicht das EM-Feld.

NACHTRAG . Eigentlich, wenn wir eine Masse hinzufügen$A_\mu$und wir nehmen an, dass das Feld Teilchen mit Spin beschreibt$1$(Vermeidung von Problemen mit zeitlichen Modi) die Bedingung$\partial_\mu A^\mu =0$muss hinzugefügt werden, nur um einen Freiheitsgrad zu entfernen (oder ist sogar automatisch, wenn die Proca-Aktion verwendet wird, wie von AccidentalFourierTransform beobachtet). Dies hat die verheerende Folge, dass die Lagrange-Wechselwirkung zum Randterm wird, also verschwindet:

$$\int A_\mu \phi \partial^\mu \phi\,\mathrm d^4x = \frac{1}{2}\int \partial^\mu \left(A_\mu \phi^2\right)\,\mathrm d^4x$$ Ich denke, wir haben von jedem Standpunkt aus eine hoffnungslose Theorie.

Betrachten wir die skalare Elektrodynamik (Klein-Gordon-Maxwell-Elektrodynamik) mit der Lagrange-Funktion:

$$\begin{eqnarray}\label{eq:pr6} -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+\frac{1}{2}(\psi^*_{,\mu}-ieA_\mu\psi^*)(\psi^{,\mu}+ieA^\mu\psi)-\frac{1}{2}m^2\psi^*\psi \end{eqnarray}$$

und die Bewegungsgleichungen

$$\begin{equation}\label{eq:pr7} (\partial^\mu+ieA^\mu)(\partial_\mu+ieA_\mu)\psi+m^2\psi=0, \end{equation}$$ $$\begin{equation}\label{eq:pr8} \Box A_\mu-A^\nu_{,\nu\mu}=j_\mu, \end{equation}$$ $$\begin{equation}\label{eq:pr9} j_\mu=ie(\psi^*\psi_{,\mu}-\psi^*_{,\mu}\psi)-2e^2 A_\mu\psi^*\psi. \end{equation}$$

Das komplexe Feld geladener Materie$\psi$kann durch eine Eichtransformation (zumindest lokal) realisiert werden, und die Bewegungsgleichungen in dem relevanten Eichmaß (einheitliches Eichmaß) für das transformierte Vierpotential des elektromagnetischen Feldes$B^{\mu}$und Feld der realen Materie$\varphi$sind wie folgt ($E.~Schr\ddot{o}dinger, {Nature}$, 169:538, 1952):

$$\begin{equation}\label{eq:pr10} \Box\varphi-(e^2 B^\mu B_\mu-m^2)\varphi=0, \end{equation}$$ $$\begin{equation}\label{eq:pr11} \Box B_\mu-B^\nu_{,\nu\mu}=j_\mu, \end{equation}$$ $$\begin{equation}\label{eq:pr12} j_\mu=-2e^2 B_\mu\varphi^2. \end{equation}$$

Schrödinger machte den folgenden Kommentar: "Dass die Wellenfunktion ... durch eine Änderung der Spurweite real gemacht werden kann, ist nur eine Binsenweisheit, obwohl sie dem weit verbreiteten Glauben widerspricht, dass "geladene" Felder eine komplexe Darstellung erfordern."

Diese Bewegungsgleichungen können aus der Lagrange-Arbeit (T. Takabayasi (1953), Progr. Theor. Phys., 9 , 187) erhalten werden:

$$\begin{equation}\label{eq:pr12a} -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+\frac{1}{2}e^2 B_\mu B^\mu \phi^2+\frac{1}{2}(\varphi_{,\mu}\varphi^{,\mu}-m^2\varphi^2). \end{equation}$$ Tatsächlich stimmt es mit dem vorherigen Lagrange-Operator überein, bis auf die Ersetzung des komplexen Skalarfeldes durch ein reelles. Jede Lösung der Bewegungsgleichungen für die erste Lagrange-Funktion hat eine physikalisch äquivalente Lösung der Bewegungsgleichungen für die zweite Lagrange-Funktion.

An Quantisierung habe ich hier nicht gedacht.

BEARBEITEN (10.02.2018):

Ich möchte hinzufügen, dass das obige System der Wechselwirkung von realem Skalarfeld und elektromagnetischem Feld einige erstaunliche Eigenschaften hat. Aus den Bewegungsgleichungen ist ersichtlich, dass das reale Skalarfeld algebraisch eliminiert werden kann, und es stellt sich heraus, dass die resultierenden Gleichungen für das elektromagnetische Feld dessen unabhängige Entwicklung beschreiben (mein Artikel in European Physical Journal C http://link.springer. com/content/pdf/10.1140%2Fepjc%2Fs10052-013-2371-4.pdf und Verweise dort).

Anscheinend ist es auch möglich, einen Lorentz-invarianten Lagrangian mit höheren Ableitungen einzuführen, der das Materiefeld nicht beinhaltet, aber weitgehend äquivalent zum Takabayasi-Lagrangian ist (mein Artikel https://arxiv.org/abs/1006.2578 ; die Bedeutung von Einige Sonderfälle, z.$\varphi=0$und$B^\mu B_\mu=0$(siehe unten) ist unklar (verschiedene Partikel?)). Zu diesem Zweck kann der Takabayasi-Lagrangian in Bezug auf ausgedrückt werden$\Phi=\varphi^2$, statt$\varphi$, indem Sie z. B. Folgendes verwenden:

$$\begin{equation}\label{eq:pr16a} \varphi_{,\mu}\varphi^{,\mu}=\frac{1}{4}\frac{\Phi_{,\mu}\Phi^{,\mu}}{\Phi}, \end{equation}$$ und dann $\Phi$kann durch den folgenden aus den Bewegungsgleichungen erhaltenen Ausdruck ersetzt werden: $$\begin{equation}\label{eq:pr16b} \Phi=-\frac{1}{2e^2} \frac{B^\mu(\Box B_\mu-B^\nu_{,\nu\mu})}{B^\mu B_\mu}. \end{equation}$$

Somit beschreibt eine Lagrange-Funktion, die nur ein elektromagnetisches Feld enthält, so ziemlich die gleiche Physik wie die skalare Elektrodynamik.