Stationsidentität und Proca-Felder

Ich folge dem Buch Quantum Field Theory and the Standard Model von Schwartz und bin über die Schwinger-Dyson-Gleichungen in den Unterabschnitten 14.8.1-3 zum rigorosen nicht-perturbativen Beweis der Ward-Identität mit Pfadintegralen gekommen. Da mir klar ist, dass der Beweis der Ward-Takahaski-Identität die „Quantenversion“ des Noether-Tricks ist, verstehe ich den Übergang von der Ward-Takahashi-Identität zur „Standard“-Ward-Identität nicht. Letzteres kann als direkte Folge davon angesehen werden, dass die Photonen masselos/ohne Längspolarisation sind, aber der von Schwartz verfolgte Beweis scheint den Fall eines massiven Vektorbosons nicht auszuschließen. Dieser bricht jedoch die Eichinvarianz mit seiner Masse (oder erlaubt wiederum äquivalent einen longitudinalen Dof P μ M μ = 0 für eine generische Amplitude M μ . Wo liege ich falsch?

"Der von Schwartz verfolgte Beweis scheint den Fall eines massiven Vektorbosons nicht auszuschließen" --> Können Sie hier mehr Details geben? Welche Version der Ward-Identität gilt Ihrer Meinung nach für massive Vektorfelder? In der üblichen Formulierung gibt es eine Einschränkung (zweiter Klasse), die die zeitähnliche (nicht longitudinale) Komponente entfernt , aber keine Eichsymmetrie oder Ward-Identität. Auch nur als freundlicher Tipp, es wäre sehr hilfreich, MathJax (ähnlich wie LaTeX) zu verwenden, um die Mathematik in Ihrer Frage zu formatieren, hier ist ein Tutorial: math.meta.stackexchange.com/q/5020
Danke für den Tipp, ich bin neu, also hoffe ich, dass es Ihnen nichts ausmacht, wenn ich in diesem Thema mit dem normalen Text weiterschreibe. Der Vollständigkeit halber beziehe ich mich auf Schwartz 14.8.1 14.8.2 und 14.8.3. Ich denke, dass das Entfernen der zeitähnlichen Komponente sowohl für Proca- als auch für Maxwell-Felder gilt. Betrachten Sie zum Beispiel den Prozess e(-)e(+)->u(-)u(+) auf Baumebene: Das Ersetzen von kukv im Propagator von Proca und Maxwell ergibt in beiden Fällen Null. Aber wenn ich die Ward-Identität in einem Prozess verwende, an dem externe Vektorbosonen beteiligt sind, wenn ich die Polarisation durch pu ersetze, sehe ich nicht, woher die Eichinvarianz kommt, um puMu zu töten
Nun, es ist eine gute Idee, MathJax früh zu lernen, und es ist wirklich nur die Verwendung von LaTeX-Markdown, während Sie tippen, also empfehle ich, es zu verwenden, aber ich kann dem, was Sie schreiben, mehr oder weniger folgen. Es gibt keine Eichinvarianz für ein massives Eichfeld (es sei denn, Sie verwenden den Stuckelberg-Trick). Der Zähler des Propagators ist η μ v + P μ P v / M 2 ; wenn Sie diesen Vertrag abschließen P μ du erhältst P v − ( M 2 / M 2 ) P v = 0 ; Diese Eigenschaft folgt aus der zweiten Klassenbeschränkung und ist für das Entfernen des zeitähnlichen Modus verantwortlich.
Ich werde so schnell wie möglich lernen. Ich bin mit dem vertraut, was Sie sagen, aber dann würde ich sagen: Nehmen Sie die Compton-Streuung (dh keine internen Vektorpropagatoren), aber betrachten Sie Proca anstelle von Maxwell und versuchen Sie, eine externe Polarisation durch den Impuls zu ersetzen. Hier haben wir keine Eichinvarianz (beabsichtigt als lokale U(1)-Symmetrie der Lagrangian, die von m = 0 in A² herrührt), also gibt es keinen Grund, die Polarisation zu verwerfen, die proportional zum Impuls ist. Warum also sollte auch hier puMu=0 sein? Danke für die Hilfe, sehr zu schätzen
In diesem Fall befinden sich also alle Vektorpropagatoren auf externen Beinen. Dann wäre Ihre Frage: Wie groß ist die Amplitude, wenn es im Anfangs- oder Endzustand eine zeitähnliche Komponente ungleich Null gibt? Die Antwort ist, dass die Amplitude Null ist, da sich die äußeren Beine auf der Schale und auf der Schale befinden P μ A μ = 0 (also im Ruhesystem, A 0 = 0 ). Ich denke, es ist möglich, dass Sie davon ausgehen, dass eine Eigenschaft der Amplituden wahr ist, die nicht wirklich wahr ist. Es gibt keine Ward-Identität wie P μ M μ auf der Amplitude selbst, muss aber im massiven Fall nicht sein.
Ok, Sie haben mich fast auf den Punkt gebracht: Sie sagen also, dass das ganze Ward-Identitäts-Zeug von der unphysikalischen Nullkomponente unserer 4 Vektorfelder stammt, sowohl in Proca als auch in Maxwell, und nicht von der unphysikalischen L-Polarisation für Photonen? Daher sollte puMu=0 für beide Felder gelten und unabhängig davon, ob das Photon oder Proca intern (dies ist das, was ich bereits verstanden habe) oder extern (das ist, was ich vermisst habe) ist. Aber dann verstehe ich nicht, warum Schwartz behauptet, dass die Ward-Identität einer Eichinvariante entsprechen sollte, die als m = 0 oder nur 2 physikalische Polarisationen beabsichtigt ist
Nein, im Gegenteil :). Die beiden Fälle funktionieren unterschiedlich. Für ein massereiches Photon existiert also ein Ruhesystem P μ ist timelike (auf der Schale), also die Tatsache, dass auf der Schale P μ A μ = 0 für ein massives Photon bedeutet, dass eine zeitähnliche Komponente entfernt wird. Für ein masseloses Photon gibt es kein Ruhesystem und so weiter P μ ist Null. Außerdem müssen wir zwei Komponenten aus entfernen A μ da es nur zwei Polarisationen gibt. Die Ward-Identität garantiert, dass sich die unphysikalischen Polarisationen von den anderen Dofs entkoppeln und daher niemals angeregt werden (solange sie nicht in externen Zuständen vorhanden sind).
Ich denke, ich habe jetzt eine klare Vorstellung davon, worüber Sie verwirrt sind, dass ich versuchen könnte, eine Antwort zu schreiben, wenn ich etwas Zeit habe. Aber es gibt keine Ward-Identität für riesige Proca-Felder.
Ok, eine erste Sache ist geklärt: in meinen Notizen wurde von Anfang an der Stuckelberg-Trick übernommen, deshalb hatte ich auch für Proca einen ξ-Gauge-Parameter. Was ich bisher verstanden habe, ist, dass puMu = 0 für ein Proca-Feld das nicht physikalische Verhalten der 0-Komponente getreu reproduziert. Dies hat nichts mit Eichinvarianz und der Ward-Identität zu tun. Für ein Maxwell-Feld benötigen wir stattdessen eine zusätzliche entfernte Polarisation, und so kommen die Eichinvarianz und die Ward-Identität zustande. Daher ist der von Schwartz gelieferte Beweis der Ward (Takahashi)-Identität für QED höchst nicht trivial, da er nur 2 Dofs überleben lässt.
Ah ja, die Geschichte ist anders, wenn Sie den Stuckelberg-Trick anwenden. Eine andere Möglichkeit, sich all dies vorzustellen, sind Einschränkungen erster und zweiter Klasse (googeln Sie "Dirac-Bergman-Quantisierung"). Eine Einschränkung erster Klasse (Eichsymmetrie) entfernt zwei Freiheitsgrade, während eine Einschränkung zweiter Klasse (nur eine normale Einschränkung) einen entfernt. Masseloser Elektromagnetismus hat eine Zwangsbedingung erster Klasse, die Proca-Theorie (ohne Stuckelberg-Trick) hat eine Zwangsbedingung zweiter Klasse.
Endlich habe ich ein klares Bild, vielen Dank

Antworten (2)

Ich übertrage nur einiges von dem, was ich in den Kommentaren geschrieben habe, auf eine Antwort - ich kann später mehr dazu hinzufügen.

Es gibt keine Ward-Identität für ein massives Spin-1-Feld; Die massiven und masselosen Gehäuse funktionieren anders.

Für ein massereiches Photon existiert also ein Ruhesystem P μ ist timelike (auf der Schale), also die Tatsache, dass auf der Schale P μ A μ = 0 für ein massives Photon bedeutet, dass eine zeitähnliche Komponente von externen Zuständen entfernt wird. Bei internen Leitungen ist der Zähler des Propagators η μ v + P μ P v / M 2 ; wenn Sie diesen Vertrag abschließen P μ du erhältst P v − ( M 2 / M 2 ) P v = 0 ; Diese Eigenschaft folgt aus der zweiten Klassenbeschränkung und ist für das Entfernen des zeitähnlichen Modus verantwortlich.

Für ein masseloses Photon gibt es kein Ruhesystem und so weiter P μ ist Null. Außerdem müssen wir zwei Komponenten aus entfernen A μ da es nur zwei Polarisationen gibt. Die Ward-Identität garantiert, dass sich die unphysikalischen Polarisationen von den anderen Dofs entkoppeln und daher niemals angeregt werden (solange sie nicht in externen Zuständen vorhanden sind).

Eine andere Möglichkeit, sich all dies vorzustellen, sind Einschränkungen erster und zweiter Klasse (googeln Sie "Dirac-Bergman-Quantisierung"). Eine Einschränkung erster Klasse (Eichsymmetrie) entfernt zwei Freiheitsgrade, während eine Einschränkung zweiter Klasse (nur eine normale Einschränkung) einen entfernt. Masseloser Elektromagnetismus hat eine Zwangsbedingung erster Klasse, die Proca-Theorie (ohne Stuckelberg-Trick) hat eine Zwangsbedingung zweiter Klasse.

Anders sieht es aus, wenn man den Stuckelberg-Trick im massiven Fall anwendet; dann führt man ein neues Feld ein, also hat man naiverweise 5 Freiheitsgrade (4 Komponenten des Vektorfeldes plus ein Skalarfeld). Sie haben auch eine neue Spursymmetrie mit einer damit verbundenen erstklassigen Einschränkung. Die Zwangsbedingung erster Klasse entfernt zwei Freiheitsgrade, und 5-2=3, was die korrekte Anzahl von Freiheitsgraden für ein massives Spin-1-Teilchen ist.

Es gibt zwei Hierarchien von Ward-Takahashi-Identitäten (WTI):

  1. WTI für verbundene Diagramme, die die Ladungserhaltung ausdrücken und über die Schwinger-Dyson (SD)-Gleichungen aus einer globalen Eichsymmetrie abgeleitet werden.

  2. WTI für richtige Diagramme , abgeleitet von BRST / lokaler Pegelsymmetrie. Dies impliziert (unter anderem), dass der 2-Punkt- Polarisationstensor für das Photonenfeld transversal in der ist R ξ messen .

Beide WTI-Hierarchien sind im Prinzip Off-Shell-Identitäten.

Bereits für QED mit Materie ist die Paarung zwischen den beiden WTI-Hierarchien etwas kompliziert, vgl. B. dieser und dieser verwandte Phys.SE-Beitrag, insbesondere wenn man die Rolle von Eichfixierungsbedingungen und Renormierung berücksichtigt.

Da die Proca-Theorie mit Materiefeldern globale , aber keine lokale Eichsymmetrie hat, hat sie nur die 1. WTI-Hierarchie.

Stationsidentität und Proca-Felder
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v