Schwinger-Dyson-Gleichungen in der Coulomb-Eichung

Einführung

Soweit ich weiß (und bitte korrigieren Sie mich, wenn etwas nicht stimmt!), lautet die übliche Erzählung zum Umgang mit der Störungstheorie in der QED mit der Coulomb-Eichung wie folgt:

Zuerst wird das Messfeld fixiert

$$\nabla\cdot\vec A(x)=0\tag{1}$$ so dass die Bewegungsgleichungen lauten $$\begin{aligned} \nabla^2 A^0(x)&=J^0(x)\\ \partial^2\vec A(x)&=P(\nabla)\vec J(x) \end{aligned} \tag{2}$$ Wo $\partial^2=\partial_0^2-\nabla^2$Und $$P^{ij}(\vec k)=\delta^{ij}-\frac{k^ik^j}{\vec k^2}\tag{3}$$ ist der Projektor in den Querteil des Stroms.

Nun ist die Bewegungsgleichung für$A^0$ist nicht dynamisch, also integrieren wir dieses Feld durch Setzen

$$A^0=\frac{1}{\nabla^2}J^0 \tag{4}$$ in die Lagrange-Funktion, wodurch der bekannte nicht-lokale Coulomb-Term entsteht.

Auf der anderen Seite ist das wahre Feld$\vec A$, und sein Verbreiter ist

$$\Delta^{ij}(k)=\frac{P^{ij}(\vec k)}{k^2+i\epsilon} \tag{5}$$

Der wichtige Punkt ist der folgende: Der nicht-lokale Begriff ist für alle praktischen Zwecke äquivalent zu einem erweiterten Propagator$\Delta^{\mu\nu}$so dass es mit übereinstimmt$\Delta^{ij}$auf den räumlichen Komponenten, und

$$\Delta^{00}(\vec k)=\frac{1}{\vec k^2} \tag{6}$$

Man kann zeigen, dass dieser erweiterte Propagator derselbe ist wie der kovariante Propagator in der Feynman-Eichung$\xi=1$, bis zu (nicht-kovariante) Terme proportional zu$k^\mu$, und daher ist die Theorie schließlich kovariant.

Wobei es immer noch so ist$\Delta^{ij}=\langle A^i A^j\rangle$, jetzt gibt es keinen entsprechenden Operator$\Delta^{00}$.

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Mein Zweifel: Ein Beispiel

So weit, ist es gut (?). Nun, die Absage der$k^\mu$Bedingungen können allgemein dank der Ward-Takahashi-Identitäten bewiesen werden, die besagen, dass allgemeine Korrelationsfunktionen null sind, wenn sie vertraglich vereinbart werden$k^\mu$(Art von: Sie müssen nicht Null sein, aber ihre Form ist stark eingeschränkt).

Aber es scheint mir, dass diese Identitäten nicht naiv in der Coulomb-Eichung verwendet werden können, weil wir sie nicht haben$A^0$nicht mehr, und daher enthalten die Korrelationsfunktionen nicht die$\mu=0$Komponente. Mit anderen Worten, die wahren Korrelationsfunktionen sind

$$\langle 0|T\ A^i(x)A^j(y)\psi(z)\cdots|0\rangle \tag{7}$$ und es ist unmöglich, damit einen Vertrag abzuschließen $\partial_\mu$. Also ich denke, wir können immer noch schreiben $$\partial_\mu\langle J^\mu \psi_1\psi_2\cdots\rangle=\text{contanct-term} \tag{8}$$ aber in der Coulomb-Eichung gibt es keine einfache Beziehung zwischen ihnen $\langle J^\mu\cdots\rangle$Und $\langle A^\mu\cdots\rangle$. In verallgemeinerten Messgeräten haben wir $$\langle A^\mu \cdots\rangle=\frac{1}{\partial^2}\langle J^\mu\cdots\rangle+\text{contanct-term} \tag{9}$$ Dies gilt jedoch nicht mehr für die Coulomb-Eichung.

Oder anders ausgedrückt: Wir können die WT-Identitäten mit schreiben$J^\mu$anstatt$A^\mu$, aber das bringt uns nicht viel weiter: um die Stornierung von zu zeigen$k^\mu$Termen müssen wir die Korrelationsfunktion in Termen schreiben$A^\mu$. In kovarianten Eichungen ist dies einfach: Verwenden$-\partial^2 A^\mu=J^\mu$, wir können jeden ersetzen$A^\mu$in einer Korrelationsfunktion bis zu einem Propagator$1/k^2$und ein Kontaktbegriff (aufgrund der$T$Symbol). Dies gilt jedoch nicht mehr in der Coulomb-Eichung: Zum einen gilt$\langle A^\mu\cdots\rangle$ist undefiniert für$\mu=0$.

Immerhin die Gleichungen$(8)$Und$(9)$sind ein wesentlicher Bestandteil für den Beweis der Tatsache, dass$k^\mu$Terme tragen nicht zu messbaren Vorhersagen bei (siehe zum Beispiel Srednickis Buch, Kapitel 67–68; insbesondere Gleichungen [67.9] – [67.12]).

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Meine Frage

Was kann in einem allgemeineren Kontext über die Schwinger-Dyson-Gleichungen in der Coulomb-Eichung gesagt werden? Sind sie noch gültig? können wir verwenden$A^\mu$, oder müssen wir uns darauf beschränken$A^i$? Wie können wir die Tatsache effizient nutzen, dass die nicht-lokale Wechselwirkung einem erweiterten Propagator entspricht? Wie wird dies auf der Ebene der DS-Gleichungen statt auf der Ebene der Feynman-Diagramme implementiert?

Soweit ich weiß, funktionieren die DS-Gleichungen für allgemeine kovariante Messgeräte einwandfrei und sie gelten für die vier Komponenten von$A^\mu$.

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Weitere Informationen

Weinberg führt in seinem QFT-Buch in Kapitel 9.6 ein Hilfsfeld ein$A^0$und gruppiert es mit dem Alten, Physischen zusammen$A^i$Sodass$A^\mu$kann formal als Vektorfeld betrachtet werden, mit$A^0$sich so verhalten, als wäre es seine wahre zeitliche Komponente (siehe Seite 415, insbesondere die Diskussion unter 9.6.6). Das ist ziemlich genau das, was ich möchte: Ich möchte das Coulomb-Messgerät verwenden, aber ich möchte es verwenden$A^\mu$auch, um die WT-Identitäten oder irgendeine DS-Gleichung im Allgemeinen verwenden zu können. Aber hier verwendet Weinberg Pfadintegrale anstelle von Operatoren. Seufzen.

Wenn jemand eine gute Quelle kennt, in der QED in der Coulomb-Eichung ausführlich diskutiert wird (ohne Pfadintegrale!), wäre dies sehr, sehr willkommen.