Wie kann man beweisen, dass Feynman-Propagatoren des U(1)U(1)U(1)-Spin-111-Felds in der Coulomb-Eichung und der RζRζR_\zeta-Eichung äquivalent sind?

Wie man beweist, dass Feynman-Propagatoren in Coulomb-Eichung und äquivalent sind$R_\zeta$Messgerät? (Seien Sie genauer, sie sind gleich, wenn sie sich mit externem Strom zusammenziehen)

In$R_\zeta$Gauge, der Propagator nimmt die Form an

$$D_{F\mu\nu}=-\frac{1}{k^2+i\epsilon}\left[g_{\mu\nu}-(1-\zeta)\frac{k_{\mu}k_\nu}{k^2}\right]$$

Wenn$\zeta=1$es ist das Feynman-Messgerät,$D_{F\mu\nu}=-\frac{g_{\mu\nu} }{k^2+i\epsilon}$. Es ist die übliche Form, die wir in den Feynman-Regeln verwenden. Weil das$A_{\mu}$ist immer mit dem Erhaltungsstrom gekoppelt, dh$\partial_\mu J^\mu(x)=0$So$k_\mu J^{\mu}(k)=0$. Es beweist also, dass der Propagator in$R_{\zeta}$Spur entspricht der Feynman-Spur.

In Coulomb-Eichung hat der Propagator die Form:

$$\begin{aligned} D^C_{F\mu\nu}&=\frac{1}{k^2+i\epsilon}\left(\sum_{i=1,2}\epsilon_\mu(k,i)\epsilon_\nu(k,i)\right)\\ &= -\frac{g_{\mu\nu} }{k^2+i\epsilon} -\frac{n_{\mu}n_{\nu}}{(k\cdot n)^2-k^2}-\frac{1} {k^2+i\epsilon} \frac{k_\mu k_\nu-(k_\mu n_\nu+k_\nu n_\mu )(k.n)}{(k\cdot n)^2-k^2} \end{aligned}$$

Unter Verwendung des gleichen Arguments wie oben hat der dritte Term keinen Beitrag. Aber der zweite Term ist eine augenblickliche Coulomb-Wechselwirkung. Wenn wir wählen$n^{\mu}=(1,0,0,0)$, der zweite ist der Begriff

$$\frac{\delta_{\mu,0}\delta_{\nu,0}}{|\mathbf{k}|^2}$$

Im Koordinatenraum ist dieser Begriff

$$\delta_{\mu,0}\delta_{\nu,0}\frac{\delta(x_0-y_0)}{4\pi|\mathbf{x}-\mathbf{y}|}$$

Ich kann nicht sehen, warum es Null ist, wenn es mit externem Strom gekoppelt ist.