Was genau ist der Zusammenhang zwischen Eichtransformationen und Symmetriegruppen?

Für eine gegebene Eichtransformation, sagen wir, das elektromagnetische Feld, wo beobachtbare Größen nicht durch Transformationen der Form beeinflusst werden

A ' = A + ∇ χ ,
ϕ ' = ϕ − ∂ χ ∂ T ,
Ψ ' = Ψ ⋅ exp ⁡ ( ich Q χ ℏ ) .

Was genau bedeutet die U ( 1 ) Symmetrie-Lie-Gruppe haben mit dieser Eichtransformation zu tun?

Gruppe hat damit nichts zu tun. Sie bilden eine Gruppe! Sehr einfache Tatsache -- wenn Sie eine Eichtransformation und daraus eine weitere machen => die resultierende Transformation (ein Produkt) wird wieder eine Eichtransformation sein. Das Produkt zweier Transformationen ist also wieder eine Eichtransformation. Das ist es. Sie bilden eine Gruppe.
@AsphirDom Es gibt mehr als nur den Abschluss einer Gruppe

Antworten (1)

Die Gruppe U ( 1 ) kann als Menge komplexer Zahlen des Einheitsmoduls beschrieben werden, wobei die Gruppenmultiplikation durch Multiplikation komplexer Zahlen gegeben ist. Beachten Sie angesichts dieser Charakterisierung, dass die Transformation

Ψ → e ich Q χ / ℏ Ψ
stellt eine Handlung dar U ( 1 ) auf dem Dirac-Feld Ψ . Wenn χ wird dann zu einer Funktion der Raumzeitposition befördert, mit anderen Worten, wenn wir eine lokale Aktion von betrachten U ( 1 ) auf den Feldern, und wenn wir das Eichfeld einführen A μ in die Theorie, dann wird die Theorie a U ( 1 ) Eichtheorie in dem Sinne, dass die Wirkung der Theorie unter dem Lokalen unveränderlich ist U ( 1 ) Transformation.

U(1) ist also nur die Menge aller möglichen Werte von denen Ψ wird aufgrund des Eichfeldes multipliziert χ ?
@abhishek So ziemlich. U ( 1 ) ist die Menge aller Werte, die Ψ kann mit multipliziert werden, wenn wir eine globale Transformation durchführen, nämlich eine, für die die χ hängt nicht von der Raumzeitposition ab. Wenn wir davon ausgehen, dass es von der Raumzeitposition abhängt, würden wir sagen, dass wir a durchführen U ( 1 ) Messgerät- Transformation. In diesem Fall ist es notwendig, einzuführen A μ als eine Art Hilfsfeld, damit die Wirkung der Theorie unter dieser geeichten Version der invariant ist U ( 1 ) , und es ist dieses neue Feld A μ das wird typischerweise das Eichfeld genannt.
Was genau ist der Zusammenhang zwischen Eichtransformationen und Symmetriegruppen?
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