Unter welcher Darstellung von U(1) transformieren sich Elektronen- und Photonen-Eichfeld?

Das kenne ich unter S U ( 2 ) × S U ( 2 ) , wandelt sich das linkshändige Elektron nach unten um ( 1 2 , 0 ) Darstellung und das Vektor-Eichfeld A μ unter ( 1 2 , 1 2 ) .

Da wandelt sich das Elektron unter U ( 1 ) , muss es eine Repräsentation geben, unter der es transformiert wird. Was ist diese Darstellung? Hat es einen Namen?

Anscheinend A μ nicht unter der gleichen Darstellung umwandelt, was bedeuten würde e a ( X ) Q A μ , sondern als A μ + ich ∂ μ a ( X ) ? Welche Darstellung ist das?

Natürlich ist mir klar, dass die Transformation von A μ kann nicht anders sein, damit die Lagrange-Funktion unveränderlich ist, aber das sollte nicht verwendet werden, um it zu definieren.

Mathematisch gesehen sind die Gauge-Felder nicht die gleiche Art von Objekt wie die anderen Felder, sie stellen Verbindungen dar en.wikipedia.org/wiki/Connection_(mathematics)
Können Sie abstrakt angeben, wie ihre Transformationseigenschaften erhalten werden?

Antworten (2)

Das Elektronenfeld wandelt sich unter der 1 von U ( 1 ) , dh der Generator ist ich oder 1 abhängig von Ihrer Konvention/Notation.

Die Eichfelder transformieren sich in die Adjoint-Darstellung , aber sie transformieren sich als Verbindung, wie @Adam erwähnt hat. Mit anderen Worten, wenn ψ → G ψ , Dann D μ ψ → G D μ ψ impliziert, dass A μ → G D μ G − 1 . Es ist ein bisschen irreführend für U ( 1 ) weil Sie die nicht-Abelsche Struktur nicht sehen, aber Sie bekommen die Idee.

Ich denke, das ist die Antwort auf meine Frage. Es ist komplizierter, als ich dachte, und ich werde nebenstehende Darstellungen nachlesen müssen, bis ich es hoffentlich verstehe.
Sie sollten sich in die Eichtheorie einlesen. Es gibt eine Menge schöner Mathematik und Verbindungen (kein Wortspiel beabsichtigt) zu Differentialgeometrie und Schwerkraft. Sie beginnen mit einem Feld und einem Lagrange-Operator, der eine gewisse globale Symmetrie aufweist ψ → G ψ . Dann wandeln Sie die globale Symmetrie in eine lokale um, indem Sie Ableitungen in kovariante Ableitungen umwandeln (nur ein mathematischer Trick). So lange wie A ist eine "reine Spurweite" du hast nichts gemacht. Aber lass A dynamisch sein und den ganzen E&M hervorholen :) Ich finde es sehr schön.
Ich versuche, nachzulesen, aber die meiste Physikliteratur beginnt nett und langsam mit der Lagrange-Gruppe, springt dann aber weiter, wenn es um Eichsymmetrien geht. Haben Sie eine Empfehlung?
Quantenfeldtheorie von Ryder vielleicht? Sie sollten es in Ihrer Bibliothek anfordern können. Auch Topology and Geometry for Physicists von Nash und Sen, wenn Sie sich schmutzig machen wollen, obwohl mein Druck ein paar Tippfehler hatte. Geometrie, Topologie und Physik von Nakahara ist auch gut.
Meinst du wirklich A μ → G D μ G − 1 ? Oder eher D μ → G D μ G − 1 ? Sonst sehe ich nicht, wie wir hinkommen würden A μ → A μ + ich ∂ μ a ( X ) schließlich.
In deiner ersten Gleichung D wirkt nur unmittelbar nach rechts, während es im zweiten auf alles rechts von ihm einwirkt.

U ( 1 ) ist eine abelsche Gruppe. Abelsche Gruppen haben nur eine 1-dimensionale irreduzible Darstellung. Nämlich Umwandlung durch eine Phase (im Fall des Elektrons). Die Ladung des Fermionenfeldes ist proportional zum Koeffizienten der Phase. Insbesondere ein Ladungsfeld Q verwandelt sich als Ψ → e ich Q θ ( X ) Ψ

BEARBEITEN: Wie in den Kommentaren erwähnt, war die frühere Antwort falsch.

Danke schön. Die Aussage, dass "das Singulett unter Transformationen invariant ist", macht also keinen Sinn / gilt nicht für alle Gruppen?
Normalerweise bleibt die (aller) trivialste Darstellung von der Transformation unberührt, oder? Für U(1) gibt es nur zwei Möglichkeiten, entweder ist das Feld unberührt (nicht geladen) oder nimmt eine Phase ein (was Sie die triviale Darstellung genannt haben). Für O (2) (was mehr oder weniger U (1) ist) hätten Sie einen Skalar ϕ , so dass G ϕ = ϕ und der Vektor v , so dass G v = v ' = R v , Wo R ist eine Drehung.
@Konstantin, bedenke das, was wir den Singulett-Zustand nennen S U ( 2 ) würde sich durch eine Phase in verwandeln U ( 2 ) .
@Prahar, ich glaube nicht, dass das stimmt, selbst für endliche Gruppen. Für endliche Gruppen ist die Anzahl der inäquivalenten Irreps die Anzahl der Konjugationsklassen, die für eine abelsche Gruppe die Ordnung der Gruppe ist. Für U(1) gibt es unendlich viele Darstellungen, gekennzeichnet durch Z (Homomorphismen von U(1) in U(1) der Form ρ N ( e ich θ ) = e ich N θ ). Siehe en.wikipedia.org/wiki/Circle_group#Representations
Verzeihung. Ich glaube, ich wollte sagen, dass alle irreduziblen Darstellungen eindimensional sind. Meine Aussage ist in der Tat falsch. Ich habe es bearbeitet.
@Adam und andere, bedeutet das, dass unterschiedliche Ladungen (0,1/3,2/3,1, ...) unterschiedliche Darstellungen von U (1) bezeichnen? Und das Summieren dieser Gebühren in einem Begriff ist der Prozess der Berechnung der Darstellung, unter der sich der Begriff umwandelt?
Unter welcher Darstellung von U(1) transformieren sich Elektronen- und Photonen-Eichfeld?
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