Warum wird die Gauge-Gruppe Yang-Mills als kompakt und halbeinfach angenommen?

Wie Lubos Motl und twistor59 erklären, ist eine notwendige Bedingung für Einheitlichkeit die Eichgruppe Yang Mills (YM).$G$mit entsprechender Lie-Algebra$g$sollte reell sein und eine positive (semi)definite assoziative/invariante bilineare Form haben $\kappa: g\times g \to \mathbb{R}$, vgl. der kinetische Teil der Yang Mills-Aktion. Die bilineare Form$\kappa$wird oft gewählt, um (proportional zu) der Tötungsform zu sein , aber das muss nicht der Fall sein.

Wenn$\kappa$entartet ist, wird dies zusätzliche Nullmoden/Eichsymmetrien induzieren, die eichfest gemacht werden müssen, wodurch die Eichgruppe effektiv verringert wird$G$zu einer kleineren Untergruppe, wo die entsprechende (Einschränkung von)$\kappa$ist nicht entartet.

Wann$G$halbeinfach ist, ist die entsprechende Tötungsform nicht entartet. Aber$G$muss nicht halb einfach sein. Erinnern Sie sich zB daran$U(1)$ist per definitionem keine einfache Lie-Gruppe . Seine Tötungsform ist identisch Null. Trotzdem haben wir die folgenden Theorien vom YM-Typ:

1. QED mit$G=U(1)$.

2. das Glashow-Weinberg-Salam-Modell für die elektroschwache Wechselwirkung mit$G=U(1)\times SU(2)$.

Ich empfehle Ihnen, das Kapitel 15.2 in "The Quantum Theory of Fields" Volume 2 von Steven Weinberg zu lesen , er beantwortet genau Ihre Frage.

Hier eine kurze Zusammenfassung
In einer Eichtheorie mit Algebra-Generatoren befriedigend

$$[t_\alpha,t_\beta]=iC^\gamma_{\alpha\beta}t_\gamma$$ kann überprüft werden, ob der Feldstärketensor $F^\beta_{\mu\nu}$transformiert sich wie folgt $$\delta F^\beta_{\mu\nu}=i\epsilon^\alpha C^\beta_{\gamma\alpha} F^\gamma_{\mu\nu}$$ Wir wollen Lagrangians konstruieren. Ein kinetischer Term für freie Teilchen muss eine quadratische Kombination von sein $F^\beta_{\mu\nu}$und Lorentz-Invarianz und Paritätserhaltung beschränken ihre Form auf $$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}g_{\alpha\beta}F^\alpha_{\mu\nu}F^{\beta\mu\nu}$$ wo $g_{\alpha\beta}$kann symmetrisch angenommen werden und muss reell angenommen werden, damit die Lagrange-Dichte auch reell ist. Der obige Lagrange-Operator muss eichinvariant sein, also muss er genügen $$\delta\mathcal{L}=\epsilon^\delta g_{\alpha\beta}F^\alpha_{\mu\nu}C^\beta_{\gamma\delta}F^{\gamma\mu\nu}=0$$ für alle $\epsilon^\delta$. Um den Feldstärken keine funktionellen Einschränkungen aufzuerlegen $F$die Matrix $g_{\alpha\beta}$muss die folgende Bedingung erfüllen $$g_{\alpha\beta}C^\beta_{\gamma\delta}=-g_{\gamma\beta}C^\beta_{\alpha\delta}$$ Kurz gesagt, das Produkt $g_{\alpha\beta}C^\beta_{\gamma\delta}$ist antisymmetrisch in $\alpha$und $\gamma$.
Darüber hinaus erfordern die Regeln der kanonischen Quantisierung und die Positivitätseigenschaften des quantenmechanischen Skalarprodukts, dass die Matrix $g_{\alpha\beta}$muss positiv definit sein. Schließlich kann man beweisen, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind

1. Es existiert eine reelle symmetrische positiv-definite Matrix$g_{\alpha\beta}$die die obige Invarianzbedingung erfüllt.
2. Es gibt eine Grundlage für die Lie-Algebra, für die die Strukturkonstanten$C^\alpha_{\beta\gamma}$sind nicht nur in den unteren Indizes antisymmetrisch$\beta$und$\gamma$aber in allen drei Indizes$\alpha$,$\beta$und$\gamma$.
3. Die Lie-Algebra ist die direkte Summe von Pendeln kompakt einfach und$U(1)$Subalgebren.

Den Beweis für die Äquivalenz dieser Aussagen sowie eine ausführlichere Darstellung des Materials findet man in dem oben genannten Buch von S. Weinberg.

Ein Beweis für die Äquivalenz für$g_{\alpha\beta}=\delta_{\alpha\beta}$(eigentlich die häufigste Form) wurde von M. Gell-Mann und SL Glashow in Ann. Phys. (NY) 15 , 437 (1961)

Es liegt daran, dass Sie den kinetischen Teil der Yang Mills-Action wollen

$$\int Tr({\bf{F^2}}) dV$$ positiv definit sein. Um dies zu gewährleisten, muss das von Ihnen verwendete innere Produkt der Lie-Algebra (Killing-Form) positiv definit sein. Dies ist gewährleistet, wenn die Messgerätegruppe kompakt und halbeinfach ist. (Ich bin mir nicht sicher, ob es nur so ist, wenn G kompakt und halb einfach ist. Vielleicht könnte jemand anderes dieses Detail ausfüllen).

Diese Antworten sind Wiederholungen eines Arguments, das unzureichend und falsch ist, um zu erklären, warum die Metrik der Lügenalgebra positiv definit sein muss.

Tatsächlich beweist Weinberg nie seine Behauptung, dass kanonische Quantisierung und Unitarität die Anforderung auferlegen, dass die Metrik positiv definit ist, und ein Gegenargument in QED leicht zu finden ist. Und niemand hinterfragt Autorität.

Nach Eichfixierung in der Feynmann-Eichung erhalten wir QED$\partial_\mu A^\nu \partial^\mu A_\nu$. Wir können dies mit einer Raumzeit-Metrik (nicht der Lügen-Algebra-Metrik) unter Verwendung der Konvention schreiben$g=diag(-1,1,1,1)$. Dann erhalten wir$-\partial_\mu A_0\partial^\mu A_0+\partial_\mu A_i\partial^\mu A_i$. Sie haben also kinetische Terme, die negativ sind. Es ist jedoch bekannt (gemäß der BRST-Behandlung von QED), dass die Theorie dennoch Einheitlichkeit aufweist und sich gut benimmt.

Dies geschieht auch in der Quantenmechanik. Der Lagrange$-\dot x^2+x^2$verhält sich genauso gut wie das übliche HO, weil sie die gleichen Bewegungsgleichungen haben.

Nun können Sie sehen, dass Lagrangianer mit negativen kinetischen Termen zu konsistenten Theorien führen. Daher führt eine SO(3,1)-Lie-Algebra auch zu einer sich richtig verhaltenden Theorie.

Ich bitte dann diejenigen, die Schriften wiederholen, zu beweisen, anstatt zu wiederholen, dass YM mit SO(3,1) Lügenalgebra zu negativen Normzuständen, Verlust der Einheitlichkeit oder anderen grundlegenden Eigenschaften führt, die sie zur Beschreibung der Natur ungeeignet machen.