Yang-Mills-Instanton

Wie kann eine Instanton- Lösung für die Yang-Mills-Theorie mit einer Eichgruppe erreicht werden? S U ( 3 ) oder S U ( N ) erhalten werden? Für S U ( 2 ) Es wird in Lehrbüchern erklärt, aber was ist mit allgemeineren Farbmessgerätgruppen?

EDIT: Wie funktioniert A μ wie für SU(3) oder SU(N) aussehen. Wikipedia gibt nur für SU(2) an. Sie ist gegeben durch für SU(2)

A A μ = 2 / G η μ v A ( X − z ) ( X − z ) 2 + ρ 2

Wikipedia sagt Ihnen, wie es geht.
@Qmechanic, warum hast du das mit einem Buchetikett versehen? Ich dachte eher, er sucht nach einer Referenz und die Antwort findet man eher in einem Aufsatz als in einem Lehrbuch ...? Sicherlich wird die Frage jetzt mit diesem Tag erledigt, obwohl es 5 Upvotes und 2 Sterne hat, was bedeutet, dass viele Leute daran interessiert wären, hier eine Antwort zu sehen :-/
@Dilaton: Bitte nehmen Sie sich einen Moment Zeit, um die Tag-Beschreibung für „Buch“-Tags und „ref.-req.“ zu lesen. Stichworte. Es ist irrelevant, dass OP beiläufig das Wort „ref“ verwendet. Bitte verwenden Sie auch keine Tags selbst als Argumente dafür oder dagegen in einer Diskussion zum Schließen/Wiedereröffnen. Sie sind im Prinzip unschuldige Zuschauer. Wenn eine Frage gut genug ist, um offen zu bleiben/wieder geöffnet zu werden, sollte dies der Fall sein, unabhängig davon, welche Tags derzeit verwendet werden. Falsches Tagging macht es nur schwieriger, Fragen für alle zu finden.
@Qmechanic Jede Frage mit dem Buch-Tag wird heutzutage hier gelöscht. Dies auf eine Frage zu stellen, ist wie das Todesurteil für die Frage auszuteilen. Selbst wenn Sie nur so neu taggen, dass die richtigen Leute die Frage finden und sie ansonsten in Ruhe lassen können, werden andere sie trotzdem töten, obwohl ein potenziell kluger Antwortender vielleicht die Erklärung der Physikfrage skizzieren könnte, die ich in diesem Beitrag in einer direkten Antwort sehen kann und Hinweis auf eine Referenz (oder Buch oder was auch immer) nur für weitere Informationen und Details ... :-(
Ich denke, die positiven Stimmen sind darauf zurückzuführen, dass die Leute wirklich gerne selbst etwas über Instantons hören würden (im Gegensatz dazu, nur eine Liste mit Referenzen und Links zu erhalten). In diesem Sinne, @Raj, wäre es gut, wenn Sie (oder jemand anderes?) Ihre Frage neu formulieren könnten, um eine tatsächliche physikalische Frage zu stellen (anstatt nur nach Referenzen zu fragen).
@Qmechanic Ich werde eine Umformulierung versuchen, die meiner Meinung nach auf das Buch-Tag verzichten kann. Wenn ich mich nicht irre (?), scheint mir das nicht allzu schwierig (?).
Entschuldigung, wenn Sie wie eine Antwort posten. Ich habe vergessen, mich anzumelden. Meine Frage ist: wie sieht das Potenzial aus A μ wie sieht es aus, wenn SU(3) oder SU(N) betrachtet wird? Wikipedia zeigt nur für SU(2).
Hallo @Raj. Wenn Sie Ihre beiden Konten zusammenführen möchten, finden Sie weitere Informationen unter physical.stackexchange.com/help/user-merge

Antworten (1)

Um eine Instanton-Lösung zu haben, müssen Sie die (euklidische) "Raumzeit im Unendlichen" auf die Gruppenmannigfaltigkeit abbilden. Im Fall von SU(2) sind sowohl die Raumzeit im Unendlichen als auch die Gruppenmannigfaltigkeit S 3 und Instantons werden durch die ganzen Zahlen gekennzeichnet. Ich hoffe, Sie verstehen so viel, zumindest für SU(2).

Wenn Sie an 4D-Instantonen interessiert sind, sind sie gekennzeichnet durch H 3 ( M G ) Wo M G ist die Gruppenmannigfaltigkeit – da die Raumzeit im Unendlichen liegt S 3 . Für jeden (homologisch unterschiedlichen) nicht kontrahierbaren 3er-Zyklus der Gruppenmannigfaltigkeit kann man also ein Instanton finden. Wie der von @twistor angegebene Wikipedia-Link sagt, haben die Eichfelder, die den Richtungen auf diesem 3-Zyklus entsprechen, dasselbe Profil wie das SU(2)-Instanton, und die anderen Eichfelder haben eine triviale Konfiguration (natürlich bis zu a Eichtransformation). Im Wesentlichen suchen Sie nach möglichen Einbettungen von SU(2) in Ihre Eichgruppe und erstellen dann Instantons aus diesen SU(2)-Untergruppen.

Wenn Sie das verstehen, sollte die Verallgemeinerung auf eine beliebige Anzahl von Dimensionen einfach sein.

Ist SU(2) in SU(N) einbettbar, N ≥ 3 ?
Ja. Wenn Sie sich mit Gruppentheorie auskennen, ist das Dynkin-Diagramm von SU(2) ein einzelner "Punkt" und für jede SU(N) ein Bündel von "Punkten" mit einigen Linien dazwischen. So wie ich es ungefähr sehe, könnten Sie den SU(2)-Punkt an jeder der Stellen der Dynkin-Diagramme jeder größeren Gruppe platzieren. Tatsächlich kann es mehrere Einbettungen geben. Vielleicht kann jemand einen Link geben, der sich damit befasst.
Sollte es nicht durch die dritte Homotopiegruppe gekennzeichnet sein π 3 eher als die dritte Homologiegruppe H 3 ?
@RubenVerresen: Ich denke, du könntest Recht haben. Haben Sie eine physikalische Erklärung dafür, warum die relevanten Objekte Homotopien statt Homologien sind, wenn Sie von Instantonen auf verschiedenen Mannigfaltigkeiten sprechen?
@Siva: Die übliche Betrachtungsweise der Physik: Angenommen, Sie haben Ihr Instanton so, dass die Aktion mit der zweiten Chern-Zahl zusammenfällt ∫ F ∧ F , dann ist dies an der Grenze zum Unendlichen gleich ∫ S 3 ω wo bei Stokes D ω = F ∧ F . Das heisst ω ist die Chern-Simons-Form ω = A ∧ D A + 2 3 A 3 . Aber da wir verlangen, dass unsere Krümmung im Unendlichen Null ist, muss unsere Verbindung rein eichfähig sein A = G − 1 D G . Die Verbindung wird also dadurch bestimmt G als Funktion von S 3 , dh eine Karte S 3 → G . Aber das ist per Definition so π 3 ( G ) .
Das Obige ist jedoch nicht wirklich streng: Es zeigt, dass (1) das Integral der Chern-Simons-Form im Unendlichen eine ganze Zahl ist (da es in der (verdichteten) Raumzeit gleich der zweiten Chern-Zahl sein muss) und (2) dass die Verbindung im Unendlichen durch eine Karte bestimmt wird S 3 → G . Daher ist es sehr naheliegend, dass das Integral der Chern-Simons-Form den Index der Karte misst S 3 → G , aber das Obige beweist es nicht.
Ein mathematischerer Weg: die Menge der topologisch unterschiedlichen G -Bündel auf einer Mannigfaltigkeit X entspricht der Menge homotopisch verschiedener Abbildungen X → B G , bezeichnet als [ X , B G ] (Dies ist das Klassifikationstheorem für Vektorbündel, wobei B G ist der Klassifikationsraum von G ). Wir sehen also, dass die Instantonzahlen auf einer Raumzeit liegen S 4 sind klassifiziert nach [ S 4 , B G ] = π 4 ( B G ) . Es ist dann eine allgemeine Tatsache aus der Mathematik, dass π 4 ( B G ) = π 3 ( G ) . „Physikalisch“ besagt diese letzte Gleichung, dass die zweite Chern-Zahl in der Raumzeit (links) mit der flachen Chern-Simons-Aktion im Unendlichen (rechts) zusammenfällt.
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