Wightman-Axiome und Eichsymmetrien

OK, Geschwätz ist es.

Das Wichtigste, was man in der Yang-Mills-Theorie verstehen muss (ob Sie versuchen, mathematisch streng zu sein oder nicht), ist, dass die Eichsymmetrie keine physikalische Symmetrie ist . (Seine Aufgabe ist es, das Überzählen in einer redundanten Beschreibung festzuhalten.)

Klassisch bedeutet dies, dass die Observablen – die numerischen Größen, die wir messen können – keine Funktionen im Raum sind$\mathcal{F}$von Verbindungen, sondern funktioniert auf dem Quotientenraum$\mathcal{F}/\mathcal{G}$von Verbindungen modulo die Wirkung der Gruppe von Eichtransformationen. Also zum Beispiel für alle$G$-invariantes Polynom$P$zur Lie-Algebra$\mathfrak{g}$von$G$und irgendein Punkt$x \in \mathbb{R}^4$, es gibt eine beobachtbare$\mathcal{O}_{P,x}$, die die Äquivalenzklasse sendet$[A]$einer Verbindung$A$zu$P(F_A(x))$, wo$F_A$ist die Krümmung von$A$. Aber es gibt keine physikalische Methode, den Wert einer Verbindung zu messen$A$am Punkt$x$; Diese Größe ist nützlich für Zwischenschritte in der Berechnung, aber sie ist keine Observable.

Im Wightman-Framework beschreibt man eine QFT in Form eines Hilbert-Raums, der eine Darstellung der Poincare-Gruppe trägt und mit einer Sammlung lokaler Observablen ausgestattet ist. Für die Yang-Mills-Theorie wünschen wir uns also naiverweise einen Operator$\hat{\mathcal{O}}_{P,x}$für jede klassische beobachtbare Art$\mathcal{O}_{P,x}$. Das funktioniert aber nicht ganz. Sie können kein Observable haben$\hat{\mathcal{O}}_{P,x}$der den Wert von etwas genau misst$x$, im Grunde aus dem gleichen Grund, aus dem Sie kein Teilchen haben können, dessen Wellenfunktion genau bei unterstützt wird$x$. In Quantentheorien müssen die Dinge ein wenig aufgepeppt werden. Also statt einer Funktion$x \mapsto O_{P,x}$, was wir in der Quantentheorie bekommen, ist eine operatorwertige Verteilung, die jede Testfunktion sendet$f$zum Beobachtbaren$\hat{\mathcal{O}}_{P,f}$die den Wert der verschmierten Observable misst$\int P(F_A(x))f(x)dx$.

Gelegentlich finden Sie Behauptungen (z. B. auf Wikipedia), dass die Wightman-Axiome für Eichtheorien versagen, weil Eichtheorien Zustände mit negativen Normen beinhalten. Das ist nicht wirklich richtig. Negative Normen tauchen bei einigen Quantisierungsverfahren (aber nicht bei allen) in Zwischenstufen auf, aber sie sollten niemals im Endergebnis vorhanden sein, was das einzige ist, worum es bei den Wightman-Axiomen geht.

Beachten Sie, dass das, was ich oben geschrieben habe, nicht ganz die übliche Aussage der Wightman-Axiome ist. Die Leute geben sie normalerweise nur für die Skalarfeldtheorie an, wo sie wegen der Grundfelder eine Abkürzung nehmen können$\phi(x)$die die Observablen erzeugen, sind tatsächlich selbst beobachtbar. Alles, was man für Wightmans Aufbau wirklich benötigt, sind jedoch lokale Observablen, deren klassische Analoga einen vollständigen Satz von Koordinaten im Raum klassischer Felder liefern.

Zum Schluss noch die wirklich interessante Subtilität: Wenn man aufpasst, ist die Gruppe der Pegeltransformationen die Untergruppe von$Map(\mathbb{R}^4,G)$bestehend aus$G$-bewertete Funktionen, die den Identitätswert bei annehmen$\infty$. Dies würde darauf hindeuten, dass die Werte der invarianten Differentialpolynome im Krümmungstensor nahe an, aber nicht ganz einem vollständigen Satz von Koordinaten liegen$\mathcal{F}/\mathcal{G}$, da sie auch unter den Eichtransformationen, die darüber konstant sind, invariant sind$\mathbb{R}^4$. Warum sollten diese also ausreichen? Die Antwort ist Gefangenschaft. Wir erwarten, dass in der reinen Yang-Mills-Theorie die einzigen physikalisch realisierbaren Zustände Farbsinguletts sind, die sich trivial unter dem Globalen transformieren$G$.